河南省人口预测模型

1、2017-2018学年第二学期数学建模与实验科目考查卷专业：班级：任课教师：（姓名：学号：成绩：）（论文题目）河南省人口预测模型摘要有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。本文根据河南地区的人口统计数据，建立模型估计该地区2018年的人口数量。通过上网查找到2000-2017年河南省各年份的人口数量，首先，通过直观观察人口的变化规律后，发现该地区近10几年的人口变动十分不稳定，所以分了三部分来预测。我们假设该地区的人口数量是时间的二次函数，建立一个阻滞增长模型，并用最小二乘

2、法对已有数据进行拟合得到模型的具体参数，合理的建立了河南省人口发展Logistic模型并对河南省未来人口进行了初步预测，从而可以预测2018年的人口数为9456.5万人，第二部分是通过从2005年开始预测，2018年的人口为9509.3万人，第三部分是通过从2010年开始预测，得到2018年的人口为9538.2万人。关键字：人口预测、阻滞增长模型、Logistic模型、最小二乘法目录1. 问题重述31.1 、问题背景31.2 、要解决的问题32. 问题分析33. 模型假设34. 符号说明45. 建立模型41 .建模与求解41.1 非线性最小二乘估计51.2 线性最小二乘76. 参考文献87.

3、附录81. 附录182. 附录293. 附录3114. 附录4125. 附录5121. 问题重述1.1、 问题背景人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。我国是世界上人口最多的国家，故人口问题是我国最严重的问题。同时人口问题是当今世界上最严峻也是人们最关注的问题之一，所以认识人口数量的发展规律，建立合理数学模型，对未来人口做出清晰准确的预测是非常有意义的。随着中国计划生育的发展，人口问题也慢慢得到控制，但因人口基数太大，进而导致人口过多的问题始终无法解决，经济、科学、人民生活质量始终无法有显着的提高，人口增长过快，人民生活水平很难提高。因此，我们通过近代人口的数据，并采用指数增长模型和阻

4、滞增长模型，建立合理的数学建模来预测未来人口。1.2、 要解决的问题1、根据模型的计算结果，对未来人口发展高峰进行预测并针对中国人口的调控和管理进行分析。2、认识人口数量的变化规律，建立人口模型，做出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。2. 问题分析由题意可知，目的就是为了建立一种模型，得出合理的人口增长的趋势，做出中国未来人口经济发展的规划，人口增长模型是由生育、死亡、疾病、灾害、环境、社会、经济等诸多因素影响和制约的共同结果，如此众多的因素不可能通过几个指标就能表达清楚，他们对人口增长的潜在而复杂的影响更是无法精确计算。这反映出人口系统具有明显的灰色性，适宜采用指数增长模型和阻滞增长模

5、型去发掘和认识规律。3. 模型假设1 .忽略战争等不确定因素对我国人口的影响。2 .忽略该地区与其他地区人口迁入与迁出的人口影响3 .假设所给的数据真实可靠且有预测性。4 .社会稳定，不发生重大自然灾害与疾病。4.符号说明1 .设x为人口数量2 .设t年份3 .设x(t)为第t年人口数量4 .设净增长率为r5 .设人口增长率为r(x)6 .设Xm为最大人口5 .建立模型下表(1)是从2000年到2017年的河南省人口的统计数据(单位：万人)，建议人口预测模型，最后用它预报2018年河南省的人口。年份2000200120022003200420052006200720082009人口948895

6、5596139667971793809392936094299487年份20102011201220132014201520162017人口94059388940694139436948095329559表(1)1 .建模与求解记x(t)为第t年人口数量，设人口增长率r(x)为x的线性函数，即随着人口数的增加，人口增长速度会慢慢下降：自然资源与环境条件所能容纳的最大人口数为xm,即当x=xn时，增长率r(xm)=0：由上面的关系式可得出：建立Logistic人口模型：其解为：参数估计把表中的人口数据输入。1.1 非线性最小二乘估计把表中的第一个数据作为初始条件，利用余下的数据拟合中的参数xm和

7、r。得到图1拟合效果图1,求得xm=9448.5,r=0.0885,2018年人口的预测值为9456.5万人。图1拟合效果图1从图1(程序见附录1)中可以看出拟合的效果不是特别理想，总体的趋势是人口的数量逐渐减少，但是减少的数量不是很大，而且减少的速率越来越小，这也符合人口阻滞模型的规律。造成这的原因主要有以下几点：样本点太少，横跨的时间维度也不是很大。图1中的数据不是持续增长，而是起起伏伏。国家的宏观调控，计划生育政策。经济的微观调控，现在人们的生活压力越来越大，考虑的因素也越来越多。人们的观念也有所改变。人口移民。自然灾害等诸多因素。从图中可以看出人口数量从2000年到2004增长，到了2

8、005年有突然减少。为了减少误差，下面从2005年开始进行拟合。得到图2拟合效果图2,求得xm=17697,r=0.0023,2018年人口的预测值为9509.3万人。图2拟合效果图2从图2(程序见附录2)中可以看出拟合的效果比刚才的要好，总体的趋势是人口的数量逐渐增加，但是增加的数量不是很大，而且增加的速率越来越小，这也符合人口阻滞模型的规律。为了结果更准确，下面从2010年开始进行拟合。得到图3拟合效果图3,求得xm=20638,r=0.0032,2018年人口的预测值为9538.2万人。从图3(程序见附录3)中可以看出拟合的效果比刚才的还要好，总体的趋势是人口的数量逐渐增加，但是增加的数

9、量不是很大，而且增加的速率越来越小，这也符合人口阻滞模型的规律。实际情况是2017年人口已经达到了9559万人，而预测的2018年的人口数为9538.2万人。和实际情况有出入。主要原因是近几年人口老龄化问题严重，国家又实行放开二胎政策，所以人口的数量会有相应增加。1.2 线性最小二乘为了利用简单的最小二乘法估计这个模型的参数r和xm,把Logistics方程表示为利用向后差分，得到差分方程x(k)x(k1)1rsx(k)(k=2,3，,18)tx(k)式中：步长？t=1。下面拟合其中的参数r和s,求得xm=9474.7,r=-0.4201。编写的Matlab程序如附录4。也可以利用向后差分，得

10、到差分方程x(k1)x(k)1rsx(k),(k=1,2,.,17)tx(k)再进行拟合。求得xm=9491.0,r=0.3942o拟合的Matlab程序如附录5。从上面的三种拟合方法可以看出，拟合同样的参数，由于方法不同，可能结果相差很大。6 .参考文献11司守奎、孙兆亮.数学建模算法与应用(第2版).北京：国防工业出版社，2016.017 .附录1. 附录1x=nonzeros(9488,9555,9613,9667,9717,9380,9392,9360,9429,9487,9405,9388,9406,9413,9436,9480,9532,9559');t=2000:1:20

11、17't0=t(1);x0=x(1);fun=(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)反0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0);cs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1)xm=cs(1)r=cs(2)xhat=fun(cs,t;2018)plot(t,x,t;2018,xhat)cs=1.0e+03*9.44850.0001xm=9.4485e+03r=0.0885xhat=1.0e+03*9.48809.48469.48169.47889.47629.47389.47179.46979.46799.

12、46639.46479.46349.46219.46099.45999.45899.45809.45729.45652. 附录2x=nonzeros(9380,9392,9360,9429,9487,9405,9388,9406,9413,9436,9480,9532,9559');t=2005:1:2017't0=t(1);x0=x(1);fun=(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0);cs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1)xm=cs(1)r=

13、cs(2)xhat=fun(cs,t;2018)plot(t,x,t;2018,xhat)cs=1.0e+04*1.76970.0000xm=1.7697e+04r=0.0023xhat=1.0e+03*9.38009.39009.39999.40999.41989.42989.43979.44969.45969.46959.47959.48949.49939.50933. 附录3x=nonzeros(9405,9388,9406,9413,9436,9480,9532,9559');t=2010:1:2017't0=t(1);x0=x(1);fun=(cs,td)cs(1).

14、/(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0);cs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1)xm=cs(1)r=cs(2)xhat=fun(cs,t;2018)plot(t,x,t;2018,xhat)cs=1.0e+04*2.06380.0000xm=2.0638e+040.0032xhat=1.0e+03*9.40509.42169.43839.45499.47169.48829.50499.52159.53824. 附录4x=nonzeros(9488,9555,9613,9667,9717,9380,9392,9360,9429,9487,9405,9388,9406,9413,9436,9480,9532,9559');t=2000:1:2017'a=ones(17,1),-x(2:end);b=diff(x)./x(2:end);cs=ab;r=cs(1)xm=r/cs(2)r=-0.4201xm=9.4