江苏专版2018年高考数学二轮复习14个填空题专项突破练习十五推理与证明

1、名校名师推荐,714个填空题专项强化练（十五）A组一一题型分类练推理与证明题型一合情推理1.已知不等式1+7V5,i+7+da，i+z+w+ivn，照此规律总结出第4249349164n个不等1 2X211 1 2X311 11+了1+尹牙 <一，1+尹了n 个不等式为 1 +1 + 32+，+ n2-l口+ 12<式为解析：由已知，三个不等式可以写成12X41一+42<,所以照此规律可得到第2n+112n+1n+1n+1.答案：1+22+32+,+n2+12n+1Z2VTn+1n+1-OA + | 7OA |/=0.2 .对于命题：若O是线段AB上一点，则有|"O

2、B|将它类比到平面的情形是:/，._，_-2_2_二若O是ABCrt一点，则有SaOBC'OA+aOCA'OB+SaOBAOC=0.将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积,因此依题意可知：若O为四面体ABC呐一点，则有Vobcd-7OA+VOacd-"OB+VoABD.OC+VoABC,"OD=0.答案:VoBCD,OA+WACDOB+VoABD一OC+VOABC一OD=03 .观察下列等式：2+2=4,2X2=4;3+3=2,3X3=9;%4=奈4

3、X4=?1122223333根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n的等式，这个等式可以表示为l 4 ,口 n+1n+1 n + n解析：由归纳推理得+(n+D=n-n+ 1xn+ 1)=n+1n+1*，所以得出结论n+1)-x(n+1)(nN)-答案：nn+(n+1)=nnx(n+1)( nC N*)4.已知圆的方程是 x2+y2=r2,则经过圆上一点 M（xo, y。）的切线方程为 xxc + yy0= r2.类比上述性质，可以得到过椭圆 £+=1上一点P(x。，y。)的切线方程为解析：圆的性质中，经过圆上一点分别用Mx。，yo)的横坐标与纵坐标替换.Mx。，y。)的切线

4、方程就是将圆的方程中的一个x与y故可得椭圆之+= 1类似的性质为：过椭圆,十 a ba b=1上一点P(x。，y。)的切线方程为xxT ay0y 一b2=1.答案:x°xy°y了"b2题型二演绎推理1 .已知函数f(x)=x3+x,对于等差数列an满足:f(a21)=2,f(a2一3)=2,Si是其前n项和，则S2。17=.解析：因为函数f(x)=x3+x为奇函数，且在R上单调递增，又因为f(a21)=2,f(a2。163)=2,则a21=(a2。163),即a2+a2。16=4,即a1+a2。17=4.则 S。17 =2。172(d+a2。17)=4。34.答案

5、：4Q342 .如图，在平面直角坐标系xOy中，分别在x轴与直线y=(x3+1)上从左向右依次取点A<,R,k=1,2,其中A是坐标原点，使ABA+1都是等边三角形，则46汜八1的边长是.人，一一.一*,一.兀_一一一AkB解析：因为ARR-1是一个内角为右的直角三角形，易得AA=1,且右一=2,3AkBk1所以人也01的边长是以AA=1为首项，2为公比的等比数列的第1。项，所以66八”的边长是1X29=512.答案：5123.如图，在平面斜坐标系xOy中，/xOy=0,平面上任意一点P/关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若"OP=xedye2(其中ebe2分别是x轴，y轴正方向上

6、的单位向重),则点P的斜坐标为(x,y),向重OP的斜坐标为(x,y).给出以下结论：若0=6。°,R2,1),则|=市；若Rx1,y1),Q(x2,y2),则"OP+7OQ=(x1+x2,y1+y2)；若OP=(x1,y1),OQi=(x2,y2),则OP-OQ=x1x2+y1y2；若0=60°,以O为圆心、1为半径的圆的斜坐标方程为x2+y2+xy1=0.其中所有正确结论的序号是.解析：对于，OP是两邻边长分别为2,1,且一内角为60。的平行四边形较短的对角线，解三角形可知|"OP|=短，故正确；对于，若P(xi,yi),Qx2,y2),则"

7、;OP+-OQ=(xi+x2,yi+y2),故正确；对于，OP=(xi,yi),OQ=(x2,y2),所以OPOQ=(xiei+yi/) , (xzei + yze)设圆O上任意一点为Rx因为ei-e2*0,所以OP-OQwxix?+yiy2,故错误；对于,y),因为OP=i,所以(xei+ye2)2=i,所以x2+y2+xy-i=0故正确.故填答案：4.在 ABC43,已知AEB=2,ACBC=6,则tanC的最大值是解析：法一：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点，建立平面直角坐标系如图所示，则A(-i,0),B(i,0).设点C坐标为(x,y)(yr2,一.223cD所以c2y .

8、过 C作 CDL AB,垂足为D,所以tan/AC92y,tan / BCD)=；,所以 tan2yC= tan / ACB= tan( / ACID- / BCD =5 i"Z 一 "Z-2y2y当且仅当“ y = 4y,即y =乎”时取等号，所以tan C的最大值为平法二：设 ABC勺内角A,-2a2= 3c2,B, C所对的边分别为 a, b, c,则c=2, b2-a2=6,所以2b2由余弦定理得,cos C=22222a2+b2-c2 3 ba2ab2ab5a2 + b2,56ab i 3 '故 tan C< 2±5.56 30且当 a=&

9、quot;2"，b=2-c=2 时，tan C=乎.所以tan C的最大值为2.55 .ACbC=6,得(x+i)+yxi+y=6,IPx=,答案:255题型三直接证明与间接证明1 .用反证法证明命题：若a+b+c为偶数，则“自然数a,b,c恰有一个偶数”时应反设为.解析：“自然数a,b,c中恰有一个偶数”的否定是“自然数a,b,c都是奇数或至少有两个偶数”.答案：自然数a,b,c中都是奇数或至少有两个偶数2 .若0<a<1,0<b<1,且awb,则在a+b,2ab,a2+b2和2ab中最大的是.解析：因为0<a<1,0<b<1,且aw

10、b,所以a+b>2ab,a2+b2>2ab,a+b（a2+b2）=a（1一a）+b（1-b）>0,所以a+b最大.答案：a+bba3 .下列条件：ab>0,abv。，a>0,b>0,a<0,b<0,其中能使一+二2ab成立的条件的序号是解析：要使b+a>2,只需b>0且a>0成立，即a,b不为0且同号即可，故都abab八一ba,、能使-+->2成立.ab答案：4 .凸函数的性质定理：如果函数f（x）在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意xi,»fXifX2fXnfXl+X2+,+Xn）右叱一X2,Xn,有&am

11、p;fi,已知函数y=sinx在nn，区间（0,兀）上是凸函数，则在ABC43,sinA+sinB+sinC的最大值为.A+ B+ C解析：因为f（X）=sinX在区间（0,兀）上是凸函数，且A,B,CC（0,兀）.所以f A f B f C3登17tli兀3.32!=fyJ,即sinA+sinB+sinCw3sin-=所以sinA+sinB+sinC的最大值为答案：B组一一高考提速练1 .若P=，a+，a+7,QJ=.a+3+,a+4(an0),则P,Q的大小关系是.解析：因为P2=2a+7+2/aa+7=2a+7+2&2+7a,Q2=2a+7+Ra+3a+4=2a+7+2a2+7a

12、+12,所以P2<Q,所以P<Q答案：P<Q2 .设a,b是两个实数，给出下列条件：a+b>2；a2+b2>2.其中能推出：“a,b中至少有一个大于1”的条件的是(填序号).解析：在中，假设a,b都不大于1,即awi,bwi,则a+bw2与题干a+b>2矛盾，故假设不成立，所以能推出："a,b中至少有一个大于1”.在中，若a=-2,b=-3,则a2+b2>2成立，故不能推出：“a,b中至少有一个大于1”.答案：3 .将正整数1,2,3,4，按如图所示的方式排成三角形数组，则第104、行左数第10个数是.木次解析：由三角形数组可推断出，第n行共

13、有2n-1项，且最后一项为卜小电n2,所以第10行共有19项，最后一项为100,故左数第10个数是91./"答案：91又xy>0,24.定义运算：xy=例如：34=3,(2)4=4,则函数f(x)=x(2x|Y，xy<0,x2)的最大值为22X2,0<x<2,解析：由题意可得f(x)=x(2xx)=*222或<0当0WxW2时，f(x)0,4;当x>2或xv0时，f(x)C(oo,0).综上可得函数f(x)的最大值为4.答案：45.已知点A(n,an)为函数y='x2+1图象上的点，®(n,bn)为函数y=x图象上的点，其中nCN

14、,设Cn=an-bn,则Cn与Cn+1的大小关系为.-2-1解析：由题意知，2=府7,bn=n,所以cn=yjn+1n=q2=.显然，cn随着n的增大而减小，所以Cn>Cn+1.答案：Cn>Cn+1一，x6.已知：f(x)=-，设f1(x)=f(x),fn(x)=fn1fn1(x)(n>1且nCN),则通过1x计算分析，猜想fn(x)(nCN)的表达式为.解析：由f1(x)=f(x)和fn(x)=fn1fn1(x)(n>1且nCN*),得f2(x)=fif1(x)=x1 -xx1 2x=1T，f3(x) = f2f2(x) =2x- = i-22x,1 1 -1 1 -

15、x1 1-2xx，由此猜想fn=1T(n名校名师推荐,、x*答案：fn(x)=1_2n1x(nCN)7 .定义：如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常，那么这个列叫作等差列，这个常叫作等差列的公差.已知向量列&是以ai=(1,3)为首项，公差,，一*Xiobn= ( xn , xn+ 1)( n 6为d=(1,0)的等差向量列，右向量an与非手向量bn=(xn,Xn+1)(nCN)垂直，则=解析：易知a=(1,3)+(n1,0)=(n,3),因为向量an与非零向量* 一 一一N)垂直，所以xn+1xnnx10x2x3x4 x5x63,所以q=一二x4联x7x8x9一

16、.一.一x6x7x8x1012大=c 3；x c 3113；x(_45(_6r_7(_8L91_e803J、3J、3J；3I、3J、3J、3厂243答案：4 4802438 .二维空间中，圆的一维测度(周长)1=2兀r,二维测度(面积)S=Ttr2;三维空间中，球的二维测度(表面积)S=4兀r2,三维测度(体积)V='兀3.应用合情推理，若四维空间中，3“超球”的三维测度V=8兀3,则其四维测度VW=.解析：在二维空间中，圆的二维测度(面积)S=Ttr2,则其导数S'=2兀，即为圆的一维测度(周长)1=2兀r；在三维空间中，球的三维测度(体积)V=4兀r3,则其导数V=4兀r2

17、,3即为球的二维测度(表面积)S=4兀r2；应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V=8兀r3,则其四维测度W=2兀4.答案：2兀49 .大数学家拉普拉斯曾经这样说过“数学本身赖以获得真理的重要手段就是归纳和类比”.事实上，数学中的许多重要定理和猜想都是通过归纳总结出来的，如欧拉公式：观察三棱锥、四棱锥、三棱柱、五棱柱等多面体，发现其顶点数V与面数F的和与棱数E相差2,即V+F-E=2,于是猜想任意凸多面体都具有这样的性质，后经过严格证明确实如此.利用上述思想，观察下列等式：1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49则第7个等式左端的和式的最后一个数

18、字、右端的结果分别是、.解析：由1,4,7,10知，第7个等式左端的和式的最后一个数字为1+6X3=19;由12,32,52,72知，第7个等式右端的结果为132=169.答案：1916910 .设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数)的导函数为f'(x).对任意xCR,不等式f(x)>f'(x)恒成立，则i工的最大值为a+c解析：=f(x)=ax2+bx+c,-fz(x)=2ax+b,对对任意xCR,不等式f(x)>(x)恒成立，ax2+bx+02ax+b恒成立，即ax2+(b2a)x+(cb)>0恒成立，故A=(b-2a)2-4a(c-b)

19、=b2+4a2-4ac<0,且a>0,即b2<4ac-4a2,，2一4ac4a>0,Oa>0,c.aQ0,b224ac 4a4Xc4aa2 + c244不2=2.2-2.(c-1)a当且仅当弓一1)=2时等号成立，故wbI的最大值为272-2.aa+c答案：22-211 .若数列an满足：对任意的nCN*,只有有限个正整数mt彳导am<n成立，记这样的m的个数为(an)*,则得到一个新数列(an)*.例如，若数列an是1,2,3,n,则数列(an)*是0,1,2，-n-1,已知对任意的nCN*,an=n2,则(a/=,(3)*)*=解析：因为am<5,

20、而an=n2,所以m=1,2,所以(as)=2.因为(a1)*=0,(a2)*=1,(a3)*=1,(a4)*=1,(a5)*=2,(a6)*=2,(既)*=2,(a8)*=2,(a9)*=2,(ai0)=3,(a*)=3,(a©=3,(ai3)=3,(a®=3,(ai5)=3,(ai6)=3,所以(ai)*)*=1,(a2)*)*=4,(a3)*)*=9,(a4)*)*=16,猜想(an)*)*=n2.答案：2n212 .如下图所示的数阵中，第10行第2个数字是1112211134311114 7741工15 彳而不5解析：根据题中所给数据，找出每行第2个数字的规律为：从第 2行起，