几个常用函数的导数(老师版)

1、 1.2.1几个常用函数的导数1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)学习目标1.能根据定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，y，y的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.知识点一几个常用函数的导数原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)f(x)f(x)f(x)思考(1)函数f(x)c，f(x)x，f(x)x2的导数的几何意义和物理意义分别是什么？(2)函数f(x)导数的几何意义是什么？答案(1)常数函数f(x)c：导数为0，几何意义为函数在任意点处的切线垂直于y轴，斜率为0；当yc表示路程关于时

2、间的函数时，y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态.一次函数f(x)x：导数为1，几何意义为函数在任意点处的切线斜率为1，当yx表示路程与时间的函数，则y1可以解释为某物体作瞬时速度为1的匀速运动；一般地，一次函数ykx：导数yk的几何意义为函数在任意点处的切线斜率为k，|k|越大，函数变化得越快.二次函数f(x)x2：导数y2x，几何意义为函数yx2的图象上点(x，y)处的切线斜率为2x，当yx2表示路程关于时间的函数时，y2x表示在时刻x的瞬时速度为2x.(2)反比例函数f(x)：导数y，几何意义为函数y的图象上某点处切线的斜率为.知识点二基本初等函数的导数公式原函数导

3、函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)axf(x)axln a(a>0，且a1)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)(a>0，且a1)f(x)ln xf(x)思考由函数yx，yx2的导数，你能得到yx(Q*)的导数吗？如何记忆该公式？答案因yx，得y1；yx2，得y2x，故yx的导数yx1，结合该规律，可记忆为“求导幂减1，原幂作系数”.题型一运用求导公式求常见的基本初等函数的导数例1求下列函数的导数：(1)y；(2)；(3)ycos ；(4)y22x.解(1)

4、y(x5)5x6； (2)y；(3)y0； (4)y(22x)(4x)4x·ln 4.反思与感悟求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式.跟踪训练1求下列函数的导数：(1)yx8；(2)yx；(3)yx；(4)y.解(1)y8x7； (2)yxln xln 2；(3)yx，y； (4) y.题型二利用导数公式求曲线的切线方程例2求过曲线ysin x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程.解ysin x，ycos x，曲线在点P处的切

5、线斜率是：y|cos.过点P且与切线垂直的直线的斜率为，故所求的直线方程为y，即2xy0.反思与感悟导数的几何意义是曲线在某点处的切线斜率，两条直线互相垂直时，其斜率之积为1(在其斜率都存在的情形下).跟踪训练2已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程.解(1)f(x)3x28x5，f(2)1.又f(2)2，曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(2)x2，即xy40.(2)设切点坐标为(x0，x4x5x04).f(x0)3x8x05，切线方程为y(2)(3x8x05)(x2).又切线过点(

6、x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02).整理得(x02)2(x01)0，解得x02或x01.当x02时，f(x0)1，此时所求切线方程为xy40；当x01时，f(x0)0，此时所求切线方程为y20.故经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40或y20.在利用求导公式时，因没有进行等价变形出错例3求函数y的导数.错解y，y，故y.错因分析出错的地方是根式化为指数幂，没有进行等价变形，从而导致得到错误的结果.正解y，y.防范措施准确把握根式与指数幂的互化：，.1.设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a等于()A.0 B.1C.2 D.3

7、答案D解析令f(x)axln(x1)，则f(x)a.由导数的几何意义，可得在点(0,0)处的切线的斜率为f(0)a1.又切线方程为y2x，则有a12，a3.2.函数f(x)，则f(3)等于()A. B.0 C. D.答案A解析f(x)()，f(3).3.给出下列结论：sin ； 若y，则y2x3；若f(x)3x，则 f(1)3； 若y，则y.其中正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案A解析cos 为常数，则0，所以错误；y(x2)2x3，所以正确；因为f(x)3x，所以f(x)3，所以 f(1)0，所以错误；y()，所以错误.4.曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形

8、的面积为 .答案e2解析y(ex)ex，ke2，曲线在点(2，e2)处的切线方程为ye2e2(x2)，即ye2xe2.当x0时，ye2，当y0时，x1.S×1×e2.5.求下列函数的导数：(1)y；(2)y.解(1)y(x3)3x313x4.(2)y().1.利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式.解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归.2.有些函数可先化简再应用公式求导.如求y12sin2 的导数.因为y12sin2 cos x，所以y(cos x)sin x.3.对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二

9、是注意函数符号的变化.一、选择题1.设直线yxb1是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b的值为()A.1ln 2 B.ln 2 C.ln 2 D.2答案C解析设切点为(x0，y0)，根据导数几何意义，得y|，解得x02，代入曲线方程得y0ln 2.故切点为(2，ln 2)，将该点坐标代入直线方程得ln 2×2b1，解得bln 2，故选C.2.过曲线y上一点P的切线的斜率为4，则点P的坐标为()A. B.或C. D.答案B解析y4，x±，故选B.3.已知f(x)xa，若f(1)4，则a的值等于()A.4 B.4 C.5 D.5答案A解析f(x)axa1，f(1)a(1)

10、a14，a4.4.函数f(x)x3的斜率等于1的切线有()A.1条 B.2条C.3条 D.不确定答案B解析f(x)3x2，设切点为(x0，y0)，则3x1，得x0±，即在点和点处有斜率为1的切线.所以有2条切线.5.已知直线ykx是曲线yex的切线，则实数k的值为()A. B.C.e D.e答案D解析yex，设切点为(x0，y0)，则ex0ex0·x0，x01，ke.6.已知f(x)2x，g(x)ln x，则方程f(x)1g(x)的解为()A.1 B. C.1或 D.1答案B解析由g(x)ln x，得x0，且g(x).故2x1，即2x2x10，解得x或x1.又因x0，故x(

11、x1舍去)，选B.7.某质点的运动方程为s(其中s的单位为米，t的单位为秒)，则质点在t3秒时的速度为()A.4×34米/秒 B.3×34米/秒C.5×35米/秒 D.4×35米/秒答案D解析由s得s(t4)4t5.得s|t34×35，故选D.二、填空题8.曲线y在点M(3,3)处的切线方程是 .答案xy60解析y，y|x31，过点(3,3)的斜率为1的切线方程为y3(x3)，即xy60.9.若曲线y在点(a，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a .答案64解析y，y，曲线在点(a，)处的切线斜率k，切线方程为y (xa).令x

12、0得y；令y0得x3a.该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S·3a·18，a64.10.点P是曲线yex上任意一点，则点P到直线yx的最小距离为 .答案解析根据题意设平行于直线yx的直线与曲线yex相切于点(x0，y0)，该切点即为与yx距离最近的点，如图.则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y|1. y(ex)ex，ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1).利用点到直线的距离公式得最小距离为.三、解答题11.求下列函数的导数：(1) y；(2)y；(3)y2sin ；(4)ylog2x2log2x.解(1)y .(2)y(x4)4x414x5.(3)y2sin2sin 2sin cos sin x，y(sin x)cos x.(4)ylog2x2log2xlog2x，y(log2x).12.已知f(x)cos x，g(x)x，求适合f(x)g(x)0的x的值.解f(x)cos x，g(x)x，f(x)(cos x)sin x，g(x)x1，由f(x)g(x)0，得sin x10，即sin x1，但sin x1,1，sin x1，x2k，kZ.13.设f