关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题

1、 山东大学博士学位论文关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题姓名:杨连中申请学位级别:博士专业:基础数学指导教师:仪洪勋关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题要摘引进了亚纯函数的特征函数,二十世纪二十年代,芬兰数学家并建立了两个基本定理,被称为理论值分布论;他所创建的这一理理论研论也是二十世纪最重大的数学成就之一。半个多世纪以来,究在不断发展,而且在复微分方程振荡理论、亚纯函数的唯一性理论研究等方面有着广泛的应用。亚纯函数的唯一性理论,是近几十年国际上较为活跃的研究课题,有着极为丰富的研究内容。涉及公共值的亚纯函数唯一性问题理论研究起源于.,的一些研究工作,他不仅为唯一性问题研究奠定了理论基础,并为亚

2、纯函数唯一性理论方面的研究与发展注入了新的活力。他所建立的公共值定理、公共值定理等都是这一研究领域的经典结果。后来我国著名数学家熊庆来?、杨乐【等都得到了内容深刻的结果。随着亚纯函数唯一性理论的不断发展与完善,一些问题得到了解决,新的研究问题又不断出现,如本文提到的问题,都是许多数学问题,猜想,一问题及家所关注的研究对象。 ,. .等数学家都获得不少研究成果。近二十年来,仪洪勋教授在亚纯函数唯一生理论方面作出了重要贡献.取得了一系列令人注目的结果。本文主要介绍了作者在仪洪勋教授的精心指导下所完成的一些研究工作见文献】¨¨】【】【,全文共分五章。第一章主要介绍了基础理论中的常

3、用记号,并叙述亚纯函数唯一性理论中的一些基本概念、结果及与本文研究相关的几个问题。第二章,我们研究了整函数与其导函数仅有一个有穷公共值时的唯一性问题。年,.提出了如下猜想。猜想:设,是非常数整函数,其超级旷?盟寄幽为有穷且不为正整数。如果与以有穷复数。为公共值,则一。二。?一其中为非零常数。设,是非常数整函数,%是正整数,为非零常数如果与,以为公共值,则由园子分解定理可知卫竺:。,?其中是整函数记/一,则满足下列线性微分方程:一:.上述论证说明,函数与其导函数,芝具有一个有穷非零公共值与一类线性微分方程的解有着密切关系。我们通过研究一类复微分方程解的增长性质,对有穷级整函数证明了 猜想成立。主

4、要定理有定理设是非常数多项武为正整数则微分方程一毋:的任何解。必为无穷级整函数。定理设,是非常数整函数,其级为有穷。如果与,以有穷复数为公共值,则,女一丁副,其中为非零常数,是正整数。在第三章中,我们进一步研究了函数与其导数具有一个公共值时的唯一性问题,回答了?问题及钟华梁提出的一个问题,并推广了.,.和的结果。主要定理有定理设,是非常数整函数,是有穷非零复数,为正整数。如果,以及,以为公共值,则,三关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题定理设,是非常数整函数,是有穷非零复数,礼为正整数。如果和,“以为公共值,并且当时,“,则三矿,其中是非零常数。第四章我们考虑两个非常数亚纯函数与,研究了当,和,

5、?一,具有公共值时的唯一性问题。对超级小于的亚纯函数解决了的一个问题,例子表明其结果是精确的。具体结果有定理设与是超级小于 的非常数亚纯函数.如果,与口,以和为公共值 则和下列情况之一:,为常数酽”,。,为常数一“,一一,为常数/一。,/?一.为常数,是非常数整函数。第五章主要研究了具有公共值集的亚纯函数唯一性问题。函数的公共值集概念首先是有首先给出的,并在年提出了一个关于亚纯函数唯一性此问题引起了许,和,当,为和的公共值集时,必有三多数学家研究兴趣,这方面的研究也越来越多。下面的几个结果是我们关于问题研究的有关工作,其中定理回答了问题。定理设与是非常数亚纯函数,是有穷复数,是正整数。如果,凡

6、与“以,。为公共值,则,“兰或者三,从而存在常数和满足“,。使得,三或者,三定理设,与是非常数整函数,”“是有穷复数,是正整数。记“,岛 “如果,则兰?壁垦垒旦旦星垦堕旦墨旦堕旦堡型堡望望鲨设,?一,。”,曼。,及,其中/,/,则我们有下面的定理成立。定理设与是非常数亚纯函数。如果,和以,为公共值集,并且,则,兰,“;或者,?兰,“定理设与是非常数亚纯函数。如果,和以为公共值集,以&为公共值集,并且礼,则,三,护;或者,三,“.定理设与是非常数亚纯函数。如果,和以为公共值集,以岛为公共值集,并且,则,三,”;或者,.三,“关键词亚纯函数整函数 公共值公共值集 唯一性关于亚纯函数唯一性理

7、论中的几个问题 ?. ? . ,?,., ?, ,.?, . 】【】【】【】【】?.【, , ?,.: ,?一蛐筹幽, ,/。 ,一乇一三?,%, ,刖 , 塑一。:。?. /一:一:, , .。口“一:沁酶.。 ,四女 一万孔 半, , ?关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题 ., .,. 丘, 扎拈, .,?,“,三. ,?,。.,”口,。口,三。,。 /, , ,.?口. 四一,”,。“,一“,一“一,。,. “,/一。./一。一,。 ,: ,岛岛与 , , .、旦坫扣, ,盯“十。 “十&,“兰“,”“三。,。,。,“ ,.】 “,岛”, 三:,.,“,。,/,、, 三 “:,“

8、,一三,. , ,.:.关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题序 言数,并建立了两个基本定理,被称为理论值分布论;他所创建的这一理论也是二十世纪最重大的数学成就之一。半个多世纪以来, 理论研究在不断发展,而且在复微分方程振荡理论、亚纯函数的唯一性理论研究等方面有着广泛的应用。亚纯函数的唯一性理论,是近几十年国际上较为活跃的研究课题,有着极为丰富的研究内容。涉及公共值的亚纯函数唯一性问题理论研究起源于的一些研究工作,他不仅为唯一性蚓题研究奠定了理论基础,并为亚纯函数唯一性理论方面的研究与发展注入新的活力。他所建立的公共值定理、公共值定理等都是这一研究领域的经典结果。后来我国著名数学家熊庆来【?、杨乐

9、阳:等都得到了内容深刻的结果。随着亚纯函数唯一性理论的不断发展与完善,一些问题得到了解决,新的研究问题又不断出现,如本文提到的问题,猜想,?问题及.问题,都是许多数学家所关注的研究对象。.,., , 等数学家都获得不少研究成果。近二十年来,仪洪勋教授在亚纯函数唯一性理论方面作出了重要贡献,取得了一系列令人注目的结果。本文主要分绍了作者在仪洪勋教授的精心指导下所完成的一些研究工作见文献】了】【¨】【】【。关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题第一章理论概要值分布理论的发展中, 有着巨大的贡献。年他引进了亚纯函数的特征函数,并且建立了两个基本定理,被称为理论。半个多世纪以来,理论不断发展与完

10、善,而且在复微分方程振荡理论、亚纯函数的唯一性理论等方面有着广泛的应用。本章我们将给出基础理论中的常用记号,并叙述亚纯函数唯一性理论中的一些基本概念、结果及相关问题见文献【¨【等。理论简介§.在本文中,如无特别声明,我们所提及的亚纯函数均是指开平面 。中的亚纯函数,用。表示扩充复平面。正对予 定义 的 对数一矿泉定义.设为亚纯函数.对。.规定,;”。,徊目,二掣。,【。, ,”型学,其中,表示在?上的极点之个数,且重级极点按重数计算;,表示在川上的不同极点之个数;,表示在原点处极点的童数当/。时,.,;当。时,瓦,理论概要,和一,分别称为的极点的计数函数与精简计数函数;丁,

11、称为,的特征函数,简称的特征函教定理.第一基本定理设于内亚纯若为任一有穷复数,而且则对于有.丁,。,。,其中为/一在原点的展开式按井幂排列中第一个非零系数,而且有., 通常我们将 简写为丁一击丁,定义.设,为亚纯函数,则忙,翌掣警唑警?。儿旷?。型筹丛称为,的超级。为 上连续、非减函数定理.引理设.则至多除去的一个集合后恒有赤,且的线性测度不超过.关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题定理.对数导数引理设为非常数亚纯函数,且及。则对于有, ,了。矿,。击。,厕注:当或时,适当变更一下 .右端的最后两个常数项及其余各项系数后结论仍成立.定理.第二基本定理设,。为非常数亚纯函数,? ,为口芝个己中的判

12、别元素,则沁弦,善去卜十酬门,由.,一,击,手萋,南。和定理. ,关于第二基本定理中的余项,根据定理我们有如下估计。确定理.设为非常数亚纯函数,有定理.中的.定,则当为有穷级时有,当的级为无穷时有,÷,掣其中是一线性测度为有穷的集合“,理论概要确定中的推论.设为非常数亚纯函数,有定理则当为有穷级时有,当的级为无穷时有,÷,仁, .其中是一线性测度为有穷的集合.对于非常数亚纯函数,一般我们用,表示满足,丁,÷,彰的量,是一线性测度为有穷的集合,但每一次出现不一定完全相同。通过对定理中项估计,我们有第二基本定理如下常用形式。定理.设,为非常数亚纯函数,?一,为个中的判

13、别元素,则, ,四丁,喜矾,击一,“其中,/表示对应,的零点但不是,一吗, ,的零点的计数函数。定义.设为非常数亚纯函数,为亚纯函数当。时.在该定义中约定,若,。,则称。为,的小函数或慢增长函数.四曾提出能否将第二基本定理定理.中的常数。 .,。,换为的小函数,?一,的问题对于这一问题在仅考虑三个小函数的情况下,证明了如下定理。定理.三密度不等式设为非常数亚纯函数,关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题其中有一个可恒等于为的三个判别小函数,则¨,丁小善矶,丽与,对于上述提出的一般问题,圻泰教授曾进行了研究,并在整函数的情况下给出了涉及小函数的第二基本定理,问题已获解决。直到年,对亚纯函数

14、的研究才有本质进展,与,及等人都发表了相关的研究论文,其中的结果是二十世纪年最重大的成果之一,他证明了如下结果。定理.【】定理设,为非常数亚纯函数,吗,一,为,的叮个判别的小函数,为任意给定的正数,则丁,、击,丁,宴呻、击?小,其中曼,。十。.,与及,有关且,李玉华【】去掉了定理,中的,从而涉及带非精简密指量的问题己完全解决了,对于带精简密指量的第二基本定理能否推广到小函数情形仍是尚未解决的问题。定义.设,。为非常数亚纯函数,定义,粤翼黼,七肛粤磐鬻显然我们有,.如果,我们称。为,的亏值,而,称为。关于,的亏量。定理.亏量关系设,为非常数亚纯函数,则,的亏值至多有可理论概要数个,且相应这些亏值

15、的亏量总和满足 ,。,§.亚纯函数唯一性理论中的基本概念和定理理论在亚纯函数的唯一性理论方面有着广泛的应用。本节我们将给出亚纯函数唯一性理论中的常用记号,并叙述一些基本概念、结果及相关问题。定义.设与均为非常数亚纯,可等于为任意复数,如果一与一有相同的零点不计重数,则称与。以为公共值;如果,与。的零点相同,且零点的重数亦相同,则称,。与以为公共值当时,一与一的零点理解为,与的极点。定义.设与为非常数亚纯函数,为四个有穷复数若,竺型。一,。一。?”。”,则称是的分式线性变换亦称变换应用他所建立的两个基本定理,得到了涉及公共值的亚纯函数唯一性方面的如下四个著名定理:定理.公共值定理设与为

16、非常数亚纯函数,为五个判别的复数其中之一可为无穷大。如果,与以,为公共值,则 。定理.公共值定理如果两个非常数亚纯函数与以四个判别的复数,为公共值,则,是的分式线性变换。关于¨一纯函数唯一性理论中的几个问题定理.?公共值定理 设与为非常数亚纯函数,为四个判别的复数其中之一可为无穷大。如,与以,.,为公共值,则有如下结论成立:,一,/一,十,对任意复数%,/?丁,定理.不存在个判别的非常数亚纯函数具有个公共值§.关于亚纯函数的几个唯一性问题一性的几个经典结果,这些理论结果标志着涉及公共值的亚纯函数唯一性理论研究的开始,但在随后二十多年里,这方面的研究处于相对停滞状态,直到二十

17、世纪五十年代末才有一些研究结果出现,中国著名数学家熊庆来“、杨乐口都得到了内容深刻的结果。后来,又引进了函数公共值集的概念,为亚纯函数唯一性理论方面的研究与发展注入了新的活力。从此以后,涉及函数公共值与公共值集的亚纯函数唯一性理的研究日趋活跃,并提出了许多研究问题。本节主要介绍几个与本文研究有关的几个问题。定义.设为非常数亚纯函数,为一中的一非空子集。定义,重级零点按重数计算,重级零点仅计一次西定义.设与为非常数亚纯函数,为中的一非空子集。如果,岛,则称与以为公共值集;如果百,:,则称与以为公共值集。理论概要公共值;如果雷,一,则,与必以为公共值。问题一问题是否存在两个非空集合,和,使得对任何

18、两个整函数,和,使得如果巧马岛马,必有,三。,.咛题二问题“刚设,为非常数亚纯函数,和几为两不同时为奇数或偶数的正整数,如果,和,以】为叁共值。囊否必硐,三,。, ,问,三猜想吲设.厂为非常数整函数,其超级为有限且不为正整数,如果,与,以为公共值,则必有,?了其中为非零常数。问题四问题【是否存在一个正整教啊使得对任何两个亚纯与,?,见以和为公共值,则,和,为常数、,“”,。”。,口为常数.,。一。,为常数,”,。/?。,/一。一,为常数,是非常数整函数。关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题本章我们将研究函数与其导函数,五具有一个非零公共值时的唯一性问题,给出了一类线性微分方程解的增长性质,对有限

19、级整函数证明了.】猜想及其推广形式。§.线性微分方程解的增长性质设,是非常数整函数,%是正整数,为非零常数如果与,以为公共值,则有因子分解定理可知掣型;。咐?其中是整函数记/一,则满足下列线性微分方程:一口:上述论证说明,研究函数,与其导函数,%具有一个有穷非零公共值时的唯一性问题与研究一类线性微分方程的解有着密切关系。关于复微分方程振荡理论及解的增长性质,是国际上较为活跃的研究课题,国内外有许多数学家如何育赞【】,高仕安,.,. 等都曾从事该理论的作,其结果本身也有一定意义。引理.【“】设是非常数亚纯函数,其级为有穷,再设是一给定正,使得如果讥【,一,则存在一常数妒,对所有满足?岛

20、的。,有梨外“?:西上无界。理.【设是非常数整函数,并且在射线则存在一无穷点列。÷。,使得当如÷。时,。且最近,我们改进了上述引理. ,证明了引理.设是非常数整函数,并且在射线 咖上无界。则存在一无穷点列。÷。,使得当?。时。?且端协。证明:设,¨,西: , 曲,由于。在射线妒上无界。则存在一无穷点列。÷。,使得当。÷时,÷且。,刖,咖,磊由?。:一十/“,可得/%/.再由¨:。”协吣, 皿曲,上,厶,如关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题通过次上面的方法,我们不难推得。 。 。“从而当:。时黼七?结论得证。年,我们

21、利用引理 和引理 证明了如下定理。则微分方程定理.七设是非常数多项武的任何解必为整函数,其级为无穷。年,我们又进一步证明了定理.【设是非常数多项武为正整数则微分方程一。的任何解必为无穷级整函数。证明:不难看出,方程的任何解均为整函数,我们用反证法给出定理的证明。假设定理.不成立,并设是方程.整函数的解,其级为有穷。由方程 .可得譬五:昙设为一给定正数,则由引理,则存在一线性测度为零的数集,使得如果】,一,则存在一常数风妒,对所有满足。妒的,有¨删.眨¨,错关于 猜想的研究现在我们假设【,一是任何满足对任意有、. 生竺箬÷。,。一的实数。则由 .,. 和 .,当&#

22、247;.坩÷再设咖,是任何满足对任意卢有口。”,÷。. 的实数。我们证明。在射线上是有界的。假若不然,即。在射线西上是无界的,则有理,存在一无穷点列÷,使得当时,。÷且¨黠协由于怕。:。,从.和. 可得。÷于是从 ., 以及不难推出:,。÷,此与÷。相矛盾此矛盾说髓,必在射线。咖上有界.利用积分恒等式怕一/。叫训,容易得到?。拈一对所有满足:西的。成立,其中击是某一常数。采用类似的方法,由 .并多次利用积分公式%,。一一。,便推得当 时。.关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题对所有满足 咖的:成立.其中是一%次多项

23、式。我已经证明:式对任何具有性质 的,成立,.武对任何具有性质.的,一成立。由于是一非常数多项式,从而.中使】武或 武不成立的实数至多仅有有限多个;再注意到是一线性测度为零的集合,于是除去和【,中某一零测度集合外, 中之一成立。因为为有穷级整函数,根据?定理, .及定理,必为一次数不超过的多项武此与式中。是一;常数多项式矛盾。定理】得证。§关于亚纯函数与其导函数,具有或公共值时的唯一性问题,国际上已有很多研究工怍,但其结果几乎全是在两个或两个以上公共值的条件下获得的。至于函数与其导函数分担一个公共值的情况,年提出了如下猜想。猜想吲设是非常数整函数,其超级炉?.塑筹她为有穷且不为正整数

24、。如果与以有穷复数为公共值,则,瓠,其中为非零常教。用另法证明。从微分方程等”及等叫:关于 猜想的研究的解我们看出、当,的超级为正整数或无穷时,猜想不再成立。设式并不。/。,则与,以为公共值,但成立。此例表明猜想对亚纯函数亦不成立。年,对函数导数的零点较少的整函数证实其猜想,获得了如下定理。定理.设,是非常数整函数。如果,与,以为公共值,且满足 ,则?巴了二其中为非零常数。年,张庆彩改进了定理 ,证明了如下定理。定理.四设,是非常亚纯函数。如果,与,以为/如果对某一实数./.有.,。,则了一其中为非零常数。年,作者对有穷级整函数证明了猜想,获得了如下定理。定理.【”设,是非常数整函数其级为有穷

25、。如果,与,以有穷复数。为公共值,则?:.一其中为非零常数。证明:我们仅证明的情况,当的情况包含在下面定理.的证明中。由于,与,以为公共值,于是,和,均是无零点的整函关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题数,且其级为有穷。从而,其中是非常数多项武再由无零点得证。可知,;常数,于是三定理最近,作者推广了定理. ,证明了如下定理。定理.【设,是非常数整函数,其级为有穷。如果与,以有穷复数为公共值,则,一百刮其中为非零常数,%是正整数。证明:因为是有穷级整函数,如果,与,以。为公共值,则由因子分解定理可得。、?。粤彰五,?其中是多项式。记,/一,则满足下列线性微分方程:一。.可知是无穷级整函数,此与如果

26、。不为常数,则从. 式及定理.成立。定理是有穷级整函数矛盾。于是必为常数。由. 武知定理得证。对有穷级整函数的情况,利用定理可以改进先前的有关函数唯一性许多研究工作。以下定理是定理的推论.定理.设,是非常数整函数,其级为有穷,是正整数。如果与,%以有穷复数为公共值,且存在一点如使得/,询.则三,¨定理.设,是非常数有穷级整函数,%是正整数,和是两个判别的有穷复数。如果,与,以。为公共值,以为公共值,则关于 猜想的研究三,定理.设,是非常数整函数,其级为有穷,是正整数。如果,与以有穷复数为公共值,且存在一点韧使得,如,十翔则,三.定理.设,是非常数整函数,其级为有穷,是正整数。如果与,

27、以有穷复数为公共值,且存在一点使得,恤动,则,三,?。关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题第三章关于?问题及其相关研究理以来,已有很多有关具有公共值的亚纯函数唯一性的研究成果;特别在近三十年来,该课题的研究一直是许多科学家感兴趣的研究对象,其中关于亚纯函数与其导函数具有公共值时的唯一性问题研究也越来越多。年,证明了如果整函数与其导数, 分担两个判别的有穷非零复数,则/三,.年,和】推广了?的工作到,与其导数,分担两个判别的有穷非零复数。年,和考虑了亚纯函数的情况并证明了如果,与其%阶导数,怕分担三个判别的复数,则,三,.以上结果是在函数与其导数具有多个公共值的条件下获得的。本章主要在函数与其导数

28、仅有一个公共值的条件下研究唯一性问题,回答了提出的问题。§.关于?问题年,和研究了函数与其两个导数具有一个公共值时的唯一性问题,证明了如下定理。定理.】设,是非常数整函数 是有穷复数。如果,和,以为公共值,并且当时,” ,则三和,“定理.”设,是非常数亚纯函数,是有穷复数。如果,以为公共值,则,三.年,钟华梁推广了定理 .证明了如下结果当时即为定理的结果。定理.【设,是非常数整函数,是有穷复数,是正整数。如果,和,以为公共值,并且当时,“,“则三,?.年,仪洪勋和杨重骏教授提出了如下问题“设,是非常数亚纯函数,是有穷复数,与?问题【是两个不同时为奇数或偶数的正整数。如果,和,以为公共

29、值。是否必有三,“年,作者在文献中回答了?问题。设和是满足的正整数,又设是满足?的常数。置扎, ,一则,?,及,“以为公共值,但是,?.此例说明对?问题的回答一般是否定的。如果我们要得到?问题的肯定回答,我们必须对函数,或者对正整数札和附加适当的条件。注意到上述例子中的函数,一?具有性质,我们获得了如下定理。定理.设,是非常数整函数,是有穷复数,扎和是正整数。如果,?,和,”以为公共值,并且,则三,?.证明:假设,“,?.记北,等掣则由条件可知西是整函数,并且满足,咖,.由于一,一一,一,此 一。条与 阵叭厂,从而,/, 相矛盾。于是必有,“三,通过积分我们可求得其中尸。是多项式。如果。,则?

30、三:三】、关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题,我们有于是,/,此又与条件,矛盾。因此三,”?很显然,和,“以为公共值,利用和上面完全相同的方法得证。我们可以得到,?.定理.年,我们对有穷级整函数推广了定理 .同时在的条件下,肯定回答了仪洪勋和杨重骏教授提出的问题。证明了如下结果。定理.【】设,是非常数整函数,其级为有穷,是有穷复数,是正整数。如果,、,“以为公共值,“和,以为公共值,则,三,.推论.设,是非常数整函数,其级为有穷,是有穷复数,是正整数。如果,“以及,凡以为公共值,则,兰证明: 我们仅给出定理的证明,推论的证明是明显的。由于,是有穷级整函数,且 “和“以为公共值,利用已证明的猜想

31、定理.,我们有,“一,?一,其中为非零常数。根据定理的条件我们知道不可能是多项武。记兰,?,则的解,从而我们可求得.。兰,“,其中和为常数。对. 式求积分,我们又得七,这里是一次数不超过的多项式。于是从 .式一,“一“一.关于?问题及其相关研究注意到。,知道一。必有无穷多个零点。利用,?,以及,以为公共值,容易看出函数 一,一亦必有无穷多个零点。但从和 ,我们有一一,一“?这意味着“?三,从而必为一常数。记,则从式,。晏扩,从而和,“。“ ,”。 .由于,?,以及,”以。为公共值,从 .和.式我们可推得.得证。及因此从便得,于是,定理注: 对有穷级整函数、定理.推广了?的定理。如果把定理中的“

32、”换为“”,则容易推出,三,其中为常数。条件。为了定理证明的需要,我们首先给出几个引理。引理.设,是非常数整函数,是有穷非零复数,凡为正整数。如果,”以及,“ 以为公共值,且下列条件之一成立:,“一“一?,”一,一,?,则,三,证明:有条件可知,必满足下列线性微分方程,”。关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题的及引理其中,和是常数。从而,必为有穷级整函数、根据推论得证。条件便得,引理引理.设是非常数整函数为正整数。如果,”,?,且,“一,一,产“,一,这里。和口是非常数整函数则丁,。丁.卢,证明从引理的条件可知,“及,“以为公共值。记,一,?一,?,”一,?一,则和是整函数且丁,根据.第二基本定

33、理,我们有日 卜 日十盯 吣/一击印一司三鼽汪意到。/一及“,我化得到和,。, .,引理 .得证。引理.设和卢。是非常数整函数,是正整数。如果是整函数并且满足?:“¨一一:.关于、问题及其相关研究则一 十一.一日其中。”一&,是的次微分多项式。证明:由于“一:和”¨一卢对第一个方程求导并结合第二个方程,我们有:扩记“.口一“一血则且“七、一这说护:理 对知成立。在我:;理结二寸成立,即下式成立,“,”十。一日一一?.”一十则求导碍“】“。一“一。一。”峨十卜日。一旧。一?由于的,次微分多项式易 的导数仍然是的,芝次微分多项式这里我们用巧表示的次微分多项式但每次出现未

34、必完全相同,我们有:“。”一。一一”日一?日“风风一上?“一日?关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题根据数学归纳法原理,引理 得证。引理.【】设:是非常数亚纯函数,是正整数。记。“一?,其中和,一,是满足,?,的亚纯函数。则,.利用上述引理,我们可以证明如下定理。定理.脚设,是非常数整函数,是有穷非零复数,为正整数。如果,/十以及,“以。为公共值,则/证明:不失一般性,我们假设以为公。.等卅和州,一坐,其中和口是整函数。如果,卢和卢中之一为常数,则有引理.可推出三,此时定理成立。现假设&.和一卢均不为常数。由 及引理. 可知,。丁,.,.我们有置一则从:.“一.关于问题及其相关研究根据引理 ,我们得到“”%一巩十巩.一】“其中。,一。一及坞是的次微分多项武。从及上述方程可得拈“些塑坠生字竺螋.如果。一。一“一日“一则从和 ,我们有丁,冬丁,十丁,丁,这是不可能的。如果。一一一兰则从及马和的定义可知三“?,。口一。“十口一。“一口。“一.?, 其中., ?,是卢,。,及导数的多项式。如果存在,。中一测度为无穷的值集,.使得丁,。,。,则从 ,我们有,。,.了,“,关于亚纯函数唯一性理论中的几个问题这是不可