高等数学：12-5 常系数齐次线性微分方程

1、1二阶常系数齐次线性方程定义二阶常系数齐次线性方程定义二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程解法小结小结 思考题思考题 作业作业n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法第五节第五节 常系数齐次线性微分常系数齐次线性微分方程方程齐次齐次常系数常系数常系数齐次常系数齐次常系数齐次常系数齐次常系数齐次常系数齐次第十二章第十二章 微分方程微分方程2n阶阶0 qyypy方程方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 线性微分方程线性微分方程常系数常系数二阶二阶常系数常系数齐次齐次线性线性二阶常系数齐次线性微分方

2、程二阶常系数齐次线性微分方程一、定义一、定义形如形如3- - 特征方程法特征方程法rxey 将其代入方程将其代入方程, 0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr2422, 1qppr 特征根特征根0 qyypy二阶二阶设设解解得得特征方程特征方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程常系数常系数齐次齐次线性方程线性方程(characteristic equation)(characteristic root)二、二阶二、二阶常系数齐次常系数齐次线性方程解法线性方程解法其中其中r为待定常数为待定常数. 4,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,

3、22xrey 两个两个 特解特解 y)0( 0 qyypy的通解的不同形式的通解的不同形式.二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程有两个不相等的实根有两个不相等的实根特征根特征根r的不同情况决定了方程的不同情况决定了方程02 qprr特征方程特征方程xre12Cxre2 1C21yy常数常数线性无关线性无关的的 得得齐次齐次方程的通解为方程的通解为rxey 设设解解其中其中r为待定常数为待定常数. 5有两个相等的实根有两个相等的实根,11xrey ,221prr )0( 一特解为一特解为xrexCC1)(21 代代入入到到，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprru

4、pru, 0 u,)(xxu ,12xrxey 2y常数常数 12yy. 0 qyypy化简得化简得.)(为为待待定定函函数数其其中中xu0 0 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程设设)(xu,1xre取取则则知知 yxre1xrxe1 1C2C得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为rxey 其中其中r为待定常数为待定常数. 设设解解6有一对共轭复根有一对共轭复根,1 ir ,2 ir ,)(xie xrey22 )0( )(21211yyy xex cos )(21212yyiy xex sin )sincos(21xCxCeyx 0,21 qyypyyy为为方方程程为了得到

5、实数形式的解为了得到实数形式的解,常数常数 21yy重新组合重新组合二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程的两个的两个线性无关线性无关的解的解.rxey 其中其中r为待定常数为待定常数. xrey11 xie)( 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为用欧拉用欧拉(Euler)公式公式:xixeixsincos 设设解解7称为称为.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解 特征方程特征方程0442 rr221 rr故所求通解为故所求通解为 y例例由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法确定其通解的方法二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数

6、齐次线性微分方程特征方程法特征方程法. .特征根特征根xexCC221)( 8.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解 特征方程特征方程0522 rr故所求通解为故所求通解为 y例例二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程特征根特征根)2sin2cos(21xCxCex 1 212ri ，9例例 解初值问题解初值问题 . 2, 4, 09241600 xxyyyyy解解 特征方程特征方程0924162 rr特征根特征根43 r所以方程的通解为所以方程的通解为41 CxexCy432)4( xexCCy4322433 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程4(二重根

7、二重根)00 12 C特解特解.)4(43xexy 0023412()xCC x ey 1001)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程特征方程0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rxkkexCxCC)(121 sin)(cos)(121121xxDxDDxxCxCCekkkkx 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程三、三、n阶阶常系数齐次线性方程解法常系数齐次线性方程解法若是若是k重根重根r若是若是k重共轭重共轭复根复根 i 11注意注意一个根都对应着通解中的一项一个根都对应着通解中的一项, nnyCyCyCy 2211二阶常

8、系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程n次代数方程有次代数方程有n个根个根, 而特征方程的每而特征方程的每且每一项各且每一项各一个任意常数一个任意常数.12二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程例例 求方程求方程解解052)4( yyy的通解的通解.特征方程特征方程, 052234 rrr021 rr故所求通解为故所求通解为特征根特征根xCCy21 . 0)52(22 rrr即即和和.214,3ir )2sin2cos(43xCxCex 13特征根特征根),( 11单根单根 r故所求通解故所求通解 xeCy1解解01222345 rrrrr特征方程特征方程0)1)(1(2

9、2 rr.022)4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例例,)(32,共轭复根共轭复根二重二重ir 对应的特解对应的特解xey 1,cos2xy ,sin3xy ,cos4xxy xxysin5 xxCCcos)(32xxCCsin)(54 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程14(3) 根据特征根的不同情况根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解 (1) 写出相应的特征方程写出相应的特征方程(2) 求出特征根求出特征根二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程四、小结四、小结二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程02 qprr0 qyyp

10、y特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式实根实根21rr xrxreCeCy2121 实根实根21rr 212()r xyCC x e复根复根)sincos(21xCxCeyx 求通解的步骤求通解的步骤:1 2ri，15思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程16思考题解答思考题解答, 0 y ,ln22yyyyy ,lnyyyx ,lnlnyy 令令yzln 则则0 zz特征根特征根1 rxxeCeCz 21.ln21xxeCeCy 求微分方程求微分方程 的通解的通解. yyyyyln22 特征方程特征方程012 r二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方