江苏省高中数学学案：7《集合》(苏教版必修1)

1、WORD格式第 7 课时集合复习【学习目标】1掌握集合的有关根本义概念，运用集合的概念解决问题；2掌握集合的包含关系子集、真子集；3掌握集合的运算( 交、并、补 ) ；4解决有关集合问题时，要注意各种思想方法数形集结合、补集思想、分类讨论的运用.【课前导学】【复习回忆】1判断以下命题的正误：全集只有一个； “正整数集 的补集是 “负整数集 ；空集没有子集；任一集合至少有两个子集；假设 ABB，那么BA ；假设 AB，那么 A、B 之中至少有一个为空集；解：只有，其余均 X2 设 集 合A x 3 x 2 , B x 2k 1x 2k 1 ,且AB ， 那么 实 数 k 的 取 值 X 围是 k

2、 | 1k123设UR，集合 Ax | x23x2 0，Bx | x2( m 1)x m0 假设(CUA) B，求 m 的值解： A2,1 ，由()B,得B A ，CU A当 m1时， B1，符合 BA ；当 m 1时，B1, m ，而BA ， m2 ，即 m 2 m 1或2【课堂活动】一、建构数学：本单元主要介绍了以下三个问题：1集合的含义与特征；2集合的表示与转化；3集合的根本运算一集合的含义与表示(含分类 )1具有共同特征的对象的全体,称一个集合；专业资料整理WORD格式第 1 页专业资料整理WORD格式2集合按元素的个数分为:有限集和无穷集两类；列举法含全部列举、中间省略列举、端省略列

3、举描述法含文字描述与属性描述两类3集合的表示图示法目前含数轴表示、直角坐标表示、Venn图表示符号表示法含数集符号简记与区间二集合表示法间的转化列举法具体化文字描述法熟悉化属性描述法简单化符号表示法直观化图示法说明：高中数学解题的关键也是着“四化 三集合的根本运算专业资料整理WORD格式1子集： AB 定义为，对任意2集合运算比较：运算x A，有 x B,表现图为A 在 B 中包含着；专业资料整理WORD格式交集类型由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合 ,叫做 A,B 的定B读交集记作 A义作 A 交 B，即AB= x|xA，且并集由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合

4、， 叫做 A,B 的并集记作： A B 读作 A 并 B，即AB =x|xA，或补集设 S是一个集合，A 是S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素S组成的集合， 叫做 S 中子集 A 的补集 或余集记作 CS A，即专业资料整理WORD格式xB韦恩AB图示图 1xB)CSA= x| x S,且x AABSA图 2专业资料整理WORD格式(CuA)(CuB)专业资料整理WORD格式AA=AAA=A性A=A=AAB=BAAB=BAABAABABBABB质= Cu (AB)(CuA)(CuB)= Cu(A B)A(CuA)=UA(CuA)= 专业资料整理WORD格式容斥原理： 有限集 A 的元

5、素个数记作card(A).对于两个有限集A， B，有 card(A B)= card(A)+card(B)- card(A B)专业资料整理WORD格式第 2 页专业资料整理WORD格式二、应用数学：1、注意集合中代表元素“代表元素实质是认识和区别集合的核心代表元素不同，即使同一个表达式，所表示的集合也不同例如 A=x| y=x2,B=y| y=x2,C=(x,y)| y=x2,D=y=x2.2222例 1 P=y=x+1,Q=y| y=x +1,S=x| y=x +1,M=( x,y)| y=x +1,N=x| x 1.那么相等的集合有答案： Q=N【变式】 QS=？2、注意集合中元素的互异

6、性注意集合中元素的互异性，计算出的结果都必须代入到原集合当中，检验是否违反互异性的原那么例如对于数集 2a,a2-a，实数 a 的取值X围是 _. a0且 a 3例 2 (1)集合A=1,4,a,B=1,a2,且BA,求集合 A 和集合 B；22+1,如果A B =-3 ，求AB (2) x R,A=-3,x ,x+1,B=x-3,2x-1,x解： 1当 a 2 = 4 时，有 a=2 或 -2，经检验符合题意，此时 A=1,2,4 或 A=1， -2,4, B=1,4；当 a 2 =a 时，有 a= 1 或 0 ，经检验 a=0 符合题意 ,此时 A=0,1,4,B=0,1 2由A B =-

7、3 有， x-3= -3 或 2x-1= -3 或 x2+1= -3 故有 x=0 或 -1当 x=0 时， A=-3,0,1,B=-3 ， -1,1，不合题意AB =-3；当 x= -1 时， A=-3,1,0 ,B =-4， -3,2，符合题意综上所述， x= -1.【解后反思】1、注意分类讨论；2、注意检验题意和集合中元素的互异性3、准确掌握元素和集合、集合和集合的关系例 3 (1)以下关系式:m( ,n0); N R;高一 (1) 班学生的笔 x| x 是高一 (1)班学生 ;Q m nNn3.14 x R| x- >0.其中正确命题的序号是(2) 1 0,1,2 ;1 0,1,

8、2 0,1,2 0,1,2 ;0; 0,上述五个关系式中错误的个数是 2 个4、注意空集特殊性和两重性空集是任意集合的子集，即A ，是任一非空集合的真子集，即A(A ). AB 有三种情况：A, A B ,A B.另外还要分清楚与 ,与 0 的关系例 4以下五个命题 :空集没有子集 ;空集是任何一个集合真子集 ; 0 任何一个集合必有两个或两个以上的子集 ;假设A B，那么 A、 B 之中至少有一个为空集；其中真命题的个数 0 个例 5集合 A=x| x2-ax+a2-19=0,B=x| x2-5x+6=0,C=x| x2+2x-8=0,假设A B ，且 A C= ，求 a 的值解：B=2,3

9、 ,C=2，-4 由题意有 3A,2A，把 3 代入 A 对应方程有 a 2 -3a -10 =0 解方程有 a=5 或 -2.，经检验 a=-2 a=5 舍去例 6 A=x| ax-1=0,B=x| x2-5x+6=0,假设AB =A,求a的值，并确定集合A解：A B =A, A B而B=2,3，专业资料整理WORD格式第 3 页专业资料整理WORD格式当 a = 0时，A=B ，符合题意；当 a= 1时， A=2B ，符合题意；当a= 1时， A=3 B，符合题意23B 【解后反思】注意空集的特殊性， 空集是任意集合的子集，即例 7 A=x| x2+(m+2)x+1=0,且AR+=.试*数

10、 m 的取值X围解：因为AR+=.假设 A，那么方程 x2(m2)x10 无实数解，所以(m2)24m24m0，- 4< m<0;假设 A，那么方程 x2(m2)x10 有非正实数根，因为 x1 x210 ，所以方程有两个负根，所以m24m 0, 解得m0 ，(m 2)0,综上可知，实数m 的取值X围是m > - 4.【解后反思】注意空集的特殊性及分类讨论思想的应用5、 综合运用例 8 集合 A=x|x 2+4ax-4a+3=0， B= x|x 2+(a-1)x+a2=0， C=x|x 2+2ax-2a=0， 其中至少有一个集合不是空集，*数 a 的取值X围 .分析： 此题假

11、设从正面入手，要对七种可能情况逐一进展讨论，相当繁琐；假设考虑其反面，那么只有一种情况，即三个集合全是空集.【解】当三个集合全是空集时，所以对应的三个方程都没有实数解，即116a24(4a3)02(a 1)24a2034a28a0解此不等式组，得31a23所*数 a 的取值X围为：a, 或 a -1.2点评 : 采用“正难那么反的解题策略，具体地说，就是将所研究的对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合，那么这个集合的补集便为所求.专业资料整理WORD格式第 4 页专业资料整理WORD格式三、理解数学：1全集U=R，集合 A=x|x 2-x-6<0，B=x|x 2+2x-8>0

12、， C=x|x 2 -4ax+3a2<0(1)试求 a 的取值X围，使A BC；(2)试求 a 的取值X围，使CUACUB C分析： U=R，A= -2， 3， B= -，-4 2，+，故 AB= 2，3，CUA - ， -2 3，+， CU B -4，2， (CU A) (CU B) =-4，-2，又 x2-4ax+3a2<0 即(x-3a)(x-a)<0，当 a<0 时， C=3a， a，当 a=0 时， C=，当 a>0 时， C=a， 3a，a0要使 ABC，集合数轴知，a2解得1 a 2；3a3类似地，要使 CU ACU BC 必有a043a4，解得2

13、aa23【解】解答过程只需要将上面的分析整理一下即可.点评 : 研究不等式的解集的包含关系或进展集合的运算时，充分利用数轴的直观性，便于分析与转化；注意分类讨论的思想在解题中的运用，在分类时要满足不重复、不遗漏的原那么.2(1) 集合A=x| x2-3x+2=0,B=x| ax-2=0,假设BA ,*数a的取值X围；(2) 集合 A=x| ax2 -3x+2=0,假设 A =，求a的取值X围；假设 A 中只有一个元素，求a 的值并写出这个集合的元素；假设 A 中至多有一个元素，求a 的取值X围；假设 A 中有两个元素，求a的取值X围(3) 集合 A=x| x2-3x+2=0,B=x| x2 -

14、ax+2=0,假设BA ，*数a的取值X围解： (1)BA 而B=1,2当 a = 0时，B=A 符合题意；当 a= 2时， A=1B 符合题意；当a=1时，A=2 B 符合题意；(2)(3)略【解后反思】注意对方程最高次项系数是否为零的讨论【课后提升】1以下命题正确的有个 1很小的实数可以构成集合；2集合y | yx 21 与集合x, y | yx 21 是同一个集合； 3专业资料整理WORD格式第 5 页专业资料整理WORD格式1, ,1,0.5这些数组成的集合有54x, y | xy 0, x, y R是指第二和第四象限内的点36个元素；集合242集答案： 02假设A1,4, x , B

15、1, x2且 ABB ，那么x答案： 0,2,或23集合Axax2x2 0 至多有一个元素，那么a的取值X围|3答案：a | a9, 或 a084以下表述中正确的选项是只填序号：假设 AB,那么AB A；假设 ABB，那么 AB ；(A B) A (A B)；CUA BCUA CUB答案：、22x 中元素 x 所应满足的条件为5 x R，那么集合 3, x, x答案： x0,1,36满足 aM a, b, c, d 的集合 M 的个数为_答案： 77某中学高一 1班有45 人，其中参加数学兴趣小组有28 人，参加化学兴趣小组有21 人，假设数学化学都参加的有x 人，那么 x 的取值X围是答案：

16、 4x21， xZ8设全集UR ，Mm |方程 mx2x 10有实数根，Nn |方程 x2xn0有实数根, 那么CU MN =答案：x | x149集合Ax | x2axa219 0， Bx | x25x6 0， Cx | x22x80满足A B,，A C, 实数a值为答案： a210设yx2axb, Ax | y xa , Ma,b, M专业资料整理WORD格式第 6 页专业资料整理WORD格式答案： M1 , 13911设UR，集合 Ax | x 23x 2 0 ， Bx | x2(m 1)x m 0 ；假设(CUA) B，m =答案： m1或212A x2x5 ， B x m1x2m 1

17、 ，BA ,那么m的取值X围为答案： m313设是集合 A 中元素的一种运算，如果对于任意的xy, x, yA ，都有 xyA ，那么称运算对集合 A 是封闭的，假设M x | xa2b, a, bz ，那么对集合M 不封闭的运算是选填：加法、减法、乘法、除法答案：除法14设全集U( x, y) x, yR,集合My21 ，N(x, y) yx 4,(x, y)2x那么()() 等于CU MCU N_答案：2,2二、解答题：15 集合Ax |2x a , By | y 2x3,xA ,Cz | z x2 , xA,且 CB ,求a的取值X围解： B x | 1x 2a 3，当 2a 0 时，

18、Cx | a2x 4 ，而 CB 那么 2a 34,即 a1 ,而 2 a0, 这是矛盾的；2当 0a 2 时，Cx | 0 x 4 ，而CB ，那么2a即a1,即1；3 4,2a 22当 a2时， Cx | 0x a2，而 CB ，那么 2a3 a2 ,即 2a 3 ；1a 3 216 A=x|x 2+3x+2 0,B=x|mx 2 4x+m-1>0 ,m R, 假设 A B=, 且 A B=A,专业资料整理WORD格式第 7 页专业资料整理WORD格式求 m 的取值X围 .解：由 A=x|x 2+3x+20得A x | x2或 x1由A B得 .1 A 非空， B=； 2A=x|x2或 x1 B x |2x1. 另一方面，ABA BA ，于是上面2不成