函数、极限、连续重要概念公式定理

1、一、函数、极限、连续重要概念公式定理一数列极限的定义与收敛数列的性质数列极限的定义：给定数列,如果存在常数,对任给,存在正整数,使当时,恒有,那么称是数列的当趋于无穷时的极限,或称数列收敛于,记为.假设的极限不存在,那么称数列发散.收敛数列的性质：(1)唯一性：假设数列收敛,即,那么极限是唯一的(2)有界性：假设,那么数列有界,即存在,使得对均有.(3)局部保号性：设,且,那么存在正整数,当时,有.(4)假设数列收敛于,那么它的任何子列也收敛于极限.二函数极限的定义名称表达式任给存在当时恒有当时,以为极限当时, 以为极限当时, 以为右极限当时, 以为左极限当时, 以为极限当时, 以为极限三函数

2、极限存在判别法 (了解记忆)1海涅定理：对任意一串,都有 2.充要条件：(1); (2).3.柯西准那么：对任意给定的,存在,当,时,有.4.夹逼准那么：假设存在,当时,有,且那么.5.单调有界准那么：假设对于任意两个充分大的,有(或),且存在常数,使(或),那么存在.四无穷小量的比较 (重点记忆)1.无穷小量阶的定义,设.(1)假设,那么称是比高阶的无穷小量.(2).(3)是同阶无穷小量.(4),记为.(5)2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考)当时, 五重要定理 (必记内容,理解掌握)定理1 .定理2 .定理3 (保号定理)：,当.定理4 单调有界准那么：单调增加有上界数列必有极限

3、;单调减少有下界数列必有极限.定理5 (夹逼定理)：设在的领域内,恒有,且那么定理6 无穷小量的性质：(1)有限个无穷小量的代数和为无穷小量;(2)有限个无穷小量的乘积为无穷小量;(3)无穷小量乘以有界变量为无穷小量定理7 在同一变化趋势下,无穷大量的倒数为无穷小量;非零的无穷小量的倒数为无穷大量定理8 极限的运算法那么：设,那么(1)(2)(3)定理9 数列的极限存在,那么其子序列的极限一定存在且就等于该数列的极限定理10 初等函数在其定义域的区间内连续定理11 设连续,那么也连续六重要公式 (重点记忆内容,应考必备)(1)(2).(通过变量替换,这两个公式可写成更加一般的形式：设,且那么有

4、,)(3)(4)函数在处连续.(5)当时,以下各函数趋于的速度(6)几个常用极限 .七连续函数的概念1. 在处连续,需满足三个条件：在点的某个领域内有定义当时的极限存在.2. 在左连续：在内有定义,且.3. 在右连续：在内有定义,且.4. 在内连续：如果在内点点连续5. 在内连续：如果在内连续,且左端点处右连续,右端点处左连续八连续函数在闭区间上的性质 (重点记忆内容)1有界性定理：设函数在上连续,那么在上有界,即常数,对任意的,恒有2最大最小值定理：设函数在上连续,那么在上至少取得最大值与最小值各一次,即使得：; .3介值定理：假设函数在上连续,是介于与(或最大值与最小值)之间的任一实数,那么在上至少一个,使得4零点定理：设函数在上连续,且,那么在内至少一个,使得九连续函数有关定理1连续函数的四那么运算：连续函数的和、差、积、商(分母在连续点处的数值不为零)仍为连续函数2反函数的连续性：单值、单调增加(减少)的连续函数,其反函数在对应区间上也单值、单调增加(减少)且连续3复合函数的连续性：在点连续,而函数在点连续,那么复合函数在点连续4初等函数的连续性：一切初等函数在其定义区间内是连续函数十间断点的定义及分类1定义：假设在处,不存在,或无定义,或,那么称在处间断,称为的间断点2间断点的分类间断点的类型条件例子第一类间断点可去型间断点是