高等几何观点下的初等几何

1、高等几何观点下的初等几何姜 羽高等几何知识与初等几何知识的沟通,为我们提供了解决初等几何的一些方法,对初等几何教学,对于教师思考和解决问题,有具体的指导意义.利用高等几何的观点和思想方法,将已知初等几何命题进行变换,获得相关的其他初等几何命题,具有重要的意义.本文通过初等几何和高等几何解决问题的方法进行对比,从仿射几何和射影几何的理论和方法出发,探讨它们在初等几何中的若干应用.1 仿射变换在初等几何中的应用1.1 仿影变换为初等几何的有关内容提供了理论依据仿射变换即平行投影变换,保持图形的结合性、平行性、单比、封闭图形面积比不变,直线仍变为直线,圆锥曲线仍变为圆锥曲线,而且圆锥曲线的中心、直径

2、和共轭直径等,也保持不变.因此,对于不涉及线段、角和图形面积定量研究的几何问题中,可以对图形进行仿射变换,将其变到易于讨论的情况,发现其某些非度量性质,使问题获得解决或发现解题思路.通常所说的平移、旋转、对称和相似变换,都是仿射变换的特例.1.2 仿射变换为初等几何的某些问题提供了简捷的解题方法我们知道,平面几何中的特殊图形：圆、正三角形、菱形经过仿射变换作用后,分别变成一般图形：椭圆、三角形、平行四边形.反之,仿射变换就可以将一般图形变成它们对应的特殊图形.由于特殊图形具有较多性质,所以原命题会变得容易证明.例1 已知平行四边形（如图1-1左）的边,上各有一点,且,试证明与的面积相等. 图1

3、-1证法1（初等几何方法） ,.即 .而 . .证法2（仿射变换方法）设已知的平行四边形由一个正方形（如图1-1右）经过仿射变换得到,且对应,对应,点分别在边,上, .由于在正方形中,即两三角形的面积之比为,则根据仿射理论“仿射变换保持两封闭图形面积之比不变”,可知上述图形的仿射对应图形与的面积之比也为,从而得证与的面积相等.在仿射几何中,图形在适当的仿射变换下都具有平行两线段长度之比、两封闭图形面积之比不变性质,抓住这一点,不但能使命题证明变得简捷,而且还能推断出这些性质在原图形中也成立,从而能构造出其他相关命题. 例2 设是内任意一点,直线、交、于点、（如图1-2）,则（1）；（2）.图1

4、-2证法1（初等几何方法）（1）如图1-2,分别过、作的垂线,垂足分别为、.则有.同理 ;.故.（2）因为,等等,所以由（1）式立即可得（2）式.证法2（仿射变换方法）（1）如图1-2,分别沿和方向作平行投影、.由仿射变换保简单比不变得：. .又 ;, .（2）同证法1（2）.关于证法2,当然也可转化为初等几何方法,即作.但这真正体现出了高等几何的仿射变换即平行投影变换的观点,只是运用高等几何观点更能透彻看出问题本质.例3 设椭圆的方程为,（如图1-3）求与斜率为的弦共轭的直径方程.图1-3证法1（初等几何方法）设弦的直线方程为,点,. 则有,. 故所求直径方程为.将椭圆方程与弦方程联立方程组

5、,可求得.代入上述直径方程得.证法2（仿射变换方法） 设弦的直线方程为,则经仿射变换有,即,将椭圆方程变为,将弦方程变为.而弦的共轭直径在圆中是与此弦垂直的,其方程显然是,此方程经上述仿射变换还原到椭圆中去即为所给弦的共轭直径方程,即.变换思想是一类主要的数学思想.应用变换的方法去解题可使问题得到简化,从而在在解题中取得较好的效果.仿射变换就是几何变换中的一类重要变换.从上述讨论中可以得出应用仿射变换解题的步骤可概括如下：判断求解的问题是否能利用仿射不变性质,仿射不变量求解,一般涉及到点共直线、直线共点、线段比、面积比等一类问题皆可应用仿射变换解题；选择合适的仿射变换,找出所给图形的合适的仿射

6、图形;在仿射图形中求证,写出具体的仿射变换及解题过程.2 用射影观点研究初等几何问题2.1 笛沙格定理的应用2.1.1 笛沙格定理简介定义1 平面内不共线的三点与每两点的连线所组成的图形叫做三点形.平面内不共点的三直线与其每两直线的交点所组成的图形叫做三线性.笛沙格定理：如果两个三点形对应顶点连线交于一点,则对应边的交点在同一直线上.笛沙格定理的逆定理：如果两个三点形对应边的交点在同一直线上,则对应顶点的连线交于一点.定义2 若两个三点形的对应顶点的连线共点,且对应边的交点共线,则两三点形构成透视关系.对应顶点连线的交点叫做透视中心,对应边交点所在的直线叫做透视轴.2.1.2 笛沙格定理应用举

7、例例4 证明：三角形的三条中线共点. 图2-1 图2-2证法1（初等几何方法）如图2-1,设三边的中线分别为、,且、相交于点,那么证明为边上的中线即可证明此结论.延长到点,使.点是的中点, 点是的中点,是的一条中位线.又点是的中点,点是的中点,是的一条中位线.,四边形是平行四边形.、互相平分.,即为边上的中线.命题得证.证法2（笛沙格定理逆定理）如图2-2,设三边的中点分别为、,则由三角形中位线定理可知,、,也就是说,和交于,和交于,和交于.利用笛沙格定理的逆定理,考虑三点形和三点形,它们的对应边的交点、共无穷远直线,所以对应顶点的连线、共点.笛沙格定理是射影几何的理论基础,它的应用很广,许多

8、定理以它为依据,对解决中学几何的共点线、共线点问题颇为简洁有效.2.2 交比的应用2.2.1 交比的有关概念和性质（1）共线四点的交比的初等表示：在欧式平面上,设是共线的相异四点,则,其中表示到得有向距离.若,则称依此次序构成调和点组,并称此交比为调和比.推论 设为共线的通常点,为此直线上的无穷远点,则 ,即为共线三点的简单比.而且为线段的中点. （2）共点四直线交比的初等表示：在欧式平面上,设是共点的相异四直线,则,其中表示由到的有向角.2.2.2 在初等几何中的应用举例例5 四边形两组对边延长后分别相交,且交点的连线与四边形的一条对角线平行,求证：另一条对角线的延长线平分对边交点连线的线段

9、.图2-3 图2-4证法1（初等几何方法）设四边形中与交于,与交于且（如图2-3）,求证：平分.过作,连接,下证四边形是平行四边形. 又 故 四边形是平行四边形,利用平行四边形的性质知平分,且,故的延长线交于平分线段.证法2（利用调和比） 如图2-4,四边形中与交于,与交于.若与交于,则由完全四点形的调和性质知,再由上述推论知必为的中点. 交比是射影几何的基本不变量,而调和比是最重要的一种交比,在射影几何的研究中具有十分重要的作用.运用交比的有关概念和性质来解决初等几何中的一些问题,不仅降低了解决问题的难度,证明思路清晰,过程简洁,而且拓宽了我们的视野,有助于我们站在新的高度上深入地理解初等几

10、何的知识.例6（蝴蝶定理）如图2-5所示,设是的弦,是的中点,过任作二弦,记,为依次与,的交点.求证. 图2-5 图2-6证法1 （用初等几何的方法）圆是以直径所在直线为对称轴的轴对称图形,那么如图2-5所示可作关于的对称线段,连接,则,由此可知,所以.又（四边形内接于圆）且,故,则四点,和共圆.所以,. 因 ,则 . 又 ,则,故.证法2（利用交比来证明）如图2-6,连接,以为顶点的线束被直线所截,则有. 同样,以为顶点的线束被直线所截,有,由同弧所对的圆周角相等,从而有,而 故 .即.又为的中点,从而,把代入上式得：,故,从而.在上述证法中,射影几何的方法简单,它只需计算一下交比,不但简捷

11、,而且计算交比的方法适用于所有二阶曲线,这样就自热地将蝴蝶推广到椭圆,双曲线和抛物线上,不过这时二阶曲线中弦的中点却不能用垂足代替.不论是圆或一般的二阶曲线,倘若不是弦的中点,可令,则有.此式,通常称它为坎迪定理.3 总结研究高等几何的思考方法及解题技巧,对于正确把握初等几何的解题实质和发展脉络都大有好处.作为合格的中学数学教师,要教好中学数学,不能只懂中学数学,而要“站得更高,看得更远” ,应拓宽视野,拓广思路,这样才能更好地把握中学数学的内容.而关于坎迪定理在圆锥曲线中的推广应用,限于篇幅,此处不赘述.参考文献1周兴和,高等几何.北京:科学出版社,20072李恩凤.高等几何与初等几何的关系.青年师专学报(自然科学),2001.3.53-553高巧琴,雒志江.高等几何在初等几何中的作用.雁北师范学院学报,200