江苏专版高考数学大一轮复习第七章不等式第44讲不等式的综合应用学案理

1、44讲10不等式的综合应用学案理第44讲不等式的综合应用考试要求掌握解决不等式综合问题的方法（C级要求）.基砒诊断j靠苇|j二匚零擎流望j|OIE载新;第奕嘉福诊断自测41 .（必修5P102习题7改编）函数y=x+-（xw0）的值域是x解析当x>0时，y= x + X > 2x , '= 4;x当x<0时，y=x+-=(x)+<xx答案(一8,-4U4,+oo)2 .（必修5P106复习题16改编）已知*>0">0且满足2+8=1,则*+丫的最小值是xy解析-x+y=(x+y)1=(x+y)x+y=2+8+§+?,x>0,

2、y>0,，曰。，x>°，x2y8x28+y>10+2716=18,当且仅当ji时等号成立，又x+y=1，.当x=6,y=12时，x+y有最小值18.答案183 .(必修5P98练习2(2)改编)若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析由a,beR*,得a+b>2/ab,则ab=a+b+3>2yab+3,即ab-2/ab-3>0?(>/ab-3)(/ab+1)>0?yab>3,.1.at)>9.答案9,+8)4 .设xCR,f(x)=2'|,若不等式f(x)+f(2x)<k对于任意的xCR恒成立

3、，则实数k的取值范围是.1|x|1|2x|1|x|解析不等式化为k>2+2，因为万e(0,1,所以k>2.答案k>25.(必修5P102习题9改编)某种产品按下列三种方案两次提价.方案甲：第一次提价p%第二次提价q%方案乙：第一次提价q%第二次提价p%方案丙：第一次提价 审第二次提价巴*.其中p>q>0,上述三种方案中提价最多的是pq解析设原来价格为A,方案甲：经两次提价后价格为A1+忐1+稔=p+qpqpqA1+制+湍0；方案乙：经两次提价后价格为A1+忐1+就；方案丙：经两次提价后价格为A1+霖2=A1+p±q+吐q2.一.因为"心，所以方

4、案丙提2001002100002价最多.答案方案丙恃点突破.:.分美洲蒙洲取物俅法.Y考点一含参数的不等式问题2xx2>0,【例1】若不等式组2,+5+2k)X+5k<0的解集中所含整数解只有2,求k的取值范围.解由x2X2>0有xv1或x>2,由2x2+(5+2k)x+5kv0有(2x+5)(x+k)<0,因为一2是原不等式组的解，所以k<2.5由(2x+5)(x+k)<0有一2<x<k.因为原不等式组的整数解只有一2,所以一2vkw3,即一3wk<2,故k的取值范围是3,2).【训练1已知函数f(x)=lg(m2-3m2)x2+(

5、m-1)x+1的定义域为R,求实数m的取值范围.解二.函数f(x)的定义域为R,.对于任意xCR,恒有(n223m2)x2+(mr1)x+1>0.若m23mU2=0,则miR2或1.当m=1时，不等式即为1>0,符合题意；当m2时，不等式即为x+1>0,对任意xCR不恒成立，mH2不合题意，舍去.若m23mi+2W0,由题意得m2-3m2>0,=(rm-1)24(m23m+2)<0,m<1或m>2,解得、7即m<1或m>33，综上可得，m的取值范围是（一8,1u7-,+国.3考点二基本不等式的灵活运用【例2】设x,y均为正实数，且3+-=1

6、,则xy的最小值为2+x2+y一，333解析由=+书=1，得xy=8+x+y.x,y均为正实数，xy=8+x+y>8+2，xy（当且仅当x=y时等号成立），即xy2yxy-8>0,解得qxy>4,即xy>16.故xy的最小值为16.答案1644【训练2】设实数M6,若不等式2xm（2-x）n-8>0对任意X4,2都成立，则联的最小值为.解析设f(x)=2xm(2-x)n-8=(2m-n)x+(2n8)为关于x的一次函数.4m-3n+4<0,n< 6.由题设得f(2)>0,即m-2>0,nw6,作出不等式组所表示的可行域如图所示,im n-k

7、4=(JA(2A)设m= t,则t表示可行域内的点与坐标原点所连线段的斜率，可得12y<t< 3.g(t)=m4- n43mn1。 . 12. . =1t在5"Wtw3上为减函数,807所以T<g(t)<72-31212 37mi- n4故 3 的取小值为 一 mn803答案803考点三多元最值问题【例3】（1）已知ABC勺三边长分别为a,b,c,且满足b+cw3a,则c的取值范围为a设a,bc均为正数,满足”2b+3c=。，则ac的最小值是a<b+c<3a,解析（1）由已知及三角形三边关系得a+b>c,a+c>b,1<b+-&l

8、t;3,aa1+坐aa1+c>b,aabc1<-Iw3,aa1<-b<1,aa'一，rc两式相加得0<2xa<4c'a的取值范围为（02).(2) a-2b+3c= 0a+ 3cb=-5b2 a2+9c2+6acac4ac6ac+ 6ac4ac=3,当且仅当a=3c时取“=”答案(1)(。,2)(2)3考点四不等式与函数、三角、向量等知识的结合【例4】（一题多解）在ABC4角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=C且7a2+b2+c2=4；3,则ABO积的最大值为解析如图，在ABC,设D为BC的中点，则ADLBC法一由题知b=c贝U7a2

9、+2b2=4g2等号，所以 ABC勺面积最大值为即a2 =.,155法二设BD=CD=mAD=n,则由已知得7(2m2+2(m2+n2)=4q3,所以15m2+n2=2，3>2yT5mn所以mn<座,当且仅当15m=n2时取等号，5此时m=噜，所以4ABC面积的最大值为申答案;55要对作业?吧卬一、必做题,，_a.1 .已知常数a>0,函数f(x)=x+;(x>1)的最小值为3,则a的值为x1解析f(x)=x-1+x-ay+1>2/a+1=3,贝Ua=1.答案1*2+丫J2 .右头数x,y满足x>y>0,且log2x+log2y=1,则2-的取小值为x

10、-y解析,x2+y2x22xy+y2+2xy(xy)2+4由log2x+log2y=1,得xy=2,xy=x-y=x-y=x-y+4> 4, x-y22则道的最小值为4.当且仅当x=5+1,y=V3-1时取等号答案43.(2017镇江期末)函数y=asin(ax+0)(a>0,0w0)图象上的一个最高点和其相邻最低点的距离的最小值为.2a2+*解析函数的周期t为9，则;=看，最高点和其相邻最低点的距离为答案2yr则2+的最小值为a2 a2 010解析由题意得S 0112011 (ada2 on)a1 + a2 011 = 2.又 a2+ a2 010 = an- a2 011 =

11、2,1a2+11 11=7 一 +a2 0102 a2a2 010(a2+ a2 010)a2 010a2+a2a2 010+ 1>2.答案 25.（2017 苏北四市三模x ）若对于任意x>0, xxriwa恒成立，则实数a的取值范围是解析xx2+ 3x+ 11'3+x + - x1因为x>0,所以x + ->2（当且仅当x=1时取等号）, xLI 1则二&13+x + - x13215,一1,1的取大值为g,故a>5.1答案g, +86.（ 一题多解）设Rx, y）为函数y= x21（x>43）图象上一动点,记m=3x+ y 5x-1x+

12、 3y 7y-2则当m取最小值时，点P的坐标为解析法3x+ x26 x +3x210E x-1 + x2- 3x> . 3,所以 x2 3>0, x-1>0,所以 m>6+ 2=8.x2 3 x 1当且仅当=xx2C13，即x=2时，m取得最小值，此时点 P的坐标为（2, 3）.4.设正项等差数列an的前2011项和等于2011,3x3+y2 + x1 + 3y6mi=7x- 1y 2y 2 x 1_6+e +彳,因为x>aP,所以y>2,当且仅当y- 2x- 1所以y2>0,x1>0,所以m8.x11时，m取得最小值，下同法y2答案(2,3)7

13、.函数f(x)=ax22(a3)x+a2中，a为负整数，则使函数至少有一个整数零点的所有解析由ax22(a3)x+a2=0得a(x1)2=26x,显然x=1不成立，所以xw1,所2-6x1°.一一一以a=-.因为a为负整数，所以x%且(x1)<6x-2,解得4/13<x<4+Jt3,(x1)3'一2-6x将x=2,3,4,5,6,7代入a=72,得x=2,x=3符合条件，此时a=-10,a=lx)-4,故所有的a值的和为一14.答案14,，2,2ab,一,8.(2018盐城中学月考)a是1+2b与12b的等比中项，则的最大值为|a|+2|b|解析a2=14b

14、2故a2+4b2=1>4ab故ab<-<2aj2a14u，叫a十4u14au,叫au4，|a|+2|b|2J2b4，二且仅当一二a 2bf时，等号成立2答案丁3x-y-6<0,9.设x,y满足约束条件x-y+2>0,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,x>0,y>0,32则a+b的最小值为解析不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示.由z=ax+by得y=-ax+Z-,当z变化时，它表示经过可行域的一组平行直线，其斜率为a,在y轴上的bbb截距为b,由图可知当直线经过点A(4,6)时，在y轴上的截距最

15、大，从而z也最大，所以4a+6b=12,即2a+3b=6,所以3+2=2a：3b.3+2=16+6+4a+9b>4,当且仅当ab6ab6ba3342a=2,b=1时等号成立.所以a+日的最小值为4.答案4xx10 .已知iwigxy<4,1wigyW2,求1g了的取值范围解由iwigxyW4,-K1gy<2,得1w1gx+1gyW4,1w1gx1gyW2,工x213而1gy=21gx-1gy=2(1gx+1gy)+(1gx-1gy),2所以一1W1gx-<5,y2即1gxy的取值范围是1,5.二、选做题某公司为了竞标配11 .北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗

16、斯索契举办了发布会,套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行一，、，一、12技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入6(x600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销5售量a至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.解(

17、1)设每件定价为t元，t25依题意得(8-X0.2)t>25X8,整理得t265t+1000<0,解得25WtW40.40元.所以要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为(2)依题意知x>25,且 ax>25X8+ 50 +6(x2- 600)+5x,等价于 an詈+ 6x+5(x>25).150x当且仅当M=6,即x=30时等号成立,所以a.02当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.12.(2017大同期末)已知关于x的不等式ax2+(a2)x-2>0,aC

18、R(1)若不等式的解集为(一8,1U2,+8),求实数a的值；(2)若不等式ax2+(a-2)x-2>2x2-3对任意xCR恒成立，求实数a的取值范围；(3)解关于x的不等式ax2+(a-2)x-2>0.解(1)因为ax2+(a2)x2>0的解集为(一8,-1u2,+00),所以方程ax2+(a2)x2=0的两根为x=1或x=2,一2人所以一1X2=-解得a=1.a(2)若不等式ax2+(a-2)x-2>2x2-3对任意xCR恒成立，即(a-2)x2+(a-2)x+1>0对任意xCR恒成立.因此，当a=2时，不等式变为1>0,显然成立；当aw2时,解得2<aw6.a-2>0,(a2)4(a2)w0,综上，实数a的取值范围为2,6.(3)ax2+(a-2)x-2>0?(x+1)(ax-2)>0.当a=0时，原不等式变形为2x-2>0,解得x<-1.当awo时，ax2+(a2)x2=0的两根为x=1或x=?.a当a>0时，一1<4所以(x+1)(ax2)>0?xw1或x>2；aa当a<2时，一