高等数学：11-1 常数项级数的概念和性质

1、1 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数infinite seriesR2常数项级数的概念常数项级数的概念收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质收敛级数的必要条件收敛级数的必要条件小结小结 思考题思考题 作业作业 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数constant term infinite series第一节第一节 常数项级数常数项级数的概念和性质的概念和性质3为什么要研究无穷级数为什么要研究无穷级数是进行数值计算的有效工具是进行数值计算的有效工具( (如计算函数值、如计算函数值、出它的威力出它的威力. . 在自然科学和工程技术中在自然科学和工程技术中, ,也常用无穷也常用无穷无穷级数是数和函数

2、的一种表现形式无穷级数是数和函数的一种表现形式. .因无穷级数中包含有许多非初等函数因无穷级数中包含有许多非初等函数, ,故它在积分运算和微分方程求解时故它在积分运算和微分方程求解时, ,也呈现也呈现如谐波分析等如谐波分析等. .造函数值表）造函数值表）. .级数来分析问题级数来分析问题, ,常数项级数的概念常数项级数的概念41. 级数的定义级数的定义 nnnuuuuu3211(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项如如 ;1031003103 n;1)1(41312111 nn.)1(11111 n以上均为以上均为(常常)数项数项级数级数.(1)常数项级数的概念常数项级数的概念一、一、常

3、数项级数常数项级数的概念的概念5这样这样, 级数级数(1)对应一个部分和数列对应一个部分和数列: nnuuus21称无穷级数称无穷级数(1)的的,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 2. 级数的收敛与发散概念级数的收敛与发散概念按通常的加法运算一项一项的加下去按通常的加法运算一项一项的加下去,为级数为级数(1)的的,无穷级数定义式无穷级数定义式(1)的含义是什么的含义是什么?也算不完也算不完,永远永远那么如何计算那么如何计算?前前n项和项和部分和部分和. niiu1常数项级数的概念常数项级数的概念6部分和数列可能存在极限部分和数列可能存在极限,也可能不存在极限也可

4、能不存在极限.定义定义,无限增大时无限增大时当当n, ssn有极限有极限数列数列,1收敛收敛 nnu.1的和的和叫做级数叫做级数这时极限这时极限 nnus nuuus21,没有极限没有极限如果如果ns.1发散发散则称无穷级数则称无穷级数 nnu的部分和的部分和如果级数如果级数 1nnu.limssnn 即即则称无穷级数则称无穷级数并写成并写成即即常数项级数收敛常数项级数收敛(发散发散).nns lim(不存在不存在)存在存在常数项级数的概念常数项级数的概念7nnssr 21nnuu 1iinu0lim nnr对对收敛收敛级数级数(1),为级数为级数(1)的的余项余项或或余和余和. .显然有显然

5、有当当n充分大时充分大时,级数的敛散性它与部分和数列是否有级数的敛散性它与部分和数列是否有极限是等价的极限是等价的. nnnuuuuu3211(1)称差称差ssn 误差误差为为|nr常数项级数的概念常数项级数的概念8例例2)1(321 nnnsn而而 nnslim所以所以, n321的部分和的部分和 级数级数 2)1(limnnn 级数发散级数发散.常数项级数的概念常数项级数的概念9解解时时如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1qaqqan 11(重要重要)例例讨论等比级数讨论等比级数(几何级数几何级数)的收敛性的收敛性.)0(20 aaqaqaqaaqnnn常数项级数的概念常

6、数项级数的概念10,1 时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1 时时当当 q nnqlim nnslim 收敛收敛 发散发散时时如如果果1 q,1 时时当当 q,1 时时当当 q nasn 发散发散 aaaa不不存存在在nns lim 发散发散 综上综上 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,10qqaqnn级数变为级数变为qaqqasnn 11常数项级数的概念常数项级数的概念11讨论级数讨论级数的敛散性的敛散性.)0(ln31 aann解解例例因为因为 1ln3nna为公比的等比级数为公比的等比级数,是以是以aln故故,1时时当当eae , 1|ln| a级数级数收敛收敛.发散

7、发散.ea10 当当, 1|ln| a 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,10qqaqnn,时时或或ea 常数项级数的概念常数项级数的概念12解解)12)(12(1 nnun)121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn例例 判定级数判定级数的收敛性的收敛性. )12()12(1531311nn常数项级数的概念常数项级数的概念13)1211(21limlim nsnnn)1211(21 nsn21 ,级级数数收收敛敛其余项为其余项为nnssr 12112121n即即21 s.21和为和为12121 n常数项级数的概

8、念常数项级数的概念14例例 12nnn 因为因为nnns223222132 ns2后式减前式后式减前式,得得nnnnnnns2)212()2223()2122(11122 nnn2212121112 证证证明级数证明级数并求其和并求其和.收敛收敛,12223221 nnnnn2211211 常数项级数的概念常数项级数的概念15 nnnns2211211故故 nnsslim 所以所以,此级数收敛此级数收敛,nnn22121 且其和为且其和为2. )2212(lim1nnnn2 12nnn常数项级数的概念常数项级数的概念16的部分和分别为的部分和分别为 ns.n 及及则则 n nks于是于是,0时

9、时不不存存在在极极限限且且当当 ksn也不存在极限也不存在极限.nnks , ssn当当nnks 证证性质性质1 1设常数设常数, 0 k则则 11nnnnkuu 与与有相同的敛散性有相同的敛散性. 11nnnnkuu 与与令令 nkukuku21;ks所以所以, 11nnnnkuu 与与有相同的敛散性有相同的敛散性.结论结论: : 级数的每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数, , 敛散性不变敛散性不变. .常数项级数的概念常数项级数的概念二、二、收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质12()nk uuu17性质性质2 2,11 nnnnvu 与与设有两个级数设有两个级数,

10、1sunn 若若,1 nnv.)(1 svunnn则则 1nnu若若 1nnv)(1nnnvu 则则发散发散.,1 nnu若若收敛收敛,发散发散, 1nnv均发散均发散,)(1nnnvu 则则敛散性敛散性不确定不确定.证证 niiivu1)(极限的性质极限的性质 niiinvu1)(lim niinniinvu11limlim即证即证.级数的部分和级数的部分和 niiv1 niiu1 结论结论: : 收敛收敛级数可以逐项相加与逐项相减级数可以逐项相加与逐项相减. .常数项级数的概念常数项级数的概念18 例例 11131,21nnnn 1121nn 1121nn都收敛都收敛. 131nn 211

11、1 113131nn无穷递减等比数列的和无穷递减等比数列的和qaS 11 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,10qqaqnn 113121nnn311131 25 常数项级数的概念常数项级数的概念19,)1()1()1( 都都发散发散. 但但,111 )1(1收敛收敛.例例 000 )1(10 常数项级数的概念常数项级数的概念20性质性质3 3 添加或去掉添加或去掉有限项有限项不影响一个级数的敛散性不影响一个级数的敛散性.性质性质4 4 1nnu设级数设级数收敛收敛,则对其各项任意加括号所得则对其各项任意加括号所得新级数新级数仍收敛仍收敛于原级数的和于原级数的和.一个级数加括号后所得新级数

12、发散一个级数加括号后所得新级数发散,则则注注原级数发散原级数发散.事实上事实上,加括后的级数就应该收敛了加括后的级数就应该收敛了.设原来的级数收敛设原来的级数收敛,则根据则根据性性常数项级数的概念常数项级数的概念质质4, )11()11(例如例如 1111 收敛收敛 发散发散一个级数加括号后收敛一个级数加括号后收敛,原级数敛散性不确定原级数敛散性不确定.210lim nnu证证 1nnus nu nnulimss 0 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件因为因为则则所以所以1limlim nnnnss1 nnss常数项级数的概念常数项级数的概念三、三、收敛级数的必要条件收敛级数的必要条件22注

13、注 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件, , 必要条件不充分必要条件不充分. .0lim nnu有有 n131211常用判别级数发散常用判别级数发散;如如 调和级数调和级数 也可用它求或验证极限为也可用它求或验证极限为“0”0”的极限的极限;0lim nnu级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:但级数是否收敛但级数是否收敛常数项级数的概念常数项级数的概念23是否收敛是否收敛?讨论讨论 n131211调和级数调和级数由于由于)1ln(xx )0( x知知 nn11ln1得得 nknkS11nn1ln34ln23ln2ln nn134232ln)1ln(n 由由 nnSlim知级数发散知级数发散

14、. .发散发散 nkk111ln )1ln(lim nn 常数项级数的概念常数项级数的概念24例例 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性)1( 13)32)(12)(12(52nnnnnn)2( 1)1(3nnnnn 133ln31nnnn)3(级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件常用判别级数发散常用判别级数发散. ., 0lim nnu解题思路解题思路常数项级数的概念常数项级数的概念25)1( 13)32)(12)(12(52nnnnnn解解 由于由于 nnulim81 发散发散0 )32)(12)(12(52lim3 nnnnnn)2( 1)1(3nnnnn解解 由于由于 nnulim

15、 nnn111lim30 发散发散e3常数项级数的概念常数项级数的概念26 133ln31nnnn)3( 解解 11nn 131nn而级数而级数33ln r33ln| r所以这个等比级数所以这个等比级数 133ln31nnnn发散发散.由由性质性质2知知,由由性质性质1知知,发散发散.因调和级数因调和级数发散发散,为公比的等比级数为公比的等比级数, 133lnnnn是以是以1 收敛收敛.常数项级数的概念常数项级数的概念27 1nnu设设为为收敛级数收敛级数, a为非零常数为非零常数,试判别级数试判别级数 1)(nnau的敛散性的敛散性.解解 因为因为 1nnu收敛收敛, 故故. 0lim nnu从而从而)(limaunn 0 故故级数级数 1)(nnau发散发散.a 0lim nnu级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:常数项级数的概念常数项级数的概念28常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法3. 按基本性质按基本性质则级数收敛则级数收敛由定义由定义, ssn若若2., 0lim nnu当当则级数发散则级数发散一般项、部分和、收敛、发散及级数的性质一般项、部分和、收敛、发散及级数的性质常数项级数的概念常数项级数的概念四、小结四、小结级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件记