等比数列高考题及答案

1、2022等比数列高考题及详细答案2,1. (2022 辽宁高考文科T 3)设s!为等比数列 an的前n项和，3s3 a43s? a3(A)3(B)4(C)5(D)6【命题立意】此题主要考查等比数列的前 n项和公式，考查等比数列的通项公式。【思路点拨】两式相减，即可得到相邻两项的关系，进而可求公比q。【标准解答】选B,两式相减可得：3a3 a4 a3,即4a3 a4,a4q -4。应选B。2. (2022 辽宁高考理科T 6)设an是有正数组成的等比数列,a3Sn为其前n项和。 a2a4=1, S37 ,那么 S5()(A)2【命题立意】313317(B)(C)(D)442此题考查了等比数列的通

2、项公式，等比数列的前 n项和公式【思路点拨】列出关于ai q的方程组，解出ai q再利用前n项和公式求出【标准解答】选B。根据题意可得:a1qa1q31a" q3)S571 q14(1 (-)5)21 12ai313. (2022 安徽高考理科10)an4，q 2是任意等比数列，它的前n项和,前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z，那么以下等式中恒成立的是A X Z 2Y2C Y XZ【命题立意】 此题主要考查等比数列的性质，考查考生的观察、分析、推理能力。【思路点拨】 从整体观察，分析 Y X与X , Z X与Y的关系，即可得出结论。【标准解答】选D，设等比数列an的公比为q (q

3、 0)，由题意，X ai a? L anYa1a2Lanan 1an 2La2nZa-ia2Lanan1an 2La2na2n 1a2n 2 La3nY XZ Xq,所以Y(Y X)X(ZX)，故D正确。Xq，Y4.(2022 浙江高考理科3)设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，那么一5()(A) 11(B) 5(C)8(D)11【命题立意】此题主要考察了此题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式。【思路点拨】【标准解答】选D。设等比数列的公式为q，那么由 8a2 a5玄50得a28 q3，q 2。SS2a(2)51 ( 2)2叩(2)33311。抓等比数列的根本量a1,an,q

4、,Sn可解决此题。1 ( 2)5. (2022 山东高考理科9)设 an是等比数列，那么“a <a? <83是数列an是递增数列的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件、(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件考查了考生的推理论证能力和运算求解能力【命题立意】此题考查等比数列及充分必要条件的根底知识,【思路点拨】分清条件和结论再进行判断 2【标准解答】选C,假设a1<a2<a3，那么设数列an的公比为q ,因为a1<a2<a3,所以有a1<a1qvae ,解得q>1,且a1>0，所以数列 an是递增数列；反之，假设数列an是递增数

5、列，那么公比 q>1且a1>0，所2以a1<a1q<a1q，即a1<a2 <a3，所以印<玄2<玄3是数列an是递增数列的充分必要条件 .6. (2022 北京高考理科T 2)在等比数列 an中，a1 1，公比q 1.假设am a1a2a3a4a5，那么m=()(A) 9( B) 10( C) 11( D) 12【命题立意】此题考查等比数列的根底知识。【思路点拨】利用等比数列的通项公式即可解决。【标准解答】选Co方法一：由amm 1234耳直寧厶比得aqa1(ag)(a1q )(ag )(ag )5 10a q。又因为ai 1，所以10q 。因此

6、m 11。方法二：因为25a3 ，所以 ama3。又因为 ammaq1 2，a3ag,所以m 15、2q (q)q10。所以m110，即 m 11。7. ( 2022 山东高考文科7)设 an是首项大于零的等比数列，那么“a2 是“数列an递增数列的()(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【命题立意】此题考查等比数列及充分必要条件的根底知识,考查了考生的推理论证能力和运算求解能力【思路点拨】分清条件和结论再进行判断【标准解答】 选C,假设a1a2，那么设数列an的公比为q，因为a2，所以有印ag，又a1>0，解得q>1,所以数列

7、an是递增数列；反之，假设数列an是递增数列且a1>0，那么公比q>1，所以印ae，即a1 a2，所以a1 a?是数列an是递增数列的充分必要条件a18. (2022 广东高考文科4)数列 an为等比数列，Sn是它的前n项和.假设a2 a3 =2a1,5与2a7的等差中项为 一，那么S5=()4A. 35 B . 33 C . 31 D . 29【命题立意】此题考察等比数列的性质、等差数列的性质以及等比数列的前n项和公式【思路点拨】由等比数列的性质及条件a2 a3 2a1得出a4，由等差数列的性质及条件得出a7从而求出q及a1。【标准解答】由a2a32 a)2a1a42,又 a4

8、2a7a7a7a4a1a±3q16，S51 5161(2)51 1231应选C.9. (2022 福建高考理科11)在等比数列 an中，假设公比q=4，且前3项之和等于21,那么该数列的3(22n 1?2n 32) 2n 1) 1通项公式an=【命题立意】此题主要考查等比数列的通项和前n项和公式。【思路点拨】由前3项之和等于21求出a1,进而求出通项an。斗冃13q【标准解答】选 A, Q S321,q 4,4, a11, an4n 11q【方法技巧】另解：Q S3 a-i 4印 16a121,n 1a1 ,an4-10. 2022 海南宁夏高考理科 T17设数列 an满足62 ,I

9、 求数列an的通项公式:令bn nan,求数列 bn的前n项和S.【命题立意】 此题主要考查了数列通项公式以及前n项和的求法，解决此题的关键是仔细观察形式，找到规律，利用等比数列的性质解题 .【思路点拨】 由给出的递推关系，求出数列的通项公式，在求数列的前n项和.【标准解答】I 由，当n 1时,an 1(an 1 an) (an an 1)L2 4)a1而a12，满足上述公式，2n 1所以an的通项公式为an 2.2n 1(n)由 bn nan n?2 可知，sn 1?2 2?23 3?25 L n? 22n 1从而 22sn 1?23 2?25 3?27 L n? 22n 1得2352n 1

10、2n 1(1 2 )Sn 2 22 L 2n?21即 Sn 一(3n 1)22n 1 29【方法技巧】禾U用累加法求数列的通项公式，禾U用错位相减法求数列的和11. 2022 陕西高考理科6an是公差不为零的等差数列，a1 1且a1,a3,ag成等比数列a(i)求数列 an的通项公式，(n)求数列 2 n的前n项和Sn【命题立意】 此题主要考查等差、 等比数列的通项公式和前n项和公式的应用，考查考生的运算求解能力.【思路点拨】 关于d的方程 d an2anSn【标准解答】(1)由题设知公差 d 0由a1 1,a1,a3,a9成等比数列得-2d11 8d1 2d解得d 1,d0(舍去)故a的通项

11、an1 (n 1) 1n由(1)知2an2n,Sn2 2223L2n2(12n)n 12 212“根本量法是常用的方法，但有时灵活地运【方法技巧】1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时, 用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。2数列求通项的常见类型与方法：公式法、由递推公式求通项，由Sn求通项，累加法、累乘法等3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法等。4 解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的 内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略.12. (2022 北京高考文科T16

12、)an为等差数列，且a36 , a6 0。(I)求an的通项公式；(n)假设等比数列bn满足b8 , b2 a1 a2 a3，求bn的前n项和公式【命题立意】 此题考查等差数列的通项公式等比数列的前n项和，熟练数列的根底知识是解答好本类题目的关键。【思路点拨】(1 )由a3,a6可列方程解出a1,d，从而可求出通项公式；(2)求出b2，再求出公式。代入等 比数列的前n项和公式即可。【标准解答】(I)设等差数列an的公差d。因为a36,a60a1 2d 6所以解得 a110,d 2 所以 an10 (n 1) 2 2n 12a1 5d 0，(n)设等比数列bn的公比为q因为 b2a1 a2 a3

13、24, b18 所以 8q 24 即 q =3所以bn的前n项和公式为Snbi(1 qn)1 q 4(1 3n)一 1 113. (2022 福建高考文科T1 7)数列 an中a =，前n项和Sn满足Sn 1 - £ =-33n 1(n N*).(I ) 求数列 an 的通项公式an以及前n项和Sn ;(II )假设S, t ( S i+S ), 3( S 2+S )成等差数列，求实数 t的值。【命题立意】 此题考查数列、等差数列、等比数列等根底知识，考查运算求解能力,考查函数方程思想、化归转化思想。【思路点拨】 第一步先求an的通项,可知an为等比数列,利用等比数列的前n项和求解出

14、Sn ;第二步利用等差中项列出方程求出t【标准解答】1得an 1N ，又 a11从而Sn丄2(II )由(I )49，S32从而由27Si, t ( S计S2 ), 3( S2 + S3 )成等差数列可得1 3439274t,解得t 2。9【方法技巧】 要求数列通项公式，由题目提供的是一个递推公式，如何通过递推公式来求数列的通项。Sn的递推关系式,目要求的是项的问题，这就涉及有关“项与“和如何转化的问题。一般地，含有s n 1般利用an化“和为“项。Si Sn 1,n 214. ( 2022 湖南高考文科T 20)给出下面的数表序列:表1 农2表3I13 I 3 5448其中表n (n=1,2

15、,3 L )有n行，第1行的n个数是1,3,5 , L 2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等 于它肩上的两数之和。并将结论推广到表 n (n >3)(| )写出表4,验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,bn 求和：bsb4Lbn 2b2b3bnbn 1(BE N*【命题立意】以数列为背景考查学生的观察、归纳和总结的能力。【思路点拨】在第(2)问中首先应得到数列S的通项公式，再根据通项公式决定求和的方法。【标准解答】(1)表4为1,4,12 L，记此数列为(不要求证明)；(II )每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1 3 5 74 8 1212 2032它的

16、第1，2，3, 4，行中的平均数分别是 4, 8, 16, 32，它们构成首项为 4,公比为2的等比数列。将这 一结论推广到表 n (n>3),即表n (n>3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列。简证如下(对考生不作要求)：首先，表(n > 3)各行中的第一行，1,3,5,，2 n-1是等差数列，其平均数为1 3 5空2 n ;n其次，假设表 n 的第 k (1 < kwn-1) 行a1,a2,an-k+1,是等差数列，那么它的 k+1 行 a1+a2,a2+a3,，an-k+an-k+1,也是等差数列由等差数列的性质知，表n的第k行中

17、的数的平均数与第k+1行中的数的平均数分别是a1an k 1 a1 a2 an k an k 1,a1 an k 12 2由此可知，表n (n?3)各行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列。 表n的第一行是1, 3, 5，2n-1，其平均数是1 3 5(2 n-1)n n由(1)知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列，于是，表 n中最后遗憾的唯一一个数为bn=n 2n-1.bk 2(k 2)2k1bkbk 1k 2k 1 (k 1) 2k1(k 1) 2k 2(kk 2k(k 1) 2k 21,2,3, n

18、)2(k 1) kk(k 1) 2k 2因此,故电电db2 b2bsbn 2bnbn 1(1 1 )(21)1 2 2 21 1 n 3n 2 n 2 (n 1) 21 11 2 2 (n 1) 2n 2(n11) 2n 2【方法技巧】研究数列要抓住变化规律。15. ( 2022 天津高考理科22)在数列 an中,ln且对任意k N . a?k 1 ， a?k， a?k 1成等差数列，其公差为dk。(1)假设dk = 2k，证明a2k, a2k 1, a2k 2成等比数列(n)假设对任意k N , a2k , a2k 1, a2k 2成等比数列，其公比为 qk。【命题立意】 本小题主要考查等差

19、数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等根底知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。【思路点拨】利用等差、等比数列的定义证明。【标准解答】(I)由题设，可得 a2k 1 a2k 14k,k N所以 a2k 1 a (a2k 1a2k 1) (a2k 1*2 k 3) . (a3 a1)=4k 4(k 1) . 4 1=2k(k+1)由 a1=0，得 a2k 12k(k1),从而a2ka2k2k 2k2,a2k 22(k 1)2.是 a2k 1k 1是a2k ka2k a2k 1a2ka2k 1a2k 1。a2k(n)证法一：(i)证

20、明：由a2k 1，a2k，a2k 1成等差数列，及a2k,a2k 1,a2k 2成等比数列，得所以dk 2k时，对任意k1，a2k2成等比数列。2,抵咏2a2k a2k 1 a2k 1,2a2k 1a2ka2k 1_1aq2k k-qk1当q1工1时,可知qk丰1, k从而-qk 12 J 1qk 1qk 1 11即1-qk 1+ 1(k 2)k 1所以1qk 1是等差数列，公差为1。证明:a10,a22，可得a34，从而q 彳2,=1.由(I)有q1 11 k,得 qk©Ak N k所以2a2k 1a2k 1a2ka2k 2a2k(k 1)2,kk2因此,a2ka2ka2k 2a2

21、k 2a2k 4包a a2-2k2(k-T-以下分两种情况进行讨论:(1) 当n为偶数时,n=2m(mm=1,那么 2nn k22.m> 2,k2k 2 akm14k2k 2 akm (2k)2k 1 a2k4k 1k1 2k(k 1)2m 2(m 1)所以2n k 2 ak(2)当n为奇数时,n k21 (2k 1)22m2(1a2k 14m4k22k(k2n;,从而3n=2m+1( mk (2m 1)2 aka2m 112(m2n4m1)n k2所以2nk 2 ak12(k 1)2 (k 2)2-2k 'a2k1 a2k' kk 1 2k(k1),k Nm 24k+2

22、k24k环322n从而-， 2_12k(k11)m2mkn.n k22,n4,6,8ak2m2n2(2m 1)2m(m 1)n k22,n3,5,7 k 2 ak3综合(1) (2)可知，对任意 n 2, n N ,有 2n证法二：(i)k 2 ak2证明：由题设，可得dka2k 1 a2kqka2k a2ka2k (qk 1),dk 1a2k 22a2k 1qk a2kqka2ka2kqk(qk1),所以 dk 1 qkdkqk 1a2k 3a2k 2a2k 2 dk 1a2k 21 dk 12qka2k1 _d 1 qk 1qka2kqk由q11可知qk 1,k N*。可得一qk 11 _

23、 _1 qk1_qk1 qk 11qk 1所以qk 1是等差数列，公差为(ii )证明：因为a10, a22,所以d1所以a3a2 d14，从而 q1a3差数列。由等差数列的通项公式可得a2q11。于是,由(i )可知所以是公差为qk 11的等qk 1k，故 qk从而茲dkqk所以d1dkdk 1dk 1dk 2d2d1由d12，可得dk2k。于是，由(i )可知 a2k 12k1 , a2k2k2,kN*以下同证法一。16. ( 2022 湖南高考理科数列an(n N)中,是函数fn(X)1尹an n2 2 2)x 3n anx的极小值点(I) 当a=0时，求通项an ；(n)是否存在 a，

24、使数列 an是等比数列？假设存在，求 a的取值范围；假设不存在，请说明理由。【命题立意】 以三次函数为载体引出数列再考查数列，考查分类讨论思想【思路点拨】 由一元三次函数极小值的求法，引出数列，进一步研究数列【标准解答】易知f'n(x) x2 (3ann2)x 3n2an (x 3an)(x n2).令 f n (x)0,得x13an ,x2 n2.(1) 假设 3an<n2,那么 当 x<3an 时，f ' n(X)>0, f n(x)单调递增；当 3an<x< n2 时，f n(X)<0, f n(x)单调递减；当 x>n2 时，f

25、 n(X)>0, f n(x)单调递增. 故f n(x)在x=n2取得最小值.(2) 假设3an>门2,仿(1 )可得，f n(x)在x=3an取得最小值.(3) 假设 3an=n，贝U f n(x) > 0, f n(x)无极值.2 2当 a=0 时，ai=0，那么 3ai<1 . 由( 1) 知 , a 2=1 =1.因 3a2=3<2 ,那么由(1)知，as=2 =4.2因为 3as=12>3，那么由(2)知，a4=3as=3X 4.又因为 3a4=36>4 ,那么由(2)知,a5=3a4=3 X 4.由此猜想：当n?3时，an=4X 3n-3.下面先用数学归纳法证明：当n?3时，3an>n2.事实上，当n=3时，由前面的讨论知结论成立.2 2假设当n=k(k?3)时，3ak>k成