微积分课件：7-3 三重积分的 计算

1、一、三重积分的定义一、三重积分的定义二、三重积分的计算二、三重积分的计算三、小结三、小结第三节第三节 三重积分的三重积分的 计算计算一、三重积分的定义一、三重积分的定义即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做体积元素叫做体积元素其中其中dv, 的平面来划分的平面来划分用平行于坐标面用平行于坐标面在直角坐标系中，如果在直角坐标系中，如果.lkjizyxv 则则三三重重积积记记为为 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .积元素积元素叫做直角坐标系中的体叫做直角坐标系中的体其中其中dxdydz三重积分的几何意义三重积分的几何意义当当 f(x,y,z

2、)1f(x,y,z)1 时时, ,dvVdvV 表表示示空空间间区区域域的的体体积积 三重积分的性质三重积分的性质类似于二重积分的性质类似于二重积分的性质中值定理中值定理:设设 f f( (x x, ,y y, ,z z) )在有界闭域在有界闭域 上连续上连续, ,V V 为为 的的体积体积, , 则存在则存在( ( , , , , ) ), , 使得使得f(x,y,z)dvf(x,y,z)dvf(f( , , , , )V)V 222222223 3r0r0 xyzrxyzr1 1设设f(x,y,z)f(x,y,z)连连续续, ,则则 limf(x,y,z)dvlimf(x,y,z)dvr

3、r 直角坐标系中将三重积分化为三次积分直角坐标系中将三重积分化为三次积分二、利用直角坐标计算三重积分二、利用直角坐标计算三重积分xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，,Dxoy面上的投影为闭区域面上的投影为闭区域在在闭区域闭区域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz1坐标面投影法（先后）坐标面投影法（先后） 函数，则函数，则的的只看作只看作看作定值，将看作定值，将先将先将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxz

4、dzzyxfyxF再再计计算算 F(x,y)F(x,y) 在在闭闭区区域域 D D 上上的的二二重重积积分分21( , )( , )( , )( , , ).zx yzx yDDF x y df x y z dz dxdy ,),()(:21bxaxyyxyD 得得 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意注意于两点情形于两点情形相交不多相交不多的边界曲面的边界曲面直线与闭区域直线与闭区域内部的内部的轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域这是平行于这是平行于Sz 其中其中 为三个坐标为三个坐标例例1: 计算三重积分计算三重积分xdxdydz

5、,xdxdydz,21xyz所围成的闭区域所围成的闭区域 .1xyz121解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面面及平面解解由由 22222xzyxz, 得得交交线线投投影影区区域域, 122 yx故故 ： 22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如图，如图，(3) 计算二重积分计算二重积分

6、 zDdxdyzyxf),( 其结果为其结果为z的函数的函数)(zF；(4)最后计算单积分最后计算单积分 21)(ccdzzF即得三重积分值即得三重积分值.z例例 4 4 计计算算三三重重积积分分dxdydzz 2，其其中中 是是由由 椭椭球球面面1222222 czbyax所所成成的的空空间间闭闭区区域域. : ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解| ),(yxDz 1222222czbyax )1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc 原式原式注

7、注: :若若被被积积函函数数为为一一元元函函数数, ,用用先先2 2后后1 122222222例例 : : 计计算算x dxdydz,x dxdydz,:xyz2z (:xyz2z (选选讲讲) )( (作作业业P48)P48)2222222222例例5 :5 : 计计算算z dv,z dv,是是由由曲曲面面z1xyz1xy 与与xyz1xyz1所所围围成成的的闭闭区区域域.(.(作作业业P45)P45)补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于

8、三个坐标轴的、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性奇偶性3 3若若为为R R 中中关关于于xyxy面面对对称称的的有有界界闭闭区区域域，f(x,y,z)f(x,y,z) 为为上上的的连连续续函函数数, ,则则 ; 0),(,_),(dvzyxfzyxf为为奇奇函函数数时时关关于于当当 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf为为偶偶函函数数时时关关于于当当.1面面上上方方的的部部分分在在为为其其中中xy zz2解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz

9、0, 02 , . z三、利用柱面坐标计算三重积分三、利用柱面坐标计算三重积分( , , ), ,M x y zMxoyPzM 设设为为空空间间内内一一点点，并并设设点点在在面面上上的的投投影影的的极极坐坐标标为为，则则这这样样的的三三个个数数就就叫叫点点的的柱柱面面坐坐标标规定：规定：xyzo),(zyxM( , )P cos ,sin ,.xyzz 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为 为为常常数数为常数为常数z 为为常常数数如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM( , )P zxyzo dxdydzzyxf),(

10、cos ,sin , ).fzd d dz d xyzodzd d 如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为,dvd d dz ).yx(f)3;)2;D)122 被被积积函函数数为为旋旋转转抛抛物物面面的的边边界界曲曲面面为为圆圆柱柱面面或或是是圆圆域域的的投投影影区区域域一一般般按按z z的的次次序序进进行行积积分分下下列列情情形形用用柱柱面面坐坐标标： ( (实实质质是是先先1 1后后2)2)例例1 1 计算计算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx与抛物面与抛物面zyx322 所围的立体所围的立体.解解22243zz 1,3,z 知交线为知交

11、线为22323400Iddzdz .413 面上，如图，面上，如图，投影到投影到把闭区域把闭区域xoy 22:4303,02 .z ，另另解解: :先先2 2后后1 1222222222222例例2:2:求求(xy )zdxdydz,(xy )zdxdydz,由由zxyzxy 与与xy1xy1及及z0z0围围成成.(.(作作业业P50)P50)22222 2例例3 3：计计算算I(xy )dVI(xy )dV，其其中中为为平平面面曲曲线线y2zy2z绕绕z z轴轴旋旋转转一一周周形形成成的的曲曲面面与与平平面面z8z8所所x0 x0围围成成的的区区域域。 2 22 248483 30000 /

12、 2/ 210241024解解：IdIdd ddzdz3 3 四、利用球面坐标计算三重积分四、利用球面坐标计算三重积分的球面坐标的球面坐标就叫做点就叫做点，个数个数面上的投影，这样的三面上的投影，这样的三在在点点为为的角，这里的角，这里段段逆时针方向转到有向线逆时针方向转到有向线轴按轴按轴来看自轴来看自为从正为从正轴正向所夹的角，轴正向所夹的角，与与为有向线段为有向线段间的距离，间的距离，与点与点点点为原为原来确定，其中来确定，其中，三个有次序的数三个有次序的数可用可用为空间内一点，则点为空间内一点，则点设设MrxoyMPOPxzzOMMOrrM)z ,y, x(M ,r 0.20 ,0 规定

13、：规定：为常数为常数r为常数为常数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面 .cosrz,sinsinry,cossinrx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，Pxyzo),(zyxM r zyxA，轴上的投影为轴上的投影为在在点点，面上的投影为面上的投影为在在设点设点AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 则则 dxdydzzyxf),( .ddrdsinr )cosr ,sinsinr ,cossinr ( f2球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,ddrdsinrdv2 drxyzodr d

14、sinr rd d d sinr如图，如图，2222221)1)积积分分区区域域由由球球面面所所围围成成的的立立体体；2)2)被被积积函函数数为为f(xyz ).f(xyz ).下下列列情情形形用用球球面面坐坐标标：的次序进行积分的次序进行积分一般按一般按 , r解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，采采用用球球面面坐坐标标，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40, a2r0: 由由三三重重积积分分的的性性质质知知 dxdydzV, a202020drsinrddV4 403d3)a2(sin2.)12(343a 另另解解：采采用用柱柱面面坐坐标标解解 1 采采用用

15、球球面面坐坐标标az ,cosar 222zyx ,4 ,20,40,cosar0: dxdydzyxI)(22drsinrdd40cosa03420 d)0cosa(51sin255403.105a 解解 2 采用柱面坐标采用柱面坐标 ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr2 22 222222222222 22 2a aa ax xaxyaxy2222a axyxya a- -x x2 22 2例例6 :6 : 三三次次积积分分I=dxdyf(x,y

16、,z)dzI=dxdyf(x,y,z)dz的的柱柱坐坐标标形形式式为为I=I=球球坐坐标标形形式式为为I=I= ( (作作业业P47)P47)解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 其其中中yzxy 是是关关于于y的的奇奇函函数数, 且且 关关于于zox面面对对称称, 0)(dvyzxy,同同理理 zx是是关关于于x的的奇奇函函数数, 且且 关关于于yoz面面对对称称, 0 xzdv由由对对称称性性知知 dvydvx22,则则 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx在柱面坐标下：在柱面坐标下：,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投影区域投影区域 xy

17、D： 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 注：注：此此题题不不宜宜采采用用球球面面坐坐标标作作业业P50P50第第4 4题题三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素dxdydzdv （计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结三、小结（1） 柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素dxdydzd d dz （2） 球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素 ddrdsinrdxdydz2（3） 对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法 柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标思考题

18、思考题 为为六六个个平平面面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z围围成成的的区区域域，),(zyxf在在 上上连连续续，则则累累次次积积分分_ dvzyxf),(.选择题选择题:;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若 由曲面由曲面22yxz 及平面及平面1 z所围成所围成, , 则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(化为三次积分是化为三次积分是 _. .2 2、 若若 是由曲面是由曲面0( cxycz),),12222 byax, ,0 z所所围成的在第一卦限内的闭区域围成的在第一卦限内的闭区域, ,则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(可化为三次积分为可化为三次积分为_._.3 3、 若若10 , 10 , 10: zyx, ,则则 dxdydzzyx)(可化为三次积分可化为三次积分_,_,其值为其值为_._.练练 习习 题题 4 4、若、若 : :是由是由),0(, 0, 0 hhzzx )0(2222 aayxayx及及所围成所围成, ,则三重积则三重积 分分 dvzyxf)