整式综合提高

1、暑假专题整式综合提高【同步教育信息】一. 本周教学内容：整式综合提高1. 认真思考运算性质、法则、公式的形成过程，做到深刻理解，切实掌握.  2. 在解题实践中逐步学习运用数学思想方法. 【知识掌握】【知识点精析】一、认真思考运算性质、法则、公式的形成过程，做到深刻理解，切实掌握.    例如多项式乘以多项式的法则，从几何上求具体矩形面积入手；再从代数上运用代换思想转化为多项式乘以多项式，得到相同的结果.这样，在计算时，就会掌握“有序”、“不重”、“不偏”.    与上面法则直接有关的就是完全平方公式；利用多项式乘

2、以多项式的乘法法则，结合几何模型，在理解、记忆的基础上就能导出两数差的平方公式.最后达到对公式要会“三用”：“顺用”（展开）、“逆用”（把二次三项式写成完全平方式）和“变用”（配成完全平方）. 二、在解题实践中逐步学习运用数学思想方法.  1. 转化思想    转化就是把不熟悉的问题化为熟悉的问题，把不规范的问题化为规范的问题，把复杂问题化为简单问题.例如，多项式除以单项式可转化为单项式除以单项式，单项式除以单项式可转化为同底数幂的除法；在因式分解中，分组分解法就是为了把问题转化为用提公因式法、公式法或十字相乘法.  

3、60; 换元法是转化的一条途径，也是转化的一种思想.例如，要能运用换元的思想把一个式子看作一个字母，从而能够广泛地应用因式分解方法解决问题；要能够把一个数看作一个字母，以便能应用乘法公式或因式分解的方法快速、简便地解决问题.总之，掌握这种思想，能扩大公式、法则的运用范围，以便灵活运用它们解决问题.    恒等变形也是转化的一种方法.恒等变形是在数学解题中把一种数学对象“恒等”地变成所需要的形式，例如，去括号、添括号、整式加减法、整式乘除法、因式分解、配方等都是恒等变形.恒等变形的作用一是化简，二是定向变形.恒等变形也是一种重要的数学能力，必须在解题实践中，通过一定

4、的训练、总结，才能达到熟练和敏锐的程度. 【解题方法指导】  例1. 求值：（1）已知：，求的值.（2）已知：，求的值.分析：本题没有给出已知字母的值，应先将原式变形，再回过头来看已知的关系式应如何变形.解：（1）由已知，得原式（2）原式         而由已知，得原式    点评：本例两个小题都是在给出条件的情况下求代数式的值的问题.但是两个小题的难度是逐渐加大的.第（1）题考查综合观察和分析的能力：把所给已知条件（整式）变形后，得到一个较简单的整式，然后再把原

5、式变形“挂靠”到已知的整式.第（2）题则是既考查综合观察和分析能力，又考查恒等变形的能力：首先应敏锐地看到已知条件虽然x、y、z各自孤立，但都与a有联系，消去a就建立了x、y、z的两两差的关系；由此启发把原式变形成x、y、z两两差的代数式，加上观察原式的结构，采用“乘以2又除以2”的特殊手法，将原式进行配方（注意：这是一个重要的手段！），也是有目的地化简，立即求得原式的值.建议同学们仔细体会这两个小题的结构特点、解题方法，因为这些方法在将来解题时很有用处. 【考点突破】【考点指要】    整式的概念和运算、乘法公式、因式分解在中考说明中是C级知识点，它常

6、与分式、根式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，大约占有48分左右.解决这类问题需熟练掌握整式的概念和运算法则，熟练掌握乘法公式，明确因式分解的概念，并能灵活本讲知识解决有关问题. 【典型例题分析】  例1. （2006年江苏省中考题）已知：，其中a>1.（1）求证：；（2）试比较A、B、C三者之间的大小关系，并说明理由.解：（1）（2分）.（4分）（2）          ，.，即A>C.     &

7、#160;       （6分）     ，.即C>B.                 （8分）由，得.           （9分）   例2. （2006年安徽省中考题）老师在黑板上写出有三个算式：，王华接着又写出两个具有同样规

8、律的算式：              （1）请你再写出两个（不同于上面的算式）具有上述规律的算式；（2）用文字写出反映上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性.解：（1）写出两个正确的算式.（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数.（3）证明：设m，n为整数，两个奇数可表示为和，则，当m，n同是奇数或偶数时，一定为偶数，所以一定是8的倍数.当m，n一奇一偶时，则一定为偶数，所以一定是8的倍数.所以，任意两奇数的平方差是8的倍数.说明：规律说成是“两奇数的平方差是4的倍数

9、”，且证明正确，给8分.   例3. （2001年中考题）选择题：下列多项式中，不是完全平方式的是（    ）A.                          B. C.            

10、             D. 分析：完全平方公式展开式的特点是：都是三项式；其中两项是这两个数的平方和；第三项是这两个数乘积的2倍，前面数上加号或减号.显然不是完全平方式.故选B.   例4. （2001年中考题）选择题：多项式分解因式的结果是，则m：n的值是（    ）A.             

11、60;   B.                     C.                 D. 解法1：，取，.故选D.解法2：由，得，比较等式两边同次项的系数，得，即.点评：解法1是抓住完全平方公式的特点：“中间项”是第一、二两数乘

12、积的2倍，即，所以分析出：既然第一数为x，则第二数必然是，即，于是.解法2是把完全平方公式展开，用待定系数法.这两个解法的思考方向是互逆的：前者是“配方”（收拢），后者是“展开”（放开）. 例5. 一个正整数a恰好等于另一个正整数b的平方，则称a为完全平方数，如，36就是一个完全平方数.若，求证：a是一个完全平方数.分析：要证明a是一个完全平方数，只须证明（b是正整数），也就是要证明，由前面例题的“数字用字母代换”方法，可通过设，把数字式子化成关于x的代数式的平方，甚至可以预测要用到配方法.证明：设，则，于是 a是一个完全平方数.   例6. 若实数x满

13、足，则_.       分析：先由已知式求出x的值，再代入原式求值.       解：由，得，.即.x是实数，从而，即.原式.   例7. 求证：31×30×29×28+1是一个完全平方数.       分析：把数字用字母代换，变原数为多项式，运用因式分解或配方法变成完全平方式.       证明：设k=30

14、，则              31×30×29×28+1是一个完全平方数.   例8. （天津市初中生数学竞赛题）选择题：设，则下列各数中一定不是某个自然数的平方的是（    ）A.                   

15、;      B. C.                         D. 分析：A. 当n=2时，C. 当n=3时，D. 当n=3时，选B.点评：因为数学考试的选择题（除去有特别说明的）都是四选一型，即在所给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，所以只需排除不符合要求的选项，就可以确定符合要求的选项.&#

16、160;  例9. 代数式的最小值是多少？当这个代数式取得最小值时，a和b要满足什么条件？       分析：所给代数式可变形为，注意.       解：.       是非负数，       不论a、b取什么有理数，总有.       又如果ab，那么.   

17、;    只有当，即a=b时，/       即取到最小值，最小值为10.       因此，代数式的最小值为10.当这个代数式取得最小值时，a和b要满足的条件是a=b.       代数式的最小值是多少？当这代数式取到最小值时，a和b要满足什么条件？       略解：     

18、;  .       只有当，即a=b时，.       当取到最大值2时，a=b.       因此，当取到最小值时，.【模拟试题】一、选择题：  1. （2006年沈阳市中考题）下列运算中，正确的是（    ）       A.       &#

19、160;              B. C.           D.   2. （2006年呼和浩特市中考题）下列运算中，正确的是（    ）       A.          

20、60;       B. C.                    D.   3. （2002年河北省中考题）在下列计算中，正确的是（    ）       A.         

21、;         B. C.              D.   4. （2001年湖北省武汉市中考题）下列计算中，正确的是（    ）       A.             

22、;     B. C.                    D.  二、填空题：  1. 已知：_.  2. 已知，则_.  3. _.  4. _.  5. （海南省）今年市场上荔枝的价格比去年便宜了5%，去年的价格是每千克m元，则今年的价格是每千克_元. 三、计算题：  1.   2

23、.  四、将下列各式分解因式：  1.   2.  五、解方程： 六、三角形的边长为a、b、c，且满足，判断三角形的形状，并说明理由. 七、求证：四个连续整数的积加上1，一定是一个奇数的平方. 八、考查下列式子，归纳规律并填空._（n1且为整数） 九、用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子多少枚（用含有n的代数式表示） 十、某校师生到天安门广场观看升国旗仪式，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车则可以少租一辆且余30个空座位.

24、60;      （1）求该校到天安门广场观看升国旗仪式的人数.（2）已知45座客车租金为每辆250元，60座客车租金为每辆300元，这次活动同时租用了这两种客车，其中60座客车比45座客车多租一辆，所以租金比单独租用一种客车要省，按这种方案，需要租金多少元？试题答案】一、选择题：  1. D           2. D        3. D  

25、;      4. B二、填空题：  1.                 2.          3.   4.   5. 95%m三、计算题：  1. 原式  2. 设，则       四、1. 原式             2. 原式         五、