微积分课件：9-9 一般周期函数的傅氏级数

1、一、以一、以2L2L为周期为周期的傅氏级数的傅氏级数二、正弦级数与余弦级数二、正弦级数与余弦级数三、小结三、小结第九节第九节 一般一般周期函数周期函数的傅氏级数的傅氏级数一、以一、以2L2L为周期为周期的傅氏级数的傅氏级数定理定理式为式为则它的傅里叶级数展开则它的傅里叶级数展开定理的条件定理的条件满足收敛满足收敛的周期函数的周期函数设周期为设周期为,)(2xfl0 0nnnnn 1n 1a an nxnxnx xf(x)(a cosb sin),f(x)(a cosb sin),2ll2ll 为为其其中中系系数数nnba ,), 2 , 1(,cos)(1 ndxlxnxflalln ), 2

2、 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflbllnl l0 0l l1 1af(x) dx,af(x) dx,l l ,)()1(为奇函数为奇函数如果如果xf则有则有,sin)(1 nnlxnbxf,sin)(20dxlxnxflbblnn 为为其中系数其中系数), 2 , 1( n,)()2(为偶函数为偶函数如果如果xf则有则有0 0n nn 1n 1a an nx xf(x)a cos,f(x)a cos,2l2l dxlxnxflaalnn 0cos)(2为为其中系数其中系数), 2 , 1( n证明证明,lxz 令令lxl , z),()()(zFlzfxf 设设.2)(为周期为周期

3、以以 zF),sincos(2)(10nzbnzaazFnnn 0 0nnnnn 1n 1a an nn nf(x)(a cosxb sinx)f(x)(a cosxb sinx)2ll2ll nnnn1111aF(z)cos nzdz, bF(z)sin nzdz.aF(z)cos nzdz, bF(z)sin nzdz.其中l l0 0l ll ln nl ll ln nl l1 1af(x)dxaf(x)dxl l1n1naf(x)cosxdx,af(x)cosxdx,llll1n1nbf(x)sinxdx.(n1,2,3,)bf(x)sinxdx.(n1,2,3,)llll 其中)()

4、(xfzFlxz k2 xy2044 解解., 2 满满足足狄狄氏氏充充分分条条件件 l0 02 20 02 20 01 11 1a a0 0d dx xk kd dx x2 22 2 k k, , 202cos21xdxnk, 0 202sin21xdxnkbn)cos1( nnk, 6 , 4 , 20, 5 , 3 , 12 nnnk当当当当)25sin5123sin312(sin22)( xxxkkxf), 4, 2, 0;( xx na), 2 , 1( n解解,10 xz作变量代换作变量代换105 x, 55 z)10()( zfxf),(zFz )10()( TzF作周期延拓作周

5、期延拓然后将然后将,收收敛敛定定理理的的条条件件这这拓拓广广的的周周期期函函数数满满足足由于由于F F( (z z) )是奇函数是奇函数, , 故故), 2 , 1 , 0(, 0 nanx)(zFy5 501510 50ndz5znsin)z(52b,10)1( nn), 2 , 1( n,5sin)1(10)(1 nnznnzF)55( z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx.5sin)1(101 nnxnn)155( x二、二、正弦级数与余弦级数正弦级数与余弦级数1、奇函数和偶函数的傅里叶级数、奇函数和偶函数的傅里叶级数 一般说来一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正一个函数的

6、傅里叶级数既含有正弦项弦项,又含有余弦项又含有余弦项.但是但是,也有一些函数的傅里叶也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项. 如如果果)(xf为为奇奇函函数数, ,傅傅氏氏级级数数nxbnnsin1 称称为为正正弦弦级级数数. .2、函数展开成正弦级数或余弦级数、函数展开成正弦级数或余弦级数非周期函数的周期性开拓非周期函数的周期性开拓).(2, 0)(xFxf函数函数为周期的为周期的延拓成以延拓成以上上定义在定义在设设 ,0)(0)()( xxgxxfxF令令),()2(xFxF 且且则有如下两种情况则有如下两种情况. 偶延拓偶延拓

7、奇延拓奇延拓F(x)F(x)在在 , , 上上为为奇奇( (偶偶) )函函数数 例例 3 3 将将函函数数)0(1)( xxxf分分别别展展开开成成正正弦弦级级数数和和余余弦弦级级数数. .解解 (1)(1)求正弦级数求正弦级数. .,)(进行奇延拓进行奇延拓对对xf 0sin)(2nxdxxfbn 0sin)1(2nxdxx)coscos1(2 nnn , 6 , 4 , 22, 5 , 3 , 122nnnn当当当当3sin)2(312sin2sin)2(21 xxxx)0( x1 xy5sin)2(514sin43sin)2(312sin2sin)2(21xxxxxx (2)(2)求余弦

8、级数求余弦级数. .,)(进行偶延拓进行偶延拓对对xf0 00 02 2a(x1)dxa(x1)dx 2,2, 0cos)1(2nxdxxan)1(cos22 nn , 5 , 3 , 14, 6 , 4 , 202nnn当当当当5cos513cos31(cos412122 xxxx)0( x1 xy)7cos715cos513cos31(cos4121222xxxxx 三、小结三、小结求傅氏展开式的步骤求傅氏展开式的步骤;1. 验证是否满足狄氏条件验证是否满足狄氏条件(收敛域收敛域,奇偶性奇偶性);2.求出傅氏系数求出傅氏系数;3.写出傅氏级数写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于并注明它在何处

9、收敛于).(xf以以2L为周期的傅氏系数为周期的傅氏系数;奇函数和偶函数的傅氏系数奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余正弦级数与余弦级数弦级数;非周期函数的周期性延拓非周期函数的周期性延拓;一、一、 设周期为设周期为2的周期函数的周期函数)(xf在一个周期内的表达式在一个周期内的表达式为为 121,1210,101,)(xxxxxf, ,试将其展开成傅里叶级试将其展开成傅里叶级 数数 . .二、二、 试将函数试将函数 lxlxllxxxf2,20,)(展开成正弦级数和余展开成正弦级数和余弦级数弦级数 . .练练 习习 题题三、三、 将函数将函数 232,22,)(xxxxxf展开成展开成傅里叶级数傅里叶级数 . .练习题答案练习题答案一、一、 4)(xf 122sin2cos21cos2sin2)1(1nnxnnnxnnnn