北方工业大学考研信号与系统第五章

1、第五章 傅里叶变换应用于通信系统滤波、调制与抽样 本章介绍应用傅里叶变换分析系统的方法。本章介绍应用傅里叶变换分析系统的方法。傅里叶变换形式的系统函数傅里叶变换形式的系统函数。 te tr E R th H)()()( HER )()()( ERH 一. 傅里叶变换形式的系统函数设设)()(),()(),()( RtrHthEter(t) = e(t) h(t)傅里叶形式的系统函数傅里叶形式的系统函数频域系统函数频域系统函数 jjjj ssHERH)()()()(H() 与 H(s) 的关系)()(),()(thsHthHL LF F 对于一般的因果稳定系统，对于一般的因果稳定系统，H(s)的

2、极点都位于的极点都位于 s 平平面的左半平面，其收敛域包含虚轴面的左半平面，其收敛域包含虚轴)()()( jjHsHHs 对于一般的因果稳定系统，冲激响应对于一般的因果稳定系统，冲激响应h(t)的拉氏变的拉氏变换换 H(s)为复频域系统函数，傅氏变换为复频域系统函数，傅氏变换H( )为频域系统为频域系统函数，且函数，且 。)()()( jjHsHHs )(je)(j)(j HH 二、系统的频率响应特性：系统的幅频特性：系统的幅频特性 )(jH )(：相频特性：相频特性 可以根据可以根据H(j )的表达式用的表达式用解析法解析法求解；求解； 也可以在也可以在 s 平面用平面用几何方法几何方法求解

3、。求解。 niimjjspzKsHH11jjjj niimjjijeMeNK1j1j )()()(tethtr 三、系统函数的物理意义 d)()(j th0e d)(jj 00eehttH0j0e)(j tte0e j)( 分析：激励为虚指数信号分析：激励为虚指数信号 时的零状态响应时的零状态响应等于激励等于激励e(t)乘以加权函数乘以加权函数 H(j 0) . d)(jteEte j21任意激励任意激励 的零状态响应为的零状态响应为 d)()(jteHEjj21 d)(jteR j21= r(t) 系统对信号的处理过程就是利用系统函数系统对信号的处理过程就是利用系统函数 H(j ) 对不同频

4、率分量加权以后再叠加的过程对不同频率分量加权以后再叠加的过程。 三、系统函数的物理意义)(j)(j)(j ee EE)(je)(j)(j h HH)(j)(j)(j HER )()()(her )(je)(j)(j r RR)(j)(j)(j HER 设设E(j )的幅度由的幅度由|H(j )|加权加权则则E(j )的相位由的相位由 h( ) 修正修正总结系统可以看作是一个信号处理器：系统可以看作是一个信号处理器： ， 是是一一个个加加权权函函数数， jH加权。加权。对信号各频率分量进行对信号各频率分量进行 )(j 加权，加权，信号的幅度由信号的幅度由 H 修修正正。信信号号的的相相位位由由

5、对于不同的频率对于不同的频率 ，有不同的加权作用，这也是信，有不同的加权作用，这也是信号分解，求响应再叠加的过程。号分解，求响应再叠加的过程。 5.2 利用系统函数求响应正弦信号激励下的稳态响应正弦信号激励下的稳态响应非周期信号激励下系统的响应非周期信号激励下系统的响应正弦信号激励下系统的稳态响应 )(sin)(000j tEHm)(j)()( ejj HH 系统的系统的稳态响应稳态响应为为设激励信号为设激励信号为 Emsin( 0t)，系统的频率响应为，系统的频率响应为正弦信号激励下系统的稳态响应)(j)()( ejj HH 设激励信号为设激励信号为 Emsin( 0t)，系统的频率响应为，

6、系统的频率响应为 ttmmeeEtE00210 jjj)sin( ttmHHEtr00002 jje )j(e )j (j)( )(sin)j (000 tHEmtttteHeeHe000000 jjjj)j(,)j ( ttmHHE0000j)(j0j)(j0ee)j(ee)j (j2 )(j)(jee)j (jttmHE000002 偶函数偶函数奇函数奇函数正弦信号激励下系统的稳态响应 )(sin)(000j tEHm)(j)()( ejj HH 系统的系统的稳态响应稳态响应为为设激励信号为设激励信号为 Emsin( 0t)，系统的频率响应为，系统的频率响应为说明：正弦信号激励下，系统达到

7、稳态时，其响应为说明：正弦信号激励下，系统达到稳态时，其响应为 与激励与激励同频同频的正弦信号，的正弦信号，幅值被幅值被 |H(j )| 加权，加权，相位增加相位增加 ( )。 H(j )代表了系统对输入信号的处理效果。代表了系统对输入信号的处理效果。例 1211)(j H arctan)( )632sin(51 t :3sint)723sin(101 t)sin( 4521t 。的输出时求输入为若ttt，H3211sinsinsin jj :sint :2sint211 )(jH 451)( 512 )(jH 632)( 1013 )(jH 723)( )sin()sin()sin()( 7

8、23101632514521ttttr失真失真无失真传输条件无失真传输条件一失真 线性系统引起的信号失真可能包含两方面的因素：线性系统引起的信号失真可能包含两方面的因素： 幅度失真幅度失真：不同频率分量的幅度被改变的程度不同；：不同频率分量的幅度被改变的程度不同； 相位失真相位失真：不同频率分量的相位被改变的值不同；：不同频率分量的相位被改变的值不同； 信号经系统传输，被系统函数信号经系统传输，被系统函数 H(j ) 加权，加权，输出输出波形发生了变化波形发生了变化，与输入波形不同，则产生了，与输入波形不同，则产生了失真失真。 线性线性系统引起的失真系统引起的失真幅度，相位变化，幅度，相位变化

9、，不产生不产生新的频率成分；新的频率成分； 非线性非线性系统引起非线性失真系统引起非线性失真产生产生新的频率成分。新的频率成分。 对系统的不同用途有不同的要求：对系统的不同用途有不同的要求： 无失真传输；无失真传输； 利用失真利用失真信号处理。信号处理。二无失真传输条件幅度可以成比例变化；幅度可以成比例变化；可以有时移。可以有时移。 波形形状波形形状不变不变h(t) te tr)j (e)j ()j ()j ()j (j EKEERHt0 时域：时域：若系统输入信号为若系统输入信号为e(t)，输出信号为，输出信号为r(t)，当，当r(t) = Ke(t t0) 时，认为信号没有失真。时，认为信

10、号没有失真。频域：频域：0tK je 0tKH )j (频谱图无失真传输系统的频域特点：无失真传输系统的频域特点：幅频特性幅频特性 |H(j )| 为与频率无关的为与频率无关的常数常数 K，系统的，系统的通频带为通频带为无限宽无限宽；相频特性相频特性 ( ) 与与 成比例成比例变化，是一条通过原点变化，是一条通过原点的负斜率直线。的负斜率直线。无失真的系统的冲激响应为无失真的系统的冲激响应为 O jH K0tKH je)j ( )()j ()(j0110ttKKeHtht F FF F ( ) 为什么与 成比例？ 只有各频率分量都被延迟相同的时间，叠加后的只有各频率分量都被延迟相同的时间，叠加

11、后的响应才能不失真。响应才能不失真。每个频率分量的相每个频率分量的相位变化位变化 t0 d)(jteEte j21 dj)(djjj)(j0021210tttteeEtteeE 延迟时间延迟时间 t0 是相位特性的斜率：是相位特性的斜率： 0ddt 群时延（群延时） 0t dd 传输系统不引起信号的相位失真的条件传输系统不引起信号的相位失真的条件系统的系统的群时延为常数群时延为常数。 定义为系统的定义为系统的群时延群时延。一个信号失真的例子相频特性相频特性 ( )不与不与 成比例成比例，系统产生了相位失真。，系统产生了相位失真。理想低通的频率特性理想低通的频率特性理想低通的冲激响应理想低通的冲

12、激响应理想低通的阶跃响应理想低通的阶跃响应 CCj ej 010tH一理想低通的频率特性 C 为为截止频率截止频率。在。在 0 C 的低频段内，传输信号的低频段内，传输信号无失真，只有时移无失真，只有时移 t0 。 0t CCj 01H作用：作用：滤除滤除输入信号中输入信号中高于某个频率高于某个频率的所有频率分量，的所有频率分量，同时使同时使低于低于这个频率的所有频率分量这个频率的所有频率分量无失真无失真通过。通过。)(j)( Hth二理想低通的冲激响应 0CCSa)(ttth tthCCSa)( ( ) O0j te 0ttth CCSa 冲激响应波形输入为输入为 (t)，输出为，输出为Sa

13、 函数形式，函数形式，严重失真严重失真；(2)输出输出Sa函数的峰值位函数的峰值位 于于 t0，主瓣宽度为，主瓣宽度为 ，C 2 )(lim0ttthC (3) h(t)非因果非因果： h(t) 0， t 0，理想低通实际理想低通实际不可实现不可实现。与与 C 成反比成反比。三理想低通的阶跃响应 thtg d)()()()(j)j ()j (tgHG 1 )(dsin00121ttCxxxtg 阶跃响应波形 )(dsin00121ttCxxxtg 响应比激励延迟响应比激励延迟 t0 ；(2) g(t)非因果非因果： g(t) 0， t 0;(3)响应有失真，波形比激励光滑，体现出高频分响应有失

14、真，波形比激励光滑，体现出高频分量被滤除。量被滤除。阶跃响应波形 )(dsin00121ttCxxxtg 上升时间上升时间：输出由最小值上升到最大值的过渡时间，：输出由最小值上升到最大值的过渡时间， 记为记为 tr .Cft12 Cr 1 rtfC 阶跃响应的上升时间阶跃响应的上升时间 tr 与网络的截止频率与网络的截止频率fC（带宽）（带宽）成反比。成反比。上升时间与带宽不能同时减小。上升时间与带宽不能同时减小。 )()( tutu四理想低通对矩形脉冲的响应)()( tgtg如果如果 过窄或过窄或 C 过小，过小，响应波形将完全失去激响应波形将完全失去激励信号的脉冲形象。励信号的脉冲形象。吉

15、伯斯现象吉伯斯现象 ：跳变点有：跳变点有9%的上冲。改用其他的上冲。改用其他的的“窗函数窗函数” 有可能消有可能消除上冲。（例如：升余除上冲。（例如：升余弦类型）弦类型）五、其他理想滤波器高通：高通：带通：带通：带阻：带阻： 都可以利用理想低通都可以利用理想低通的分析结果：的分析结果： 输出有失真；输出有失真； 系统非因果。系统非因果。六、实际滤波器如：一阶如：一阶RC电路、电路、RLC二阶低通滤波器、巴特沃思、二阶低通滤波器、巴特沃思、切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器 )(1tvCRL)(2tv 1 jH Oc c 实际滤波器的频率特性都是对理想滤波器的一种实际滤波器的频率特性都是对理想滤波器的

16、一种近似。可以通过设计电路参数实现要求的频率特性。近似。可以通过设计电路参数实现要求的频率特性。例例 考虑图示系统，其中输入信号考虑图示系统，其中输入信号x(t)乘以一个频率乘以一个频率为为 C 的复指数信号的复指数信号 ，并令其乘积通过一个，并令其乘积通过一个截止频率为截止频率为 0 的低通滤波器，其输出再乘以的低通滤波器，其输出再乘以 。试画出图中所标各信号的频谱图，并。试画出图中所标各信号的频谱图，并指出系统输出指出系统输出y(t)相对输入相对输入x(t)频谱间的关系。频谱间的关系。tCe j tCe j作 业第五章作业 p.309日期作 业16/115-1，5-2，5-4, 5-7正弦

17、信号激励下系统的稳态响应)(j)()( ejj HH 设激励信号为设激励信号为 Emsin( 0t)，系统的频率响应为，系统的频率响应为 )()(j)j (00 mEE )()(je)(j)(j)(j)(j)(j00 mEHEHR )(e)(j)(e)j(j)(j)(j000000 HHEm )(e)(e)(jj)(j)(j00000 HEm利用频移特性利用频移特性)(2e0j0 t)(2e0j0 t 2200000ttmHEtrj)(jj)(jeeee)j (j)( )(sin)j (000 tHEm偶函数偶函数奇函数奇函数例例 2 一阶一阶RC电路，在电路，在1-1 端加入矩形脉冲，利用傅

18、里端加入矩形脉冲，利用傅里叶分析法求叶分析法求2-2 端电压端电压v2(t)。 jjjEHR 只能求零状态响应，只能求零状态响应，v2(0 ) = 0 RCsRCsCRsCsH1111 jj H j1sRC令令例例 2 一阶一阶RC电路，在电路，在1-1 端加入矩形脉冲，利用傅里端加入矩形脉冲，利用傅里叶分析法求叶分析法求2-2 端电压端电压v2(t)。 jjj12VHV 只能求零状态响应，只能求零状态响应，v2(0 ) = 0 jj H j2j1e1je2Saj EEV jjjjjj eEVHV112求 v2(t) jejjj 12EV je1j1j1 E jje1je1j EE )(eje)(j)()(j)(jj 111tutu )()( tutuE )()()( tuetueEtt求 v2(t) jejjj 12EV je1j1j1 E jje1je1j EE )()( tutuE )()()( tuetueEtt