线性代数课件：1方阵的特征值与特征向量

1、第四章第四章 特征值与特征向量特征值与特征向量1 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的定义一、特征值与特征向量的定义二、特征值和特征向量的求法二、特征值和特征向量的求法三、特征值和特征向量的性质三、特征值和特征向量的性质说明说明. 特特征征向向量量1.,.的的特特征征值值都都是是矩矩阵阵的的即即满满足足方方程程值值有有非非零零解解的的就就是是使使齐齐次次线线性性方方程程组组的的特特征征值值阶阶方方阵阵AEAEAAn 03 一、特征值与特征向量的定义一、特征值与特征向量的定义 定义定义1 1 设设 A 是是 n 阶方阵阶方阵, ,若数若数 和和 n 维维非零非零列向

2、量列向量 使关系式使关系式 A = = 成立成立, ,则称数则称数 为为方阵方阵 A 的特征值的特征值, ,非零非零列向量列向量 称为称为 A 的对应的对应于特征值于特征值 的特征向量的特征向量. .2. . 特征值问题只对特征值问题只对方阵方阵而言而言 . . 04 EA .0212222111211 nnnnnnaaaaaaaaa次方程次方程为未知数的一元为未知数的一元称以称以n 0 EA . 的的为为A特征方程特征方程,次多项式次多项式的的它是它是n 记记 EAf 称其称其. 的的为方阵为方阵 A特征多项式特征多项式二、特征值与特征向量的求法二、特征值与特征向量的求法方阵的特征值与特征向

3、量的一般方法：方阵的特征值与特征向量的一般方法： (1) 求出特征方程的求出特征方程的 所有根，即所有根，即 A的全部特的全部特 0 EA 征值征值： (可能有重根可能有重根).). n ，21 (2) 对于对于A的每个特征值的每个特征值 ，求齐次线性方程组，求齐次线性方程组 i A(i 0 xE)的一个基础解系的一个基础解系 则则 tiii ，21ttiiiiiikkk 2211即为即为 A的对应于的对应于 的全部特征的全部特征 i 向量，其中向量，其中 为不全为零的任意常数为不全为零的任意常数. . tiiikkk，21解解例例1 1 .3113的特征值和特征向量的特征值和特征向量求求 A

4、的特征多项式为的特征多项式为A 31131)3(2 )2)(4(682 . 4, 221 的特征值为的特征值为所以所以A,00231123,2211 xx对应的特征向量应满足对应的特征向量应满足时时当当 . 0, 02121xxxx 即即,21xx 解得解得.11 1 p取为取为所以对应的特征向量可所以对应的特征向量可,001111,00431143,421212 xxxx即即由由时时当当 .11,221 pxx取为取为所以对应的特征向量可所以对应的特征向量可解得解得.2)0(1111的全部特征向量的全部特征向量是对应于是对应于所以所以 kpk.4)0(2222的全部特征向量的全部特征向量是对

5、应于是对应于所以所以 kpk例例 .201034011的特征值和特征向量的特征值和特征向量求矩阵求矩阵 A解解,)1( )2(201034011 2 EAA的特征多项式为的特征多项式为. 1, 2321 的特征值为的特征值为所以所以A由由解方程解方程时时当当. 0)2(,21 xEA ,0000100010010140132 EA,1001 p 得基础解系得基础解系.)(的全部特征向量的全部特征向量是对应于是对应于所以所以201111 kpk由由解方程解方程时时当当. 0)(,132 xEA ,000210101101024012 EA,1212 p 得基础解系得基础解系.)(的全部特征向量的

6、全部特征向量是对应于是对应于所以所以1032222 kpk例例 设设,314020112 A求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量解解 314020112EA ,2)1(2 02)1(2 令令. 2, 1321 的特征值为的特征值为得得A 由由解方程解方程时时当当. 0,11 xEA ,000010101414030111 EA,1011 p得基础解系得基础解系的的全全体体特特征征向向量量为为故故对对应应于于11 ).(0 111kpk 由由解解方方程程时时当当. 02,232 xEA ,0000001141140001142 EA得基础解系为：得基础解系为：,401,11032 pp :

7、232的的全全部部特特征征向向量量为为所所以以对对应应于于 ).0,(323322不不同同时时为为kk pkpk 三、特征值和特征向量的性质三、特征值和特征向量的性质定理定理1 A与其转置矩阵与其转置矩阵 有相同的特征多项式，从而有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。有相同的特征值。TA 定义定义2 n阶方阵阶方阵 主对角线上的元素的和主对角线上的元素的和)(ijaA 称为称为A的迹，记为的迹，记为tr(A)。nnaaa2211定理定理 2 设设 是是n阶方阵阶方阵A的的n个特征值，则个特征值，则n ,21(1) tr(A) ；(2) 。n 21An 21推论推论1 n阶方阵阶方阵A可逆的充

8、分必要条件是可逆的充分必要条件是A的所有特征的所有特征值都不为零。值都不为零。例例 证明：若证明：若 是矩阵是矩阵 A 的特征值的特征值 , x 是是 A 的的 属于属于 的特征向量，则的特征向量，则 .)1(是任意自然数是任意自然数的特征值的特征值是是mAmm .,)2(11的特征值的特征值是是可逆时可逆时当当 AA 证明证明 xAx 1 xAxxAAxA xxA22 再继续施行上述步骤再继续施行上述步骤 次，就得次，就得2 mxxAmm .,征向量征向量的特的特对应于对应于是是且且的特征值的特征值是矩阵是矩阵故故mmmmAxA 可得可得由由xAx xAxAAxA111 xxA11 , 0,

9、2 可逆时可逆时当当A.,1111的的特特征征向向量量对对应应于于是是且且的的特特征征值值是是矩矩阵阵故故 AxA例例5 设设 是一个多项是一个多项0111axaxaxaxfmmmm)(式，若式，若 为方阵为方阵A的一个特征值，则的一个特征值，则 为为 的一的一 )( f)(Af个特征值。个特征值。例例6. |75|,1,2,1 (1)23AAAA 求求特征值为特征值为的的已知三阶方阵已知三阶方阵. |23|, 1,2,1 (2)*EAAA 求求特征值为特征值为的的已知三阶方阵已知三阶方阵例例7 设设 ，证明：，证明：A的特征值只能为的特征值只能为0或或1。AA 2.,.,线性无关线性无关则则

10、各不相等各不相等如果如果向量向量依次是与之对应的特征依次是与之对应的特征个特征值个特征值的的是方阵是方阵设设定理定理mmmmppppppmA21212121 3 证明证明使使设设有有常常数数mxxx,21. 02211 mmpxpxpx则则 , 02211 mmpxpxpxA即即, 0222111 mmmpxpxpx 类推之，有类推之，有. 0222111 mmkmkkpxpxpx 1, 2 , 1 mk把上列各式合写成矩阵形式，得把上列各式合写成矩阵形式，得 11221112211111,mmmmmmmpxpxpx 0 , 0 , 0 于于是是有有可可逆逆从从而而该该矩矩阵阵该该行行列列式式

11、不不等等于于不不相相等等时时当当各各式式列列阵阵的的行行列列式式为为范范德德蒙蒙行行上上式式等等号号左左端端第第二二个个矩矩., 0,i ,0 ,0 ,0,2211 mmpxpxpx ., 2 , 10mjpxjj 即即, 0 jp但但 ., 2 , 10mjxj 故故.,21线线性性无无关关所所以以向向量量组组mppp定理定理3的一个常用推广：的一个常用推广：m ,21iirii ,21mi, 21i irmmrmmrr ,21222211121121定理定理4 设设 是方阵是方阵 A的的m个互不相同的特征个互不相同的特征值，值， 是是A的对应于的对应于 的的 线性无关的特征线性无关的特征向量，向量， 则则线性无关。线