三次参数样条曲线

1、p1p2p3pnp4由定义可知在由定义可知在xi , xi+1上，上，Si(x)可写成：可写成： Si(x)=ai+bi(x-xi)+ci(x-xi)2+di(x-xi)3ai, bi, ci, di为待定系数为待定系数(1)由于由于yi=Si(xi), Si(xi+1)= Si+1(xi+1)= yi+1， 有有 yi = ai ai+bihi+cihi2+dihi3= yi+1（用于求用于求bi）(2)由由Si (x)= bi+2ci(x-xi)+3di(x-xi)2 有有 Si (xi)= bi 由由Si (x)= 2ci+6di(x-xi) 有有 Si (xi)= 2ci(3)要求曲线

2、在二阶连续可导，则有要求曲线在二阶连续可导，则有 Si (xi+1)= Si+1 (xi+1) Si (xi+1)= Si+1 (xi+1)从而有从而有 bi+2cihi+3di hi2= bi+1 2ci+6di hi=2ci+1 (求求di)(4)令令Mi=2ci;则有则有： ai = yi ci=Mi/2 di=( Mi+1- Mi)/6 hi bi =( yi+1- yi)/ hi- hi(Mi/3+ Mi+1/6) 从而有从而有： ai-1 = yi-1 ci-1=Mi-1/2 di-1=( Mi- Mi-1)/6 hi-1 bi-1 =( yi- yi-1)/ hi-1- hi-1

3、(Mi-1/3+ Mi/6) (5)由由 Si-1 (xi)= Si (xi) 有有bi-1+2ci-1hi-1+3di-1 hi-12= bi令令：i= hi-1/(hi-1+hi),i= hi/(hi-1+hi) Di=6/(hi-1+hi)*( yi+1-yi)/ hi-( yi-yi-1)/ hi-1可得可得：i Mi-1+2 Mi+i Mi+1= Di，其中：其中：i+i=1，i=2,3,n-1(1)夹持端：夹持端： 端点处一阶导数已知，即端点处一阶导数已知，即 S1 (x1)=y1 亦即亦即y1= b1= ( y2- y1)/ h1- h1(M1/3+ M2/6) 2 M1+ M2

4、=6( y2- y1)/ h1- y1/ h1 Sn-1 (xn)=yn亦即亦即yn-1= bn-1= ( yn- yn-1)/ hn-1- hn-1(Mn-1/3+ Mn/6) Mn-1+ 2Mn=6 yn -( yn- yn-1)/ hn-1/ hn-1得方程组为：得方程组为：2 M1+ M2=6( y2- y1)/ h1- y1/ h1; i Mi-1+2 Mi+i Mi+1= Di，i=2,3,n-1; Mn-1+ 2Mn=6 yn -( yn- yn-1)/ hn-1/ hn-1;(2)自由端：自由端： 端点处曲线二阶导数为零端点处曲线二阶导数为零即即S1 (x1)=y1=0 , S

5、n-1 (xn)=yn=0亦即亦即 S1 (x1)= 2c1=0；=M1=0 Sn-1 (xn)=2cn-1+6dn-1hn-1=0；= Mn=0得方程组得方程组： M1=0;i Mi-1+2 Mi+i Mi+1= Di，i=2,3,n-1; Mn=0;(3)抛物端抛物端：曲线的首尾两段曲线的首尾两段S1(x) 和和Sn-1(x)为抛物线。即曲线在为抛物线。即曲线在首尾两段曲线上二阶导数为常数。首尾两段曲线上二阶导数为常数。y1 =y2 ，yn-1 =ynS1 (x1)=2c1= S2 (x2)= 2c2 =M1= M2Sn-2 (xn-1)=2cn-2+6dn-2hn-2= Sn-1 (xn

6、)= 2cn-1+6dn-1hn-1 =Mn-1= Mn得方程组：得方程组： M1 - M2=0;i Mi-1+2 Mi+i Mi+1= Di，i=2,3,n-1; Mn-1 - Mn=0;p1p2p3pnp4p1p232222213221222212212112222213221422212212322423222324223221222111)(22)(3)()(22)(332)()()0()0(ttptptppttptptpptpptp：tptptppBtptptppBtBtBBtpptBtBtBBptpBppBpp从而有1321121311211121110)( 22)( 3)(,iiiiiiiiiiiiiiiiiiiittttptptppttptptpptpptppp段有对2, 1)()( 3)(226211212212111|22131431nippttppttpppttttBtBBp，iiiiiiiiiiiiiiiiiiii即有应达到二阶连续曲线在由条件2, 1)( 2)()( 3:2111|221121221niBpppttttppttppttBiiiiiiiiiiiiiiiii有令2, 1)( 2:) 1 (2111|221niBpppttttppiiiiiiiin方程为已知夹持端nnnnnnnnnnnnnnnnnnnntppp