线性代数课件：2-3 行列式的应用

1、第二章第二章 行列式行列式 (determinant )2.1 行列式的定义行列式的定义2.2 行列式的性质行列式的性质2.3 行列式的应用行列式的应用 一一 、克拉默克拉默(Cramer) 二、矩阵求逆公式二、矩阵求逆公式 三、矩阵的秩三、矩阵的秩2.3 行列式的应用行列式的应用一一 、克拉默克拉默(Cramer)法则法则设设n n个方程个方程n n个未知数的非齐次线性方程组为个未知数的非齐次线性方程组为11112211211222221122(1)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb 如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)的系数行列式的系数行列式11

2、12121222120,nnnnnnaaaaaaDaaa定理定理2.2 克拉默法则克拉默法则 且解可以表示为且解可以表示为那么线性方程组那么线性方程组(1)有唯一解，有唯一解，.DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 定理定理2.32.3 如果线性方程组如果线性方程组(1)(1)无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式

3、必为零解，则它的系数行列式必为零. .对于齐次线性方程组对于齐次线性方程组 1111221211222211220020nnnnnnnnna xa xa xa xa xaxa xaxax 定理定理2.42.4如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(2)(2)的系数行列式的系数行列式 , ,则齐次线性方程组则齐次线性方程组 (2)(2)只有零解只有零解. .0 D方程组方程组(2)(2)是方程组（是方程组（1 1）的特例，将定理）的特例，将定理2.22.2应用到方程应用到方程组组(2)(2)得到得到定理定理2.5 2.5 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组(2) (2) 有非零解有非零解, ,则

4、它则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零. .例例1 用克拉默法则解线性方程组用克拉默法则解线性方程组 . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DD

5、x, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx例例2 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组 ,01,032,0421321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？ 111132421D解解 101112431 1331212332212cc)2)(3( 齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则0 D所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.20 ,3 001121223312)1(13 cc二、矩阵求逆公式二、矩阵求逆公式定义定义2.2 伴随矩阵伴随矩阵112111222212nnnnnnAAAAAAAAA称为矩阵称

6、为矩阵A 的的伴随矩阵伴随矩阵,(),ijn nijijAaaAn 设设矩矩阵阵元元素素的的代代数数余余子子式式按按如如下下的的顺顺序序构构成成的的 阶阶矩矩阵阵A 记记为为定理定理2.6n n()ijAa,AAA AA E. 设设则则证明证明 ,ijaA 设设 ,ijbAA 记记则则jninjijiijAaAaAab 2211 0 Aijij 111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaAAAaaaAAAAAaaaAAA AAA EA112111112112222212221212nnnnnnnnnnnnAAAaaaAAAaaaA AAAAaaa AAA E

7、A定理定理2.72.7 矩阵矩阵 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 A0 A.的伴随矩阵的伴随矩阵为矩阵为矩阵其中其中AA 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义奇异矩阵与非奇异矩阵的定义.,0,0非非奇奇异异矩矩阵阵称称为为时时当当称称为为奇奇异异矩矩阵阵时时当当AAAA AA.由由此此可可得得是是可可逆逆阵阵的的充充要要条条件件是是为为非非奇奇异异矩矩阵阵,11 AAA且且AA11 111 AAAAE例例3 (1) 3 (1) 求方阵求方阵 的逆矩阵的逆矩阵. . 343122321A解解343122321 A, 02 .1存在存在 A, 2341211 A, 3331212 A, 2432213 A

8、,222563462 A得得, 2341211 A, 6343221 A, 2432213 A, 6333122 A, 5123132 A, 4123231 A, 2432123 A, 2222133 A AAA11 22256346221, 3331212 A AAA11 22256346221.11125323231 例例4.)0(的逆矩阵的逆矩阵求求 bcaddcbaA解解, 0 bcadA.* acbdA.11 acbdbcadA二阶矩阵的逆可以直接二阶矩阵的逆可以直接“看出来看出来” 11AA,A,AA.A例例5 5 若若 可可逆逆 证证明明亦亦可可逆逆 且且AAAAA1)()(11

9、1*1 AAAA1)()(*11* AAAEAAA1)()1(1* 知知由由证明：证明： .,1111AAAA 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若逆矩阵的运算性质小结逆矩阵的运算性质小结 且且可逆可逆则则数数可逆可逆若若, 0,2AA .111 AA .,3AAAAT 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若TT1 1 .,411AAAAAA 且且亦可逆亦可逆则则可逆可逆若若 且且亦可逆亦可逆则则为同阶方阵且均可逆为同阶方阵且均可逆若若,5ABBA 1ABB1 1 A112(3 )2A, A,AA 设设 为为三三阶阶方方阵阵求求例例62741)32(323121)3(3111*1 AAAAAA解：解：1

10、2821A,BA BABAE,A,B 例例7 7设设满满足足方方程程求求解：等号两边同时左乘解：等号两边同时左乘A，右乘，右乘 整理后得整理后得1 AEBAAA8)2(* EBAE8)22( 242)(41EAB三、矩阵的秩三、矩阵的秩. , 数数是是唯唯一一确确定定的的梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行的的行行梯梯形形，行行阶阶把把它它变变为为行行阶阶变变换换总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行任任何何矩矩阵阵nmA 矩阵的秩矩阵的秩定义定义2.32.3列列行行中任取中任取矩阵矩阵在在kkAmn (kmin m,n ), 位于这些行、列交叉处的位于这些行、列交叉处的2k个元素，个元素，.阶

11、子式阶子式的的称为矩阵称为矩阵k k阶行列式，阶行列式，中所处的位置次序而得的中所处的位置次序而得的kA不改变它们在不改变它们在A010R(4)2.ArD.rDArAA . 设设在在矩矩阵阵中中有有一一个个不不等等于于的的阶阶子子式式，且且所所有有阶阶子子式式（如如果果存存在在的的话话）全全等等于于 ，那那末末称称为为矩矩阵阵 的的最最高高阶阶非非零零子子式式，数数称称为为矩矩阵阵的的秩秩，记记作作并并规规定定零零矩矩阵阵定定的的秩秩等等于于零零义义.)( 子式的最高阶数子式的最高阶数中不等于零的中不等于零的是是的秩的秩矩阵矩阵AARAnm ，对于对于TA).()(ARART 显有显有( )R

12、 A 显显然然m,n,min( )=m,n,R Amin若若则称则称A为满秩矩阵为满秩矩阵例例8 8，求该矩阵的秩，求该矩阵的秩已知已知 510231202231A, 022031 102120231 502320231 解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，, 0 , 0 510312223 512310221 , 0 , 0 . 0 . 2 AR 8 2. AB,R AR B .若若经经过过初初等等变变换换得得到到则则定定理理做初等变换，做初等变换，对矩阵对矩阵 510231202231A如果如果31r2r1322132202130213B,20150000 显然，非零行的行数为显然，非零行

13、的行数为2，R(B)=2此方法简单！此方法简单！例例9 9 4321,6063324208421221bA设设 .)(的的秩秩及及矩矩阵阵求求矩矩阵阵bABA 解解),( bAB的行阶梯形矩阵为的行阶梯形矩阵为设设分析：分析：的行阶梯形矩阵，的行阶梯形矩阵，就是就是则则AA).()(),(BRARbA及及中可同时看出中可同时看出故从故从 46063332422084211221B1221100210(A|b)0000100000 . 3)(, 2)( BRAR下面讨论矩阵秩的一些性质和公式下面讨论矩阵秩的一些性质和公式性质性质1 0( )=r00rm nrEAmnAAEr 设设 为为矩矩阵阵,

14、 ,则则R R的的标标准准型型为为其其中中为为 阶阶单单位位阵阵. . ,.例例5 5 写写出出下下列列矩矩阵阵的的标标准准型型 并并指指出出哪哪个个是是满满秩秩矩矩阵阵, 2)(,A)1(43 AR, 3)(,A)2(43 AR, 3)(,A)3(33 AR, 1)(,A)4(41 AR性质性质2 (1) R( )=n(),R()=R( )AAABB若若此此时时称称 为为列列满满秩秩 则则(2) R( )=m(),R()=R( )AACAC若若此此时时称称 为为行行满满秩秩 则则,R()=R()=R( )AABBAB特特别别地地 若若 可可逆逆 则则mnmnnmCBA ,设设 23416232344630Ax,B 设设例例10()=2,x,R AABA. 若若求求 并并写写出出 的的标标准准型型解：解： 10012106433EB得得B+E可逆可逆)()()(2AREBARABAR 5001090432xA9 xA的标准形为的标准形为 000010001关于矩阵秩的几个常见