牛顿万有引力定律

1、引力和軌道運動小測試(p.74)1.D2.B3.C的關係式只適用於圍繞太陽的軌道運動複習題(p.74)1.B2.A3.B4.(a)半長軸a -=1.671.38 =1.525 AU22(b)運用公式T2二a，可得33軌道週期 T 二 a2 =1.525" =1.883、1.88 年5.運用公式T2/ 、1=aA1丿<aB。因此,a3，可得TaTaTb0.544:16.運用公式T224 n a GM可得-口6.67 10411.90 10274n231.07 106 103= 6.178 105 s:7.15日加尼未的軌道週期是7.15日。7.(a)運用公式T2二a3，可得2 2

2、a =T3 =3.33 =2.217 ： 2.22AU恩克彗星軌道的半長軸是2.22 AU(b)運用公式宁，可得新高中物理與生活天文學和航天科學a =2a-ri =2 2.217-0.33 = 4.103 ： 4.10AU恩克彗星的遠日點距離是4.10 AU。c 是。假設木星的公轉軌道是一個圓形軌道，半徑為 5.2 AU。從b之 中，我們得悉恩克彗星和太陽最遠的距離只有4.10 AU，所以恩克彗星的軌道在木星的軌道之內。d是。運用公式T2二a3，可得/Ya恩克片1 -J木星丿la木星JT恩克3222军木星<5.2 丿：1所以木星的軌道週期比恩克彗的的軌道週期長。8.(a)運用公式T2 G

3、M，可得(b)20.94 24 60 60土星的質量是5.684n26.67 101 = 5.682 1026 X026 kg。E8500"1。335.68 1026 kg運用公式T2 =a3，可得a2T2_ 123000-185000=0.5096 0.510 日冰塊的軌道週期是0.51日。9.運用公式T2二4 n2半長軸a，GM a3，以年表示週期可得T、以太陽質量表示 M、以AU表示T2365.251.08a =2.111 ： 2.11AU大熊座47 b的半長軸是2.11 AU。Ixn 呼小測試(p.78)1. D2. B3. C小測試(p.89)1. (a) 一個行星質量為m

4、,和另一個質量為M的恆星距離為r。行星的引力勢能GMmr由於在三個位置中，C和恆星的距離最遠，所以位置 C的U值最大。(b) 個質量為m的行星，其軌道運動的速率為v,則動能K為K 二一 mv22開普勒第二定律暗示當行星愈接近恆星時，其速率愈高。由於A和恆星 的距離最近，所以位置A的K值最大。(c)根據機械能守恆定律，在該三個位置的機械能皆相同。2. C3.運用公式Vesc管，可得1740 1032667 7.35 1022 . 2374m s< 2.37km sJ月球的逃逸速度是2.37 km s-1。複習題(p.90)1. B2. D3. A敍述(1)正確。太空船的引力勢能叫-空皿一7

5、 1f 250-1.30 1011JR9000 10敍述(2)和(3)不正確。由於方程E = U只適用於引力作用下的圓形運2動，假设引用於橢圓軌道運動中則未必正確。(b)(i)太空船的引力勢能4. (a)正確。由於太空船正在以勻速移動，故嘉文經歷無重狀態的唯一可能，是太空船距離所有天體非常遠，令作用在嘉文上的總引力太少，不會帶 來任何影響。(b)由於彈珠拋出後不會受到作何淨力，根據牛頓第一定律，彈珠會以勻速 移動，軌道是一條直線。5. (a)在火星引力下，太空船的加速度400 3390103 2g =卑二询642 1023 二 2.981 ： 2.98ms，GMm6.67 106.42 102

6、32300(400+3390 卜10310 10=2.599 10: -2.60 10 J6.(a)(ii)(iii)太空船的機械能10-2.599 1010 10-1.299 10: -1.30 10 J根據機械能守恆，可得E = K + U。因此,K = E -U二-1.299 1O10 I2.599 1010 =1.299 1O10 1.30 1010 J 太空船的動能是1.30 X010 J。1衛星的引力勢能和衛星與行星間的距離成反比，即是U二丄，所以我們r可得U ArBU BrAU 2 107Ub107Ub 二衛星在位置B的引力勢能是(b)根據機械能守恆，可得PEAR5ON EaKa

7、 UaK b K a7.根據機械能守恆定律，可得GMmri1 2 GMm mv28.9.2V2V22=v1 2GM£ r1丿= 4538226.67 10J16.42 1023迖:111.78 汉 107 1+3390 汉 103 1.7仆105 +3390 汉 103 一1= 764.8 : 765 ms當太空船距離火星最遠時，其速率為 765 m 根據機械能守恆定律，可得GMmAV2s-101 2 GMm mv>2 r9= 2GM=2 6.67 10 7.35 10|1740 103300 1740 1031= 910.3 910ms探針擊中月球外表前一刻的速率為 910

8、m 61。(a)木星的逃逸速度2 6.67 10"1.90 10271160220 ms : 60.2 km s2GMviR69900 103E B-K b U b 二Ua -Ubu=u 2_u_-2衛星從位置A移至位置B的動能變化為夕o2021(b)根據機械能守恆，可得PEARSON1Ahl£I跑廿載丸c 12 GMm0mv2 -2a2 2GMV2226.67 10J11.90 1027369 900 101 1v2 = 60220 ms ： 60.2 km s碎片擊中木星外表前一刻的速率為 60.2 km s-課後評估(p.94)1.2.3.4.5.6.DDACC(HK

9、ALE 2007 P2A Q28)7.(a)運用公式T22127 6024 n 3 a，可得GM24 n-上x(1740 + 200F103 36.67 10d1M=7.443 1022 ： 7.44 1022 kg22月球質量是7.44 X0 kgo(b)運用公式vGM，可得a a6.67 107.443 10=1599.7, 1600 ms31740 20010(c)嫦娥一號在圓形軌道上的速率是1600 m $s1o 運用公式T2 =a3，可得(1M)(1A)(1M)(1A)(1M)127 汇60 丫：(1740+200)M03 T!=13" 60 汉 60 丿.a3.5ha3.

10、5h =2.713 106 ： 2.71 106 m壬 127汉60 丫 (1740+200 103TI =11260X60 丿.a12ha12h =6.168 106 ： 6.17 106 m3.5小時的橢圓軌道半長軸是2.71 X06 m,而12小時的橢圓軌道半長軸是 6.17 为0 m。(ia+ia)8.(a)運用公式a =匕 乜，可得(im)23.62 :r15.18-2r := 2.06 AU彗星的近日點距離是2.06 AU(ia)。由於地日距離大約為1 AU,所以即 彗星處於其近日點，也不比地日距離更短(1A)。(b)運用公式T2二a3，可得(im)T2 3.623T =6.888

11、 ： 6.89 年彗星的軌道週期是6.89年。(ia)r + r9.運用公式a=T，可得(1M)1.13 1.78= 1.455AU厄洛斯的軌道半長軸為1.455 AU(b) 運用公式T2 =a3，可得T2 =1.455T =1.755 : 1.76 年厄洛斯的軌道週期是1.76年。(c) (i)引力勢能變化為(1A)(1M)(1A)GMmGMm 'u2=21丿/ “11= GMm_J12丿= 6.67 10411.99 10306.69 1015(1M+1A) 1 1 1 *.13 沃(1.50 汉 1011 ) 1.78 汉(1.50 汇 1011 )_= 1.913 10241.

12、91 1024 J(ii)根據機械能守恆，獲得的勢能相等於損失的動能(1M)。所以厄洛斯24的動能變化為-1.91 X0 J (1A)。10. (a)運用公式T2 =a3，可得(1M)a3 =3105 2a 二 44814480AU軌道半長軸是4480 AU(1A)(1M+1A)(1M)(b)彗星的引力勢能GMmU 二一r_ 6.67 10J11.99 10307.7 1014_0.4x(1.51011 )-1.703 1024 ： 一1.70 1024 J11. (a)運用公式T2 =a3，可得T2 =37.56 : 37.6年Q的軌道週期是37.6年。(1A)42(b)運用公式T2 =&#

13、39;a3，可得(im)GM8.4 365.25 24 60 60 22.8 1.50 1011(6.67X0"MM =6.240 10296.24 1029 kg恆星的質量是6.24 X029 kg。(ia)r + r12. (a)運用公式a二 一-，可得(im)2:3.19 104 km2056370509306370 .941042(b)(c)軌道半長軸是3.19 X04 km42運用公式T a3，可得GM24 nT23 4124 &.19"04X103)6.67 105.97 1024-56830s 15.8 小時T根據機械能守恆，可得(1A)(1M)(1A

14、)13.(a)(b)14.(a)(b)(c)1 2mv2GMm2V21 2 GMm mv22 r92=V1 ：!i'2GMBr1丿= 10423.9226.67 1015.97 102443L509306370101=11961120 ms3205637010嫦娥一號距離地球最遠時，其速率為地球和衛星間的引力，提供衛星進行勻速圓周運動時所需的向心力，因 此GMm mv22rrGM(1M)-11120 m s1。衛星的機械能是其動能和引力勢能之和。因此1 2 GMm E = K U mv2把v=, gm代入方程，GM ) GMm(1A)(1A)(1A)可得GMm_ 2r1 2=mv2(1

15、A)(i)由於E_詈以及r 減少 (1A)，E亦減少(負值較大)")。1(ii)由於E mv2以及E的負值較大(1A)，v上升(讪。 2小行星外表的引力加速度GM g 厂 r6.67 10411.47 1016(10"03 2= 9.8049 10；100 kg方塊的重量W = mg = 100(9.80499.80 10" ms'10T3) = 0.98049 "0.98 N(1M+1A)(1M+1A)運用公式vesc二2GM R ，可得(1A)新高中物理與生活天文學和航天科學(d)15.(a)(b)2 667 ZE 1016，14.003ms

16、-1咳 一 10103-1由於vesc < 20 m s1A，該球能脫離小行星1A。岩石圍繞小行星進行勻速圓周運動，其速率IGM八R6.67 计47 1016 旳902 790ms太空船的軌道運動(1A)10 103(1M+1A).G. 6-67 105.97 10,897、6900 ms36370200010(1M+1A)太空船的引力勢能GMmU 二r(1M+1A)_6.67 10"5.97 10241600_(6370 +2000 卜103-7.612 1010 ： -7.61 1010 J太空船的機械能1010 10-3.806 10: -3.81 10 J(1M+1A)

17、l U-7.612 10E =2 2C太空船啟動火箭推進器後，其機械能必須是零，才能剛好永遠脫離地球小 12 GMm0 mv -2r2GMv =:r1M_ 2 6.67 10 J15.97 10246370 +2000 H103= 9754 : 9750 ms'1太空船假设要脫離地球，v的最小值是9750 m s。1Ad不相同1A。地球的逃逸速度，是指物體從地球外表逃離地球的最小初 速率。由於太空船的初始位置和地球中心的距離，大於地球外表和中心 的距離亦即是引力勢能較小，故逃離地球所需的動能及速率也較小(1A)。16. (a)太陽的逃逸速度(1M+1A)2 6.67 10 411.99 1030V6.96 勺0855-4= 6.176 10 : 6.18 10 ms新高中物理與生活(1A)。天文學和航天科學(b)由於電子的速率遠低於太陽的逃逸速度(1A)，所以不能逃離1