分式的概念与基本性质

1、分式的概念当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式整式与分式统称为有理式在理解分式的概念时，注意以下三点：分式的分母中必然含有字母；分式的分母的值不为0；分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开分式有意义的条件两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义 如：分式，当时，分式有意义；当时，分式无意义分式的值为零分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时分式的根本性质分式的根本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0

2、的整式，分式的值不变上述性质用公式可表示为：，()注意：在运用分式的根本性质时，基于的前提是；强调“同时，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零的数字或者整式；分式的根本性质是约分和通分的理论依据一、分式的根本概念【例1】 在以下代数式中，哪些是分式？哪些是整式？，【考点】分式的根本概念【解析】根据分式的概念可知，分式的分母中必然含有字母，由此可知，为分式 ，为整式注意：中分母中的是一个常数，因此它不是分式，分式的概念是针对原式的，尽管原式化简后可以是整式的形式，但原式仍是分式.【答案】，为分式，为整式【例2】 代数式中分式有 A.1个 B.1个 C.1个 D.1个【考点】分式的根本概念【解析】

3、分母中含有字母的式子是分式，所以上式中分式有.选【答案】选二、分式有意义的条件【例3】 求以下分式有意义的条件：【考点】分式有意义的条件【解析】分式有意义的条件是；分式有意义的条件是，即；分式有意义的条件是，即，；分式有意义的条件是，即为任何实数；分式有意义的条件是，故或者；分式有意义的条件是，即且；当我们求使分式有意义的字母的取值范围时，同样要看原式，而不是化简之后的结果.分式有意义的条件是，即【答案】；为任何实数；故或者；且；即【例4】 要使分式有意义，那么须满足的条件为 【考点】分式有意义的条件【解析】x-30【答案】【例5】 为何值时，分式有意义？要使分式没有意义，求的值.【考点】分式

4、有意义的条件【解析】且，那么且根据题意可得或，所以或【答案】1且2或【例6】 为何值时，分式有意义？【考点】分式有意义的条件【解析】根据题意可得：，解得且【答案】且【例7】 为何值时，分式有意义？【考点】分式有意义的条件【解析】且，那么，且，且，【答案】那么，且，且【例8】 假设分式有意义，那么 ；假设分式无意义，那么 ；【考点】分式有意义的条件【解析】分式有意义，根据题意可得：，解得且;分式无意义，根据题意可得：或,即或;【答案】1且；2或【例9】 假设有意义，那么( ).A. 无意义 B. 有意义 C. 值为0 D. 以上答案都不对【考点】分式有意义的条件【解析】 有意义的条件为, . 同

5、理有意义的条件为. 所以有意义，不一定有意义，应选D.【答案】D【例10】 为何值时，分式有意义？【考点】分式有意义的条件【解析】根据题意可得：，解得且;【答案】且【例11】 假设分式有意义，那么 ; 假设分式无意义，那么 ;【考点】分式有意义的条件【解析】 假设分式有意义，那么且且; 假设分式无意义，那么或或;【答案】1且且；2或或三、分式值为零的条件【例12】 当为何值时，以下分式的值为0？【考点】分式值为零的条件【解析】，此时分母不为0，故当时，原式的值为0；或者，但当时，分母为0，故时，原式的值为0；由，又，故；由可知，无论为何值，分式的值都不为0；由或者，又，故；由，又且，故【答案】

6、时；无论为何值，分式的值都不为0；【稳固】当为何值时，以下分式的值为？ 【考点】分式值为零的条件【解析】根据题意可得：，那么根据题意可得：，那么，所以根据题意可得：，那么根据题意可得：，那么根据题意可得：，那么根据题意可得：，那么根据题意可得：，那么【答案】；【例13】 假设分式的值为0，那么的值为 【考点】分式值为零的条件【关键词】2021年，昌平一模【解析】【答案】【稳固】假设的值为0，那么 .【考点】分式值为零的条件【解析】根据题意可得： ，即且.【答案】且.【稳固】假设分式的值为0，那么x的值为 【考点】分式值为零的条件【关键词】2021年，朝阳一模【解析】【答案】【稳固】假设分式的值

7、为0，那么x的值为 【考点】分式值为零的条件【关键词】2021年，房山二模【解析】0【答案】0【例14】 如果分式的值是零，那么的取值是 【考点】分式值为零的条件【关键词】2021年，石景山二模【解析】2【答案】2【稳固】假设分式的值不为零，求的取值范围【考点】分式值为零的条件【解析】当时，原分式的值不为零由得：且由得：假设原分式的值不等于零，的取值范围是且且【答案】且且【例15】 为何值时，分式分式值为零？【考点】分式值为零的条件【解析】假设分式值为零，.【答案】【稳固】为何值时，分式值为零？【考点】分式值为零的条件【解析】根据题意可得，解得，假设问此分式何时无意义，那么或或.【答案】或或【

8、稳固】假设分式的值为0，那么 .【考点】分式值为零的条件【解析】，根据题意可得： ，所以.【答案】【巩固】 假设分式，那么 .【考点】分式值为零的条件【解析】分式值为零，根据题意可得：，解得.【答案】四、分式的根本性质【例16】 填空：1 23 4【考点】分式的性质【答案】1；2；3；(4)【例17】 假设，的值扩大为原来的倍，以下分式的值如何变化？【考点】分式的性质【解析】，不发生变化，是原来的倍，是原来的倍【答案】不发生变化是原来的倍是原来的倍【稳固】把以下分式中的字母和都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？1 2【考点】分式的性质【解析】1扩大5倍后的分式为。因此分式值不变。2扩大5倍

9、后的分式为，因此分式值为原来的。【答案】1分式值不变。2分式值为原来的【例18】 不改变分式的值，把以下各式的分子与分母的各项系数都化为整数【考点】分式的性质【解析】【答案】【稳固】不改变分式的值，把以下各式分子与分母的各项系数都化为整数。1； 2【考点】分式的性质【解析】1原式2原式【答案】12【例19】 不改变分式值，使以下各式分子与分母中的最高次数项的系数为正数：1； 2【考点】分式的性质【解析】1原式2原式【答案】12【例20】 求以下各组分式的最简公分母，【考点】分式的性质【关键词】最简公分母【答案】；【例21】 通分：， ，【考点】分式的性质【关键词】通分【答案】；先分解因式，而后找公分母为，先分解因式，而后找公分母为，【例22】 以下分式中，哪些是最简分式？假设不是最简分式，请化为最简分式。1 2 3； 4【考点】分式的性质【关键词】最简分式【解析】分式的分子和分母中没有公因式的分式是最简分式。因此最简分式是3和4。1和2分别化简得和【答案】最简分式是3和4。1和2分别化简得和【稳固】以下分式化简：；。其中错误的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【考点】分式的性质【关键词】约分【解析】约分是约去分子和分母中的公因式，而不是分子与分母中的局部因式或多项式式中的某些项，故