比奥固结理论

1、比奥固结理论太沙基固结理论只在一维情况下就是精确地，对二维、三维问题并不精确。比奥（Biot）从较严格的固结机理出发推导了准确反映孔隙压力消散与土骨架变形相互关系的三维固结方程,一般称为真三维固结理论，而将太沙基三维方程称为拟三维固结方程。介绍饱与土体固结的比奥理论。一.比奥固结方程（一）三维问题1.平衡方程在土体中取一微分体。若体积只考虑重力，z坐标向上为正，压力以压为正，则三维平衡微分方程为xyxyxyxzyz式中，为土的重度，应力为总应力。上式也可以写为其中式中f三个方向的体积力。yzzxxyfxfyfz2.有效应力原理根据有效应力原理，总应力为有效应力与孔隙压力阵表示：u之与，且孔隙水

2、不承受剪应力，用矩其中M=11100T平衡方程可以写为展开即为T+Mufxxyxzu0xyzxxyyyzu0xyzyxzyzzuxyzz式中一u、一u、一u实际上就是各方向的单位渗透力，此式就是以土骨架为脱离体建立xyz的平衡微分方程。3.本构方程，服从广义胡克定律，则利用本构方程中的物理方程可将式中的应力用应变来表示。比奥最初假定土骨架就是线弹性体D为线弹性矩阵，上式1可以写成v x2G2G 1-21-22G1-2yzG yz,xzG xz,xyG xy式中，G与分别为剪切模量与泊松比。其实，物理方程并不一定要限于弹性，也可推广到线弹性体，这时D为弹塑性矩阵。4.几何方程再利用几何方程，将应

3、变表示成位移。在小变形的假设下，几何方程为x式中，=y为位移分量。将上式展开，即xyzyzxzyyxzyxzzxzxyzxyyx应力应变符号在土力学中习惯以压为正 符号相反。5.连续性方程三维固结连续性方程，以拉为负，故式2与一般弹性力学中几何方程的w6.固结微分方程将式2代入式3,再代入式1,就得出以位移与孔隙压力表示的平衡微分方程。对于弹塑性问题，方程展开就是较复杂的，这里只给出弹性问题的展开方程将体积应变利用式2以位移来表示。即则连续性方程tK 2一u （式5）成为2u=0式其展开式为，须同时满足平衡方程式4与连续方这就就是以位移与孔隙压力表示的连续方程。饱与土体中任一点的孔隙压力与位移

4、随时间的变化程式6。将两式联立起来，并对时间取差分格式，即uf2式7U=0式7便就是比奥固结方程。它就是包含4个偏微分方程的微分方程组，也包含4个未知变量u、X、y、z，它们都就是坐标X、V、z与时间t的函数。在一定的初始条件与边界条件下，可解出这4个变量。式7为联立方程，反映变形方程与渗流的耦合，也称为流固耦合。其中，平衡方程的第一项表示发生的位移所对应的力，第二项表示当前孔压所对应的力。它们的与与外荷载平衡。连续性方程的第一项表示单位时间内位移改变所对应的体积变形，第二项表示孔压变化所引起的渗出水量。力的平衡中又有孔压的贡献，水量平衡中又有变形的贡献，相互耦合。需要特别指出的就是：以上方程

5、中所讲的孔隙水压力u都就是指超静孔隙水压力，即荷载引起的孔隙水压力增量。（二）轴对称问题轴对称问题的平衡微分方程为rrzrorzrrzzrzrzr连续性微分方程为vqrqrqztrrz将它们联立起来，并将应力用径向位移r与竖向位移z表示，流量用孔压U表示，成为以位移与孔压为未知变量的联列方程组，即轴对称问题的固结微分方程。（三）二维问题对于平面变形问题，比奥固结方程仍可写为式7,只就是式中0TXz0zXfxfz相应的应力应变为xzxzxzxz式7在二维问题中的展开式为G2xv012xx要解上述微分方程组，在数学上就是困难的。对于轴对称与平面应变中某些简单情况，已有人推导出了解析回答，并用以分析固结过程中的一些现象。但就是对于一般的土层情况，边界条件稍微复杂一些，便无法求得解