求二面角方法定义法

1、面角一一1定义法二面角.面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言,.面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小,在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式（设二面角的度S数为日，则cos6=,多用于求无棱二面角）求出二面角的大小。S侧面三角形求二面角的大小的基本方法为先证后算，即先由有关立几结论找出二面角的平面角（大多数题是用三垂线法去找），然后借助于解三角形求出平面角.现将二面角大小的求法归类分析如下:定义法：

2、利用二面角的平面角定义，在二面角棱上取一点（特殊点）两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角.用定义法时，要认真观察图形的特性1.如图，四面体ABCD的棱BD长为2,其余各棱的长均是面角ABDC、BACD的大小解析：取BD的中点。，连AO、OC在AABD中，AB=AD=衣，BD=2,AABD是等腰直角三角形,同理OCBD，/AOC是二面角ABDC的平面角。又AO=OC=1,AC=AOC=90°即二面角ABDC为直二面角。(2)取AC的中点E,连BE、DE,.AB=BC,AD=DC,，BD，AC,DELAC,BED就是二面角的平面角在ABDE中，BE=DE=,由余弦

3、定理，得cos，Z=-3解:D2.在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PAL平面ABCD,PA=AB=a,求二面角B-PC-D的大小。PA.LABPA_LAD>=PB=PD,AB=AD=a,PB=PD'BC=DC=PBD=PDCPC=PC过B作BH，PC于H,连结DHB使DHPC,故/BHD为二面角B-PC-D的平面角。因PB=72a,BC=a,pc=73a,-PBBC=Sbc=PCBH,贝UBH=a=DH223在4BHD中由余弦定理，得:a'、3 )2-(V2a)cos/BHD=222BH2DH2BD22BHLBD又0v/BHDv兀，则/BHD=2,二面角B-PC

4、-D的大小是。3.三棱锥A-BCD中，ZBAC=/BCD=90°,/DBC=30°,AB=AC=<6AD =4,求二面角 A BC D的度数。DC -AB D的大小。解：cos 1 =3练习:若 AC = CD4.如图 AC，面 BCD, BDL面 ACD ,=1, Z ABC =30°,求二面角AD即所求角的大小为C（此题也可用垂线法）1.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯DCBarccos。 3形，AB/DC/DAB=90：PA_L底面ABCD且PA=AD=D$AB=1,2PB的中点。(I)证明：面PADL面PCD(n)求AC与PB所成的角；(出)求面

5、AMCW面BM的成二面角的大小。万案一：(I)证明：PAL面ABCDCD±AQ由三垂线定理得：CDLPD.因而，CD与面PAD内两条相交直线AQPD都垂直，CDX面PAD.又CD=面PCD面PADh面PCD.(n)解：过点B作BE/CA,且BE=CA贝U/PBE是AC与PB所成的角.连结AE,可知AC=CB=BE=AE=2,又AB=2,所以四边形ACBE为正方形.由PA1面ABCD导/PEB=9(J在RtPEB中BE=J2,PB=V,5,COSPBE=BE=21°PB5(出)解：作ANI±CM垂足为N,连结BN.在RtPAB中,AM=MB又AC=CB.AM挈BMC

6、,BNI±CM故/ANB为所求二面角的平面角.CB±AC,由三垂线定理，得CB±PC,在RtPCB中,CM=MB所以CM=AM.1在等腰三角形AMC中，AN-MCCM2(拳)2AC,ANAB=2cos-ANB =AN2 BN2 - AB22 AN BN故所求的二面角为arccos(-).方法二：因为PALPD,PALAB,AD±AB,以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0)B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,-).2(I)证明：因而=(0,0,1),DC=(0,1,0)，故APDC=0,所以AP_LDC.由题设知AD±DC,且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC!面PAD.又DC面PCD上，故面PADL面PCD.(n)解：因Ac-(1,1,0),PB-(0,2,-1),(m)解：在MC上取一点N(