求值域的10种方法

1、求函数值域的十种方法一直接法(观察法)：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例1.求函数yJX1的值域。【解析】60,，JX11,，函数yJX1的值域为1,)。【练习】1 .求下列函数的值域：y3x2(1x1)；f(x)24A；X2y；yx11,x1,0,1,2。x1【参考答案】1,5；2,)；(，1)U(1,)；01,0,3。二.配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如2.F(x)af(x)bf(x)c的函数的值域问题，均可使用配方法。2例2.求函数yx4x2(x1,1)的值域。【解析】yx24x2(x2)26。-1x1,3x21,1(x2)29,.3(x2

2、)265,.3y5。，函数yx24x2(x1,1)的值域为3,5。例3.求函数y2xx24x(x0,4)的值域。【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：22一.一_、f(x)x24x(f(x)0)配方得：f(x)(x2)24(x0,4)利用二次函数的相关知识得f(x)0,4,从而得出：y0,2。说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：f(x)0。例4.若x2y4,x0,y0,试求lgxlgy的最大值。2【分析与解】本题可看成第一象限内动点P(x,y)在直线x2y4上滑动时函数lgxlgy1gxy的最大值。利用两点(4,

3、0),(0,2)确定一条直线，作出图象易得：x(0,4),y(0,2)，而1gx1gylgxy1gy(42y)1g2(y1)22,y=1时，1gxlgy取最大值1g2o【练习】2.求下列函数的最大值、最小值与值域：yx24x1；yx24x1,x3,4;yx24x1,x0,1;cx22x41,yx24x1,x0,5;(Dy-2,x一,4；yJx22x3。x473【参考答案】3,)；2,1；2,1；3,6；6,；0,24三.反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数

4、类型。2x例5.求函数y的值域。x1分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x,从而便于求出反函数。故函数的值域为(,2) U(2,)。d的值域。ca、a);(,)U(一 ,)。c c2x一一yy反解得x-一，x12y【练习】2x31 .求函数y与上的值域。3x22 .求函数yax-b,c0,xcxd2 2【参考答案】1.(,-)U(-,3 3四分离变量法：适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。例6:求函数y解：;y1 x的值域。2x 51-(2x 5)22x2x 572x 5722x 50'1一，函数22x

5、5的值域为 y | y适用类型2:分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为f (x)( k为常数)的形式。例7:求函数y-的值域。1分析与解：观察分子、分母中均含有x2 x项，可利用分离变量法；则有y2x-2- xx2 x 1 12x x 11112 3 。(x -)24不妨令：f(x) (x1 2312)4，g(x)由(f(x) 0)从而 f(x)34,注意：在本题中若出现应排除f(x) 0,因为f (x)作为分母.所以g(x)0，91,1。3另解: 观察知道本题中分子较为简单，可令2.x x 1t 2 x x,求出t的值域,进而可得到y的值域。【练习】2x22x323的值

6、域。xx1五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。例8:求函数y2xg2x的值域。(t 1)2 勺。241t22解：令tJ12x(t0),则x-,，yt2t11355当t,即x时，ymax-,无最小值。，函数y2x4去的值域为(-o28414例9：求函数yx2小(X1)2的值域。解：因1(x1)20,即(x1)21。故可令x 1 cos0, , , , y cos 1 J1 cos2 sincos 1

7、J2sin(-) 1 °4 053_7，%sin( -)10V2sin()1 1 点4244故所求函数的值域为0,1J2。例10.求函数y3x x 的值域。x4 2x2 1解：原函数可变形为:21 2x 1 x22 1 x2 1 x2可令x= tan ，则有 2x1 x2sin 21 x2,1 x22 cosy sin 2 cos2 2sin 4 4时，y.ymin8而此时tan有意义。的值域。12, 2故所求函数的值域为例11.求函数y(sinx1)(cosx1),x解：y(sinx1)(cosx1)sinxcosxsinxcosx11o令sinxcosxt，贝Usinxcosx(

8、t1)21 212y-(t21)t1-(t1)22 2由tsinxcosx、2sin(x)且x一,122可得：二t工2当t隹时，ymax3亚当t至时，y3及2242故所求函数的值域为WY23J2。422'例12.求函数yx4J5x2的值域。解：由5x20，可得|x|匹故可令x、.5cos,0,y.5cos45sin/0sin()40_5444当4时,ymax4.10当时，ymin4而故所求函数的值域为：4万,4.10六、判别式法： 把函数转化成关于 x的二次方程F（x, y） 0；通过方程有实数根，判别式ax2 thx g0,从而求得原函数的值域，形如 y -2（ 4、a2不同时为零）

9、的函数的值域，常用此方a?x b?x C2法求解。例13:求函数y X x 3的值域。x2 x 1解：由y3一x-3变形得(y 1)x2 (y 1)x y 3x x 10,当y 1时，此方程无解；当 y 1 时，. x R, . (y 1)2 4(y 1)(y 3) 0,解得1函数yx2 x 3的值域为y|1 y 11 x2 x 13七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。例14：求函数y x .1 2x的值域。解：当x增大时，1 2x随x的增大而减少，1 2x随x的增大而增大,，函数y x 1 2x在定义域（1 ， 一,3上是增函数。 y1函数y

10、x，12x的值域为（,。2例15.求函数yjx_7jx7的值域。解：原函数可化为:令y1JT7,y2"7,显然y1,y2在1,上为无上界的增函数所以yy1y2在1,上也为无上界的增函数所以当x=1时，yy1丫2有最小值J2,原函数有最大值卫2222显然y0,故原函数的值域为(0,2适用类型2:用于求复合函数的值域或最值。(原理：同增异减)2例16:求函数y10g1(4xx)的值域。2分析与解：由于函数本身是由一个对数函数(外层函数)和二次函数(内层函数)复合而成，故可令：t(x)x24x(t(x)0)配方得：t(x)(x2)24所以t(x)(0,4)由复合函数的单调性(同增异减)知：

11、y2,)。八、利用有界性：一般用于三角函数型，即利用sinx1,1,cosx1,1等。例17:求函数y8sx的值域。sinx3解：由原函数式可得：ysin x cos x3y ,可化为:.y2 1sin x(x)3y即 sin x(x3yy2 1sin x(x1,1即14yy21解得：上y4故函数的值域为注：该题还可以使用数形结合法。cosxsin x 38sx 0 ,利用直线的斜率解题。sin x 312x例18:求函数y1-2-的值域。yx12解：由yx1 2解得2x2x1y2x0,-0,1y11y，函数y1 2x1 2x的值域为(1,1)。九、图像法(数形结合法) :其题型是函数解析式具

12、有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，例19：求函数y |x 3| x 51的值域。2x 2 (x解： y |x 3| |x 5|8( 32x 2 (x. . y |x 3| | x 5 |的图像如图所示，)由图像知：函数y |x 3|x 5|的值域为8,例20.求函数y ,：(x 2)2(x 8)2的值域。B PAI!E» -802解：原函数可化简得：y | x 2| |x 8|上式可以看成数轴上点 P (x)到定点A (2) , B( 8)间的距离之和。由上图可知，当点 P在线段AB上时，y |x 2| | x 8| |AB| 10当点P在

13、线段AB的延长线或反向延长线上时,y |x 2| |x 8| | AB| 10故所求函数的值域为：10,例21.求函数yJx26x13&4x5的值域。解：原函数可变形为：y.(x3)2(02)2,(x2)2(01)2上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(2,1)的距离之和,由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymin|AB|整2)2(21)2/3,故所求函数的值域为、/43例22.求函数y&26x13jx24x5的值域。解：将函数变形为：y：(x3)2(02)2(x2)2(01)2上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点B(2,1)到点P(x,

14、0)的距离之差。即：y|AP|BP|由图可知：(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P1,则构成ABP,根据三角形两边之差小于第三边，有|ap'|BP'111AB|132)2(21)226即：26y.26(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有|ap|BP|AB|J26综上所述，可知函数的值域为：(J26J26|八(3,2)P尸'K3sinx例23、：求函数y3sinx的值域.2cosxy2y1分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式k将原x2Xi函数视为定点(2,3)到动点(cosx,sinx)的斜率，又知动点(co

15、sx,sinx)满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点(2,3)到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：点评：本题从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，结合图形，从而使问题得到巧解。0,v 。，u2 v2 2, u v y,例24.求函数y、：1xJX的值域。分析与解答：令uJix,v11X,则u原问题转化为：当直线uvy与圆u2v22在直角坐标系uov的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。由图1知：当uvy经过点(0,J2)时，yminJ2；2当直线与圆相切时，ymaxodJ2OCJ22。所以：值域为2y2十：不等式法：利用基本不等

16、式ab2/ab,abc33/abc(a,b,cR)，求函数的取值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例25.求函数y(sjnx二一)2(cosx)24的值域。sinxcosx解：原函数变形为:12cos x22、1y(sinxcosx)-2-sinx221 cesxsecx3 tan2xcot2x4 2.tan2xcot2x当且仅当tanxcotx即当xk时(kz),等号成立4故原函数的值域为：5,)例26.求函数y2sinxsin2x的值域。解：y4sinxsinxcosx4sin2xcosxy16sin4xcos2x_22_28sinxsinx(22sinx)8(sin2xsin2x22sin2x)/336427当且仅当sin2x22sin2x，即当sin2x2时，等号成立。3由y2 64可得:278x3V y8,39故原函数的值域为:8,3 8.39 , 9*十一、多种方法综合运用：例27.求函数y -x 2的值域。y x 3解：令 t Vx 2(t 0)，则 x 3 t2 1t 11(1)当t 0时，y n 1 a，当且仅当t=1,即x t -t(2)当 t=0 时，y=0。1时取等号，所以0 y2综上所述，函数的值域为：01