线性代数练习题与答案

1、WORD格式线性代数期中练习一、单项选择题。k12)。10 的充分必要条件是 (2k 1(A)k1 (B)k3(C)k1 且 k3(D) k1 或 k32假设 AB AC ，当时，有 BC。(A)A 为 n 阶方阵(B)A 为可逆矩阵(C)A 为任意矩阵(D)A 为对称矩阵a11a12a132a112a122a133假设三阶行列式a21a22a23M ，那么2a212a222a23。a31a32a332a312a322a33(A)6M(B) 6M(C)8M(D) 8Max1x2x30齐次线性方程组x1ax2x30有非零解，那么 a 应满足。4x1x2x30(A)a0 ；(B)a0 ；(C)a1

2、；(D) a15设1,2是 Ax b 的两个不同的解，1,2是 Ax 0的根底解系，那么 Axb专业资料整理WORD格式的通解是。(A)c11c2 (12 )1 (2(C)c11c2 (12 )1 (2二填空题。12 )(B)c11c2 (12 )1 (212 )(D)c11c2 (12 )1 (212 )12 )专业资料整理WORD格式6A = (1, 2, 3, 4)，B = (1, -1, 3, 5)，那么 ABT =。7 A、B 为 4 阶方阵，且A 2，B3，那么 | 5AB | =。|(AB)-1|=。8. 在分块矩阵 A= B O中，B1、C1存在，而O是零矩阵，那么O CA 1

3、。专业资料整理WORD格式1 / 8专业资料整理WORD格式111123459设D=272,那么A41A42A43A44。35437设矩阵123，那么 A 的秩 R(A)=。A=23510471三计算题要求写清计算过程11112311. 设A111， B124 ，求 3AB2 A 。111051x12n1x2n12计算行列式D 12xn 。123xx1x25 x3x4013解齐次线性方程组x1x22x33x40 。3x1x28x3x40专业资料整理WORD格式2 / 8专业资料整理WORD格式0101114解矩阵方程AX B X，其中A111, B20 。10153x1x2x3a15取何值时，

4、线性方程组ax1x2x31有解 ,并求其解。ax1x2ax31四证明题每题5 分，共 10 分16. 设向量组1, 2 , 3线性无关，证明以下向量组线性无关：112 ， 223，313。17设 n 阶矩阵A满足A22A4IO .证明： A 可逆并求 A 1。专业资料整理WORD格式3 / 8专业资料整理WORD格式线性代数参考答案一、单项选择题。1k 1210的充分必要条件是 (C) 。2k(A)k1(B)k3(C)k1 且 k 3 (D)k1 或 k32假设 AB AC ，当B时，有 B C。(A)A 为 n 阶方阵(B)A 为可逆矩阵(C)A 为任意矩阵(D)A 为对称矩阵a11a12a

5、132a112a122a133假设三阶行列式a21a22a23M ，那么2a212a222a23D。a31a32a332a312a322a33(A)6M(B)6M(C)8M(D) 8Max1x2x30齐次线性方程组x1ax2x30有非零解，那么 a 应满足D。4x1x2x30(A)a0；(B)a0 ；(C)a1；(D)a1 5设1,2是 Ax b 的两个不同的解，1,2是 Ax0 的根底解系，那么 Axb的通解是A。(A)c1 1c2 (12 )1 (12 )(B)c11c2 (12 )1 (12 )22(C)c11c2 (12 )1 ( 12 )(D)c11c2 (12 )1 (12 )22

6、二填空题。6A = (1, 2, 3, 4)，B = (1, -1, 3, 5)，那么 ABT =28。7 A、B 为 4 阶方阵，且A 2，B3，那么 | 5AB | =-3750。|(AB)-1|=-1/6。( 答对其中一空给2 分)8. 在分块矩阵 A= B O中，B1、C1存在，而O是零矩阵，那么O CA1B 1O。OC 1专业资料整理WORD格式4 / 8专业资料整理WORD格式111123459设D=272,那么A41A42A43A440。35437设矩阵123，那么 A 的秩 R(A)=2。A=23510471三计算题要求写清计算过程11112311. 设A111， B124 ，

7、求3AB 2A。11105111112301524解：3AB 3 1 111 24015 181110516270015242223AB2A01518222627022221322=21720。4292x12n1x2n12计算行列式D12xn 。123xx1 n(n1)12nx12n2x1 n(n1)x2n1x2n2解：D 12xnx1n(n1)2xn2123x1xn(n1)23x2专业资料整理WORD格式5 / 8专业资料整理WORD格式112n11x2n xn( n1) 12xn2123x112n0x100 x1 n( n 1) 01x 202011x n= x1 n(n1)( x1)(x

8、2) ( xn) 。2x1x25 x3x4013解齐次线性方程组x1x22x33x403x1x28x3x40解：先给出系数矩阵并对其做初等行变换1031211517A1123012231810000得出原方程组的同解方程组x13 x3x402x27 x32x402设 x3c1 , x4c2 , c1, c2为任意常数 . 得到方程组的全部解为( x1 , x2 , x3 , x4 )Tc1 (3,7,1,0) Tc2 (1,2,0,1) T , c1,c2为任意常数。220101114解矩阵方程AX BX，其中 A111, B20 。10153解：由 AX B X 得(IA) XB 。因为 I

9、A0所以 X(IA) 1B。专业资料整理WORD格式6 / 8专业资料整理WORD格式11012 / 31/ 30(I A)11011 2/31/ 310201/ 31/ 302 / 31/ 31131因而X (I A)1B1 2/31/320=2001/ 31/ 35311取何值时，线性方程组x1x2x3a并求其解。ax1x2x31有解,15 ax1x2ax311 11 a111a解： ( A b)a 1 1 101 a 1 a 1 a21 1a 100a1 1a当 a1时， r ( A)r ( A |b)3, 有唯一解： x11, x2a 2, x31;当 a1时，111 1( A | b

10、)000 0即原方程组与下面方程000 0x11x2x3同解 ,其中 x2 , x3是自由变量 .(x2 , x3 )T取(0,0) T得到一个特解为 (1,0,0)T .原方程组的导出组与方程x1x2x3同解 .(x2 , x3 )T分别取 (1,0)T ,(0,1)T得到一个根底解系为 :( 1,1,0) T ,(1,0,1)T因此 ,当a 1时，方程组的通解为:(1,0,0) Tc1 ( 1,1,0)Tc2 (1,0,1)T，c1, c2为任意常数 .四证明题每题5 分，共 10 分16.设向量组1,2,3线性无关，证明以下向量组线性无关：112 ， 223，313。证明 : 设 k11k2 2k3 30 ，所以专业资料整理WORD格式7 / 8专业资料整理WORD格式(k1k3 ) 1(k1 k2 ) 2 ( k2k3) 30 ，k1k30101因为1, 2 , 3线性无关，所以k1k20 ，系数行列式1