函数与导数经典例题(含答案)

1、函数与导数1. 函数，其中当时，求曲线在点处的切线方程；当时，求的单调区间；证明：对任意的在区间内均存在零点【解析】19本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等根底知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，总分值14分。 解：当时，所以曲线在点处的切线方程为 解：，令，解得因为，以下分两种情况讨论： 1假设变化时，的变化情况如下表：+-+所以，的单调递增区间是的单调递减区间是。 2假设，当变化时，的变化情况如下表：+-+所以，的单调递增区间是的单调递减区间是 证明：由可知，当时，在内的单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论： 1当时，在0

2、，1内单调递减，所以对任意在区间0，1内均存在零点。 2当时，在内单调递减，在内单调递增，假设所以内存在零点。假设所以内存在零点。所以，对任意在区间0，1内均存在零点。综上，对任意在区间0，1内均存在零点。2. 函数，设函数F(x)18f(x)x2h(x)2，求F(x)的单调区间与极值；设，解关于x的方程；设，证明：本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等根底知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力解：，令，得舍去当时；当时，故当时，为增函数；当时，为减函数为的极大值点，且方法一：原方程可化为，即为，且当时，那么，即，此时，此时方

3、程仅有一解当时，由，得，假设，那么，方程有两解；假设时，那么，方程有一解；假设或，原方程无解方法二：原方程可化为，即，当时，原方程有一解；当时，原方程有二解；当时，原方程有一解；当或时，原方程无解由得，设数列的前n项和为，且从而有，当时，又即对任意时，有，又因为，所以那么，故原不等式成立3. 设函数，求的单调区间；求所有实数，使对恒成立注：为自然对数的底数【解析】21此题主要考查函数的单调性、导数运算法那么、导数应用等根底知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。总分值15分。 解：因为所以由于，所以的增区间为，减区间为 证明：由题意得，由知内单调递增，要使恒成立，只要解得4. 设，其中为正实数.

4、当时，求的极值点；假设为上的单调函数，求的取值范围.【解析】18本小题总分值13分此题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.解：对求导得 I当，假设综合,可知+00+极大值极小值所以,是极小值点,是极大值点.II假设为R上的单调函数，那么在R上不变号，结合与条件a>0，知在R上恒成立，因此由此并结合，知5. a，b为常数，且a0，函数fx=-ax+b+axlnx，fe=2e=271828是自然对数的底数。I求实数b的值；II求函数fx的单调区间；III当a=1时，是否同时存在实数m和Mm<M，

5、使得对每一个tm，M，直线y=t与曲线y=fxx，e都有公共点？假设存在，求出最小的实数m和最大的实数M；假设不存在，说明理由。【解析】22本小题主要考查函数、导数等根底知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，总分值14分。解：I由II由I可得从而，故：1当2当综上，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为0，1；当时，函数的单调递增区间为0，1，单调递减区间为。III当a=1时，由II可得，当x在区间内变化时，的变化情况如下表：-0+单调递减极小值1单调递增2又的值域为1，2。据经可得，假设，那么对每一个，直线y=t与曲线都有公共点。并且对每一个，直线与曲线都没有公共点。综上，当a=1时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2，使得对每一个，直线y=t与曲线都有公共点。6. 设函数，其中，a、b为常数，曲线与在点2,0处有相同的切线l。I 求a、b的值，并写出切线l的方程；II假设方程有三个互不相同的实根0、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。【解析】20此题主要考查函数、导数、不等式等根底知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，总分值13分解：由于曲线在点2，0处有相同的切线，故有由此得所以，切线的方程为 由得，所以依题意，方程有三