第3章电路定理及应用

1、第3章电路定理及应用教学重点：1. 熟练掌握叠加定理、替代定理、和定理、定理和互易定理；2. 了解对偶原理。电路定理及应用第3章3.1 叠加定理和齐性定理3.2 替代定理和定理3.33.4 最大功率传输定理3.6 互易定理3.7 对偶定理3.8 应用3.5定理3.1叠加定理 (Superposition Theorem)一、叠加定理:性电路中，任一支路电流(或电压)都是电路中各电源单独作用时，在该支路产生的电流(或电压)个的代数和。+U1-I2¢I''+U12+I ¢-I2=ISRI1''R212RRRR211II11S(b)U1单独作用IS

2、=0(c)(a)IS单独作用U1=0原电路+U+U1-1I2¢I-''2I1¢R1IIR2R2IISR2''2SR1R11I1(b)(c)(a)（C）IS单独作用电路（b）U单独作用电路UI1 =I=RR''= -2I "I2+ R1SR + R1212UR2I= I ' + I " =-I111SR + RR + R1212= I '+ I "I同理：222用支路法证明U+也可以应用支路法求解:I1 + IS= I2I1-2I1R2RI1U = I+ IRRS1122解方程得UR

3、2= I ¢ + I ¢I =- I1S11R + R+ RR1212思考题：UR2I ¢ = -I "I1R + R1SR + R结点法该解？1212应用如当一个电源单独作用时，其余电源不作用，就意味着取零值。即对电压源看作短路，而对电流源看作开路。即如下图：i3'i1'i1i3i2'i2R1R2R1R2R3R3+=iiab+us1us1us2us3=+i1''i3''i1'''i3'''i2'''i2''RR

4、RRR31213+Rus22us3+us3单独作用us2单独作用us1单独作用三个电源共同作用注意：1. 叠加定理只适用于线性电路。电压源为零短路。电流源为零开路。2. 一个电源作用，其余电源为零3. 功率不能叠加(功率为二次函数)。4. u,i叠加时要注意各分量的方向。5. 含受控源(线性)电路亦可用叠加，但叠加只适用于源，受控源应始终保留。例3-1电路中的支路电流I。用叠加定理求R1R1R1I(2)II(1)666I+I+sUs10VsUs10VRR R222 4A44A44(b)(c)(a)电源分别作用时的分电路如图 (b)和(c)所示。解： 画出各个Us10I (1)= 1对于图 (b

5、)有R1 + R26 + 4R24对于图 (c)有I (2)= -= -´ 4 = -1.6IsR1 + R26 + 4I = I (1) + I (2)= 1 + (-1.6) = -0.6A讨论(1)若R2处再串接一个4 V的电压源，如图(a)所示，再重新 求支路电流I。R1R1I(2)R1II(1)R24R2666Is4AIs4A+R244UUss+ 10V10V+4V4V(c)(a)图 (b)的图 (c)的(b)I (1)= -0.644I (2)= -= -= - 0.4R1 + R24 + 6I = I (1) + I (2)= -0.6 + (-0.4) = -1 A叠

6、加定理可以分组使用4V为一组US和IS为一组（2）R1消耗的功率PR= R1I 21分别计算有= 6 ´ (-0.6)2 = 2.16W2P(1)(1)= 6 ´ 12 = 6= R IW1R12P(2)(2)= 6 ´ (-1.6)2 = 15.36= R IW1R1¹ P(1) + P(2)PRR1R11叠加定理不能用来计算功率 ！如图 (a)所示电路，用叠加定理求电流I。例3-2I(1)II(2)12210V210V11+ 2I5A2I(1)2I(2)5A(a)(c)(b)解 按叠加定理，作出分电路如图 (b)、(c)所示。注意：受控源保留在分电路

7、中。2I (1)+ 1´ (I (1) + 5) + 2I (1) = 0对于图 (b)，列KVL方程有I (1)= -12 ´ I (2)+ 1´ I (2)+ 2I (2)对于图 (c)，列KVL方程有- 10 = 0I (2)= 2I = I (1)+ I（2）= -1 + 2 = 1 A例3-3典型的叠加定理解题方法线性网络N，只含电阻。若Us=5V，Is=12A时，U=80V；若Us=5 V，Is=4A时，U=0V。求当Us=6V，Is=10A时，U为多少？解 由于N为只含电阻的线性网络，则由叠加定理可得Is+UsNU = U (1) + U (2)=

8、K1Us + K2 Is80 = 5 K10 = -5 K1+ 12 K 2+ 4 K 2代入已知条件得U+解得：K1=4， K2=5U = 4Us + 5Is= 6 V，Is =10 A时，当UsU = 4 ´ 6 + 5 ´10 = 74VI1+ 10 I1 6W补例+求电压Us。+10VUs4A4W解:(1) 10V电压源单独作用：(2) 4A电流源单独作用：I1'I1''10 I '10 I1''6W6W1+uUs'Us''10Vu4A4W4WUs"= -10I1"+2.4&

9、#180;4Us'= -10 I1'+4 I1' = -10´1+4= -6V= -10 ´(-1.6)+9.6=25.6V共同作用：Us= Us' +Us"= -6+25.6=19.6V（homogeneityproperty):源)都增大(或减小)同样的K二、齐性原理线性电路中，所有激励(倍（K为实常数） ，则电路中响应(电压或电流)也增大(或减小)同样的K倍。1）、当激励只有一个时，则响应与激励成正比。例.i '=1A3AiR1 21A8AR1R1R =2WR =1 WLR2=1 W1us=51V+ 3V8V+ 21V

10、+R2R2RL求电流 i 。5AR22A13Au =34V's解:采用倒推法：设i'=1A。则i = us即 i = us i' = 51 ´ 1 = 1.5Ai'u'u'34ss例3-4求电路中各支路电压。U4¢ = 12V5I1I3解 设I5¢ = U4¢+I4¢ = U 4¢4 = 312 = 1U1U6+3+U ¢ = 6 ´ I ¢ = 24 VU1833165V2+U ¢ = U ¢ + U ¢ = 36 V23I2

11、¢ = U2¢418 = 24U4I212II45I3¢ = I4¢ + I5¢ = 4I1¢ = I2¢ + I3¢ = 6U '= 5I 'Us¢ = U1¢ + U 2¢ = 66= 30VV11K = UsUs¢ = 165 66 = 2.5给定的激励比假定的激励增大U1 = KU1¢ = 75U3 = KU3¢ = 60V, U2 = KU2¢ = 90 V V, U4 = KU4¢ = 30 VR1I2）、当

12、存在多个激励源时，一般表为y=k1x1+k2x2+knxn6，+R2式中y为任一响应，x 为激励。采用Uiproperty)分析。sIs4A可加性(additivity20V4举例。(a)R1I(1)'例3-1(a)中Us增加一倍，则I为多少？6+UR24s后单独计算20VI (1)¢2 I (1)=2(b)R1I(2)6IsR2 4A4(1)¢(2)I = I+ I= 2 - 1.6 = 0.4A(c)3.2替代定理(Substitution Theorem)先看一个例子：I1I1I3I1这条有固定解的支路可以被替代+这条有固定解的支路可以被替代+I2I220V4

13、V20V88U3664(c)(a)(b)I1 = 2 A , I2 = 1 A ,I3 =1 A , U3 = 8 V用Us= U3 = 8 V用Is= I3 = 1 A的电压源替代的电流源替代替代后电路中各支路电压和电流均保持不变 ！+I220V86替代定理：在任意线性和非线性，定常和时变电路中，如果第k条支路的电压uk和电流ik为已知只，要该支路和电路的其他支路之间无耦合，那么该支路可以用一个电压等于uk的电压源或一个电流等于ik的电流源替代，替代后电路中全部的电压和电流均保持不变。ik+AA支路 kukikukA替代后结果如何替代要求条件适用范围ik+AA支路 kukikuk替代前后KC

14、L，KVL关系相同，其余支路的u、i关系不变。用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支路电流也不变，故第k条支路ik也不变(KCL)。用ik替代后，其余支路电流不变(KCL)，其余支路电压不变，故第k条支路uk也不变(KVL)。证明A又证:ik+A支路 kukukikuk证毕!ukA+uk支路kukA注意！无电压源回路；. 替代后电路必须有唯一解无电流源结点(含广义结点)。.替代后其余支路及参数不能改变(一点等效)。例.3W1W0.5WIxRx+U0.5W10V-0.5WI1=I ,8I x若要使试求Rx。解：再叠加：用替代：1 I 1 I1W0.5W1W0.5W 80.5W 81WU

15、'+II=0.5W0.5W+U''U0.5W 0.5W0.5W0.5WU1U2= 1.5 I ´ 0.5 -1U ¢ = U- UI ´ 0.5 = 0.1 I= 0.8 I21x2.512.51 .5U ¢¢ =-´I ´ 1 =- 0 .075I =- 0 .6 Ix2 .58(或U=(0.1-0.075)I=0.025IU=U'+U"=(0.8-0.6)Ix=0.2IxRx=U/Ix=0.2Ix/Ix=0.2W= U = 0.025I = 0.2 )RxI0.125IX3.3和

16、定理(Thevenin-NortonTheorem)统称为发电机定理、有源二端网络效电源定理。工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的情况。这时，可以将除我们需保留的支路外的其余部分的电路(通常为二端网络或称一端口网络),等效变换为较简单的含源支路 (电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路),可大大方便我们的分析R1R3aRxiR2R4b+uR5s和计算。和定理正是给出了等效含源支路及其计算方法。1. 概念解释(1)端口( port )端口指电路引出的一对端钮，其中从一个端钮(如a)流入的电流一定等于从另一端钮(如b)流出的电流。iabi(2) 一端口网络 (network) (亦称二端网络)网

17、络与外部电路只有一对端钮(或一个端口)联接。(3) 含源(active)与无源(passive)一端口网络网络内部含有电源的一端口网络称为含源一端口网络。 （用A表示）网络内部不含有电源的一端口网络称为无源一端口网络。 （用P表示）A2.:任何一个线性含有电源、线性电阻和线性受控源的一端口网络A，对外电路来说，可以用一个电压源(Uoc)和电阻Req的串联组合来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时网络A端口处的开路电压(Uoc)，而电阻等于一端口网络A中全部P端口等效电阻Req。i电源置零后的无源一端口iaaReq+Uoc -Auubbi证明:ai a+Ri+uN'(a)(b)Uoc

18、bb(对a)利用替代定理，将外部电路用电流源替代，此时u,i值不变。计算u值。（用叠加定理）aaaP+u''i=iRibbb电流源i为零网络A中源全部置零根据叠加定理，可得u'= Uocu"= - Ri i(外电路开路时a 、b间开路电压)u = u' + u" = Uoc - Ri i此关系式恰与图(b)电路相同。证毕！则A+u'A+ uAN'+u3.的解题过程与注意事项（1）先求含源一端口的开路电压uoc，要画出相应的电路， 标明开路电压的极性。（2）求等效电阻Req，也必须画出相应的电路，按照前面求等效电阻的方法求得。（

19、3）画出含源一端口的等效电路。注意：等效电压源的极性应与所求uoc的极性一致。注意：(1) 外电路发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏-安特性等效)。(2) 当一端口内部含有受控源时，含在被化简的同一部分电路中。电路与受控源必须包具体求解任务 ：(1) 开路电压Uoc等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算一个电量的方法有很多，可以用第2章中支路法、结点法、回路法、网孔法等。(2) 求等效电阻电源全部置零(电压源等效电阻为将一端口网络内部短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的等效电阻。等效电阻的计算方法：123当网络内部不含有受

20、控源时可采用电阻串并联的方法计算；加压求流法或加流求压法。开路电压，短路电流法。23方法更有一般性。求含源一端口的等效电路。1例3-51a+I1+8818V9VUoc36Req361'1'1'解：先求含源一端口的开路电压Uoc。I = 18 - 9 = 1 A3 + 6= 6I + 9 = 15等效电阻Req。再求UocV或结点法：设求取结点a电压Ua= 3 / 6 + 8 = 10 WReq(1 + 1 ) = 18 + 9Ua3636UOC=Ua=15V等效电路。+ UocReq例3-5I1外加电压源一次求两个参数iiiii+u_+u_818V9ViI136(3 +

21、 6)I1- 6i = 18 - 9我们知道，上述两个电路等效- 6I1 + (6 + 8)i = 9 - u是对图示电流电压而言的（端口等效）因此假想两个图都接有图示电压源及电流参考方向原电路采用网孔（回路）电流方法列写方程：ui 作为已知量列写在方程中消去I 可得 ：1u = 15 - 10i而右侧等效电路的 ui 关系：u = Uoc - Reqi比较可得= 15 V, Req = 10 WUoc+ UocReq补例14W6Wa计算Rx分别为1.2W、5.2W时的I；RxI4W6Wb 10V+解： 保留Rx支路，将其余一端口网络化为等效电路：aIaU1RxIReq+Rx+U2 bUoc1

22、0V+b(1) 求开路电压Uoc = U1 + U2= -10´4/(4+6)+10 ´ 6/(4+6)= -4+6=2Va+U1U-ocbIaReq+Rx(2) 求等效电阻ReqUocab(3) Rx =1.2W时，I= Uoc /(Ri + Rx) =0.333ARibRx =5.2W时， I= Uoc /(Ri + Rx) =0.2ARi=4/6+6/4=4.8W+U2 10V+补例2电路如图：求：U=?_+DAC50W10V4 WUx4 W+8V _5 WBE解:1A第一步：求开端电压Ux。=+ U+ U+ UUUocACCDDEEB此值是所求结果U吗？10 +0

23、+ 4 - 59VC _AD第二步：求等效电阻 Req。+50W10V4 WUx4 W+8V_5 WBE1A50W=+ 4W4 +R5057/5eqReq4W4W5WC _+AD50W10V4 W等效电路E0 = Ux = 9 VRL4 WU+8V_33 W5 W= 57 WReqBE1AR057W第三步：求电压33W+_9VE0U =9´ 3357 + 33= 3.3 V求图 (a)所示电路中的U0 。用例3-6I1a+20V解：(1)求开路电压Uoc。用结点电压法，有11æ 1 + 1 öUoc= 12 + 4I1bç 22 ÷(a)

24、32;ø2I1a= 12 - Uoc+I112V24I12Uoc联立解得2= 10Uocb(b)+U0+12V24I2II1a(2)求等效电阻R：eq+采用外加电压源法 。列方程仍然采用结点法 ：12V+U4I122æ 11 ö+U = 4I + Iç÷1è22øbI1 = -U 2= UI = 1 3Req+10V20V然后对于ab左侧的电路从而求取：+11/3U0- 20 = 1´ 10 - 20 = - 15U= 1´ UocV01 + Req1 + 1 32补例3.(含受控源电路)用0.5I求图示

25、电路中U。aIa+R+ 1kW1kW +RiU0.5k W+R0.5kWUU10Vocbb解：(1) a、b开路，I=0，0.5I=0，Uoc= 10V (2)求Ri：加压求流法0.5IU0 =(I0-0.5 I0)´103+ I0´103 =1500I0IaI01kW1kW+U0Ri = U0 / I0 =1.5kWb(3) 等效电路：a1.5kW+RUU=Uoc ´ 500/(1500+500)=2.5V0.5kWb+10V或：开路电压Uoc 、短路电流Isc法求Ri：即：Ri = Uoc / IscUoc =10V（已求出）再求短路电流Isc (将a、b短路

26、)：0.5I= -I，(I-0.5I)´103 +I´103+10=0IscIa1500I= -10®I= -1/150 A+ 1kW10V1kWIscIsc=1/150 A即 Ri = Uoc / Isc =10 ´ 150=1500 Wb4.定理定理：线性含源一端口A，对外电路来说，可以用一个电流源和电导的并联组合来替代，此电流源的电流等于该一端口A的短路电流isc，电导等于一端口A中电源置零后所得无源一端口P的等效电导Geq。所有aaAiscGeq(Req)bb等效电路可由等效电路经电源等效变换得到。 uoc、Req（Geq）、isc 3个参数，其

27、关系为 uoc=Req isc但须指出，等效电路可进行证明。证明过程从略。 电路:变换如1）用2）NS的短路电流isc ；No的等效电阻Req两个特例:1）若一端口的输入电阻为零，其等效电路为一理想电压源，等效电路不存在。2）若一端口的输入电导为零，其等效等效电路不存在。电路为一理想电流源，和称为发电机定理，这两个定理在分析电路中某一电阻获得最大功率方面很有用处。例3-7定理求图 (a)所示电路中电流I。解：用10Wa出来4 W电阻支路如图，先I4W2W24V+ab右侧的电路求取等效电路ba+12V(a)10W(1)ab间短路求短路电流I12WISC24VI1 =12/2=6AI2=(24+1

28、2)/10=3.6A Isc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6AI2+b+12V(2) 求Req：串并联10WaReq =10´2/(10+2)=1.67 WReq2WbI = - Isc´1.67/(4+1.67)=9.6´1.67/5.67=2.83A(3)a等效电路:1.67 W4WI-9.6A解毕！b例3-8求图 (a)所示电路的或等效电路。3ii1+ 5V-4u-261'(a)再求等效电阻Req。外加电压源方法 ：解 先求开路电压uoc。i = 0(3=-i-6u)-4u(+u2(V)i6i)6 10´u=5=oc6 +2+4解得

29、 ：u = 0，Req=u/i=0等效电路为一理想电压源，而等效电路不存在。当Req = 0时，等效电路成为一个电压源，此时对应的等效电路不存在；当Req = 时，等效电路成为一个电流源，此时对应的等效电路不存在。通常情，两种等效电路同时存在。Req也有可能为一线性负电阻。讨论：3.4最大功率传输定理线性含源一端口A，当它两端接上不同负载时，在什么情负载能获得最大功率呢？ui = oc1i分析图中负载电阻中电流：则负载电阻中电功率：+RRLeq+uocRL2uuRReq=( R=2i)2PRoc LocLLLR+R )2R(ReqLeqL1'A当改变RL时，要PL使最大，则 ：+ R)

30、2-2 2u × (R+2(u d pRR)RoceqLLoceqL = 0= L +R )4d R(RLeqL2 uoc4 R=p当R= R 时，LmaxeqLeq2iReqsc=p若用效，则Lmax4线性含源一端口网络A等效为电路最大功率传输定理的内容为：线性含源一端口A，外接可变负载RL，当RL = Req（含源一端口A的等效电阻）时，负载可获得最大功率，此最大功率为:U 2I 2R= oceqscP=P或Lmax4RLmax4eq满足上述条件称为负载电阻与一端口的等效电阻匹配。在匹配工作状态下 ，h = 50。如图 (a)所示含源一端口外接可调电阻R，当R等于多少时，可以从电

31、路中获得最大功率？并求此最大功率。例3-95516162010Vu3A20ReqocR+(c)解 先求开路电压uoc。当R=20W时， R 可获得最大功率，æ 1 +öUoc1= - 10 + 3 = 1ç 520 ÷è求ø5= 4UocU 2等效电阻Req。= 20 / 5 + 16 = 20=.=20ocP(W)Lmax4RReqeq(b)+ 204V-3.5定理定理是电路理论中最普遍定理之一，其可以应用于集总参数二端元件所的任何电路，而不管元件的性质如何。1.具有相同拓扑结构（特征）的电路两个电路，支路数和结点数都相同，而且对应

32、支路与结点的联接关系也相同。伴随网络R4'R5'2R4R52网络R6R2R314143+u互为伴随读作“N拔”Rs11NNR6'+us6R3'is23R1'两个电路支路与结点联接关系相同：12假设两个电路中对应支路电压方向相同，支路电流均取和支路电压相同的参考方向。52定理1对于一个具有n个结点和b条支路的电路，假定各支路电压和支路电流取关联参考方向，并设支路电压和支路电流分别为（u1，u2， ，ub），（i1，i2，ib ），则对任何时间t ，有bå uk ik= 0k =1该定理是功率守恒的具体体现，其表明任何一个电路的全部支路所吸收的功率

33、之和恒等于零。0346i1 + i3 + i6= 0= 0= 0ü证明：ï对、结点列KCL方程为- i + i + iý124ï12- i2 + i5 - i6þu uu结点电压与支路电压关系为：6å uk ikk =1= u1i1+ u2i2 + u3 i3 + u4 i4 + u5i5 + u6 i6= (un1 - un 2 )i1 + (un 2 - un 3 )i2 + +un1i4 + un 3i5 + (un1 - un 3 )i6= un1 (i1 + i3 + i6 ) + un 2 (-i1 + i2 + i4 )

34、 + un 3 (-i2 - i6 + i5 )6证毕！所以： å uk ik = 0k =1证明可推广到任何具有n个结点和b条支路的电路。053463.定理2：如果有两个具有n个结点和b条支路的电路，它们具有相同的拓扑图，但由内容不同的支路，假定各支路电压和支路电流取关联参考方向，并分别用(u1,u2, ,ub)，(i1,i2,ib )，( u1, u2 ,Lub )，i , i ,Li() ，表示两电路中b条支路电压和支路电12b流，则对任何时间t ，有bbå uk ikk =1或者： å u i = 0= 0kkk =1说明：1、定理2不能用功率守恒解释，但

35、它具有功率之和的形式，所以有时又称为“似功率定理”。2、它适用于任何集总电路，对支路内容也没有要求。设有两个电路的G图右图：证明：电路N 对、 结点列KCL方程为：电路N对、 结点列KCL方程为：12i+ i+ iüïý+ i3+ i6= 0= 0= 0= 0= 0= 0üi11136ï- i+ i+ i- iý- i+ i+ i24124ïï- i+ iþ- i+ i- i256ïþ2566å u i= u(i+ i + i ) + u(-i + i+ i ) + u(-i

36、 - i + i )则：k kn1136n 2124n 3265k =16å u i = 0则：kkk =16å uk ikk =1= 0依同理也可证明05346(1) R1=R2=2W, Us=8V时,I1=2A, U2 =2V补例1：(2) R1=1.4 W, R2=0.8W, Us'=9V时,I1'=3A,I1I2求U2'。R1+U2无源电阻网络P+U1+利用定理解：UsR2由(1)得：U1=4V, I1=2A, U2=2V, I2=U2/R2=1AÙ由(2)得 : U 1ÙÙÙ= U 2Ù/R

37、2 = (5/4)U 2= 4.8V, I 1 = 3A, I 2ÙÙÙÙU 1 (- I 1 ) + U 2 I 2 = U 1 (- I1 ) + U 2( 负号是因为U 1 , I1的方向不同 )I 2ÙU 2 = 2.4 / 1.5 = 1.6VÙÙ®- 4 ´ 3 + 2 ´ 1.25U 2 = -4.8 ´ 2 + U 2´ 1Ù求U 1补例2：I1.ÙI 1ÙI 2+U+ÙU 1+ÙU 2+UPPI22W12&#

38、217;U 2= 10VU1=10V, I1=5A, U2=0, I2=1AÙÙÙÙ解：U 1 I 1 + U 2 (- I 2 ) = U 1 (- I1 ) + UI 22ÙU 1ÙÙ= 2 I 1ÙÙ´ U 1=U 1(- I ) + U 2 I2U11ÙU 12= 1V.ÙÙU 1´ (-5) + 10 ´ 110 ´ U 1 =2电路中，N为仅含电阻的网络。证明：例3-10i+ u= u i+ uu1 i1i2211 22 i

39、i1+12i112i22+Nu2uu211'2'1'2'定理2有：N为仅含电阻的网络，有证明：由= Rk ik， ukuk= R i ,k=3，b。bk k+ å uk ik k =3b+ u i= 0u ib+ å Rk ik i1 12 2+ u2i= 0u1i12kk = 3+ å uk i k k =3+ u2 i2= 0u1i1b+ åR i iu i+ u i= 01 12 2k kkk = 3u ii+ u= u i+ ui所以：1 1221 122证毕！+u1N3.6互易定理(ReciprocityTheorem)对一个仅含线性电阻的电路，在单一激励的情励和响应互换位置时，响应不变。此即互易定理。，当激第一种形式:电压源激励，电流响应电流互易的网络(见下图)，设支路j中给定任一仅由线性电阻有唯一电压源uj，其在支路k中产生的电流为ikj(图a)；若支路k中有唯一电压源uk，其在支路j中产生的电流为ijk(图b)。caac线性电阻网络N线性电阻网络N+ijkukujikjdbdb(b)(a)则两个支路中电压电流有如：ikj= i jk= u iu i或kkjjjkuujkuk = uj时，ikj = ijk 。当caca线