函数的单调性与导数的关系-文档资料

1、12通过观察图像，我们可以发现：通过观察图像，我们可以发现： （1） 运动员从起跳到最高点，离水面的高度运动员从起跳到最高点，离水面的高度h随时间随时间t的的增加而增加，即增加而增加，即 是增函数。相应地，是增函数。相应地， （2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度从最高点到入水，运动员离水面的高度h随时间随时间t的的增加而减小，即增加而减小，即 是减函数。相应地，是减函数。相应地， th 0v th t th 0v th t观察：观察：oabtvoabth2( )4.96.510h ttt 3一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：

2、在某个区间（在某个区间（a,b）内，）内，如果如果 ，那么函数，那么函数 在这个区间内单调递增；在这个区间内单调递增；如果如果 ，那么函数，那么函数 在这个区间内单调递减。在这个区间内单调递减。 0fx xfy 0fx xfy （1）oxyxy（2）oxy3xy （3）oxyxy1（4）升华：升华：1、研究函数的单调性时有两种方法：定义法、导数法。、研究函数的单调性时有两种方法：定义法、导数法。2、结论中的区间，即为单调区间。、结论中的区间，即为单调区间。xyo2xy 4例例1 : 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：判断下列函数的单调性，并求出单调区间：3322(1) ( )3 ;(2)

3、( )23121;(3) ( )23;(4) ( )sin,(0, ).f xxxf xxxxf xxxf xxx x3223(1)( )3 ,( )333(1)0.( )3.f xxxfxxxf xxxxR解： 因为所以因此，函数在上单调递增其单调递增区间为（- ，+ ）。53223232(2)( )23121,( )6612.( )0,( )23121;( )0,( )23121.f xxxxfxxxfxf xxxxfxf xxxx因为所以当即x1或x-2时，函数单调递增当即-2x1时，函数单调递减单调递减。时，函数即当单调递增；时，函数即当所以因为32)(1, 0)(32)(1, 0)(

4、).1(222)(, 32)()3(222xxxfxxfxxxfxxfxxxfxxxf6(4)( )sin,(0, ),( )cos10.( )sin(0, ).f xxx xfxxf xxxx 因为所以因此，函数在内单调递减点评：点评： 1、方法：定义法和导数法，优先选择导数法。方法：定义法和导数法，优先选择导数法。2、导数法求单调区间的基本步骤：导数法求单调区间的基本步骤：1）求导函数；）求导函数； 2）解）解 和和 ；3）写出单调区间。）写出单调区间。0)(xf0)(xf3、单调区间不能合并。单调区间不能合并。4、端点有意义时，单调区间为闭区间。端点有意义时，单调区间为闭区间。7例例2：

5、已知导函数：已知导函数 的下列信息：的下列信息：)(xf图像的大致形状。试画出函数时，或当时，或当时，当)(. 0)(1, 4; 0)(1, 4; 0)(41xfxfxxxfxxxfx8解：解：。我们称它为“临界点”这两点比较特殊，时，或当个区间内单调递减；在这两可知时，或当单调递增；在此区间内可知时，当, 0)(1, 4)(, 0)(1, 4)(, 0)(41xfxxxfxfxxxfxfxo 14xy)(xfy oyx14点评：点评：1）数形结合思想、转化思想；）数形结合思想、转化思想； 2）临界点为单调区间的分水岭。）临界点为单调区间的分水岭。9练习：练习：1、函数、函数y=f(x)的图象如图所示，试画出导函数的图象如图所示，试画出导函数 的的图象的大致形状。图象的大致形状。)(xf2、判断下列函数的单调性，并求单调区间。、判断下列函数的单调性，并求单调区间。xxxxfxxxf232)()242)() 1o12345yx10小结：小结：1、函数单调性与其导数的正负关系；、函数单调性与其导数的正负关系；