21平面向量的实际背景及基本概念

1、第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念1.1.掌握向量的意义、表示方法以及有关概念掌握向量的意义、表示方法以及有关概念. . （重点）（重点）2.2.能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等平行、共线、相等. .（重点）（重点） 同学们都知道，数学是一门基础学科，是解决其它同学们都知道，数学是一门基础学科，是解决其它一些学科问题的有力工具一些学科问题的有力工具. .其实数学的很多理论是由其它其实数学的很多理论是由其它学科的一些知识抽象而来的学科的一些知识抽象而来的. .成为理论后又反过来对其它成为理论后又反过

2、来对其它学科起作用学科起作用. .比如同学们学习的物理，它与数学就有非常比如同学们学习的物理，它与数学就有非常密切的关系密切的关系. .唉唉, 哪儿去了哪儿去了?嘻嘻嘻嘻!大笨大笨猫猫!AB老鼠由老鼠由A A向东北方向以每秒向东北方向以每秒6 6米的速度米的速度逃窜，如果猫由逃窜，如果猫由B B向正东方向以每秒向正东方向以每秒1010米速度追赶，那么猫能否抓到老鼠？米速度追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么？为什么？ 请同学们回忆在物理中学习过哪些既有大小又有方请同学们回忆在物理中学习过哪些既有大小又有方向的量？向的量？ 向量的物理背景与概念向量的物理背景与概念 在现实生活中，我们会遇到很多量，其

3、中一些量在在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等等. .还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、力是既还有一些量，如我们在物理中所学习的位移、力是既有大小又有方向的量，例如：物体受到的重力是竖直向有大小又有方向的量，例如：物体受到的重力是竖直向下的（图下的（图2.1-12.1-1），物体的质量越大，它受到的重力越大；），物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图2.1-22.1-2），物），物体浸在液体中的体积越大，它受到的

4、浮力越大；被拉长体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大；被拉长的弹簧的弹力是向左的（图的弹簧的弹力是向左的（图2.1-32.1-3），被压缩的弹簧的弹），被压缩的弹簧的弹力是向右的（图力是向右的（图2.1-42.1-4），并且在弹性限度内，弹簧拉长），并且在弹性限度内，弹簧拉长或压缩的长度越大，弹力越大或压缩的长度越大，弹力越大. .一、向量的定义一、向量的定义既有既有大小大小，又有，又有方向方向的量叫做的量叫做向量向量. .数量只有大小，可以进行代数运算、比较大小；向量有方数量只有大小，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，不能比较大小向，大小，不能比较大小.思考思考: :时间时间

5、, ,路程路程, ,功功, ,速度速度, ,加速度是向量加速度是向量吗吗? ?为什么为什么? ?ABAB二、向量的表示方法二、向量的表示方法有向线段有向线段 （起点、起点、 ）(1)(1)几何表示法：几何表示法： a a ，b,b,(2)(2)字母表示法：字母表示法：B B（终点）终点）A A（起点）起点） 方向方向、长度长度问题问题1 1：“向量就是有向线段，有向线段就是向量向量就是有向线段，有向线段就是向量.”的说的说 法对吗？法对吗？不对，向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与不对，向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同起点无关：

6、只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. .三三、向量的有关概念向量的有关概念1.1.向量的向量的长度（模）长度（模）：向量：向量ABAB的的大小大小, ,也就是向量也就是向量 的的长长度（或称模）度（或称模）. . |AB|AB|记作记作AB 2 2两个特殊向量：两个特殊向量： 问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点问：在平面上把所有单位向量的起点平移到同一点P P，那么它们的终点的集合组成什么图形？那

7、么它们的终点的集合组成什么图形？零向量零向量-长度为长度为0 0的向量叫做零向量，记作的向量叫做零向量，记作 0 0. .P单位向量单位向量-长度等于长度等于1 1个单位的向量叫作单位向量个单位的向量叫作单位向量. .例例1.1.如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用向量表示分别用向量表示A A地至地至B B、C C两地的位移，并求出两地的位移，并求出A A地至地至B B、C C两地的实际距离（精确到两地的实际距离（精确到1km1km）. .AB解：解： 表示表示A A地至地至B B地的位移，且地的位移，且AB 200km 200km

8、 . . AC表示表示A A地至地至C C地的位移，且地的位移，且AC 280km 280km . .（1 1）相等向量：相等向量：长度长度相等相等且且方向相同方向相同的向量叫做相等向量的向量叫做相等向量. .记作：记作：a = b abo o.b aA AB BC CD DD DC CB BA A四、向量间的关系四、向量间的关系各向量的终点与直线各向量的终点与直线l之间有什么关系？之间有什么关系？如：如：abc（2 2）平行向量：平行向量：方向方向相同相同或或相反相反的的非零向量非零向量叫做平行向量叫做平行向量. .记作记作 a b cb c规定：规定：0 0与任一向量平行与任一向量平行.

9、.问：问：把一组平行于直线把一组平行于直线l的向量的起点平移到直线的向量的起点平移到直线l上的上的一点一点O O ，这时它们是不是平行向量？这时它们是不是平行向量？O Ol .C COC = cOC = cA AOA = a OA = a OB = b OB = b B B 平行向量又叫做共线向量平行向量又叫做共线向量问题问题2 2：两个向量是否可以比较大小？两个向量是否可以比较大小？ 向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相向量不能比较大小，我们知道，长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相同的两个向量表示相等向量，但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，等关

10、系，没有大小之分，“对于向量对于向量 、 ， 或或 ”这种说法是错误的这种说法是错误的. .abba ba 例例2 2如图，设如图，设O O是正六边形是正六边形ABCDEFABCDEF的中心，分别写出图中的中心，分别写出图中 与与 相等的向量相等的向量. 解：解：OACBDO;OBDCEO;OCABEDFO. OA OB OC 、 、方向相同方向相同长度相等长度相等1.1.判断下列说法的正误判断下列说法的正误. .向量向量 与与 是共线向量，则是共线向量，则A A、B B、C C、D D 四点必在同一直线上；四点必在同一直线上；单位向量都相等；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量任一向量与它

11、的相反向量( (长度相同长度相同, ,方向相反的向方向相反的向量量) )不相等；不相等；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. .AB CD ( () )( () )( () )( () )A AB BC CD DF FE EM M解：解：（1 1）DEDE、BFBF、FBFB、FAFA、 AFAF、EDED、MCMC（2 2）FBFB、AFAF、MCMC2.2.如图如图,D,D、E E、F F分别是分别是ABCABC各边上的中点，四边形各边上的中点，四边形BCMFBCMF是平是平行四边形，请分别写出行四边形，请分别写出：（1 1）与）与CMCM长度相等且共线的向量；（长度相等且共线的向量；（2 2）与）与EDED相等的向量；相等的向量；3.3.已知边长为已知边长为2 2的等边三角形的等边三角形ABCABC，求，求BCBC边上的中线向量边上的中线向量 的模的模