数学23大冲刺必会考点全部讲义d

1、考点 1 用经典工具计算函数、数列极限题型 1：函数极限计算统计套路：类型 转化 代入关键点：七种未定式转化方法 ：极限计算三步曲 ：极限计算秘籍00通分 - 放分母0或倒代换1 ,00，0对数恒等变形等价抓大头洛必达洛必达注意：整个过程中，常用化简技巧有：有理化，三角函数公式，极限四则运算法则. 记忆：(1) 等价无穷小替换原则：整个函数的乘除因子；(2) 等价无穷小替换公式： x 0 时，-1 : l(1+ x) ；换成“狗 0 ”也成立.(3) 等价无穷小替换进阶：公式2+ o(x 2 )2+ o( x 2)2sin2arcsin x = x +63a(a-1)4+ o(+x + o(

2、x )22cos!20(4) 洛必达法则：大家最爱，一般先化简再处理 或 型极限;0注意：极限式中如果出现变上限函数，一般用洛必达.分年值份科 目2009201020112012201320142015201620172018数一41410410144104数二18101814数三8241414141818182020(5) 抓大头：抓主要，擒贼先擒王先类型： +)再：同一类型比较次数高低，例如(6) 对数恒等变形： u(x)v ( x ) = ev ( x ) ln u ( x ) （幂指函数求极限常用此变形）注：对于1 型极限，常变形为lim u(x)v ( x )1(7) 常用极限： l

3、im= elim v ( x )v ( x ) -1 ，此公式可直接套用.ln x = 0 （结论直接记住用）题目n 1+ sin x -1lim(1)tan xx01+ tan x - 1+ sin xlim(2)x(1- cos x)x0lim sin(3)sin3 xx011-lim(4)sin2 x0ln(1 + t)dtlim(5)x0 ( 3 1 + x3 -1) sin x+14lim(6)x-x2 + sin x1lim( x + ex ) x(7)x0lim (sin x)tan x(8)x0+1lim ( x + 1 + x2 ) x(9)x+ex(10) limx+1 2

4、(1+)xx题型 2：数列极限套路：利用单调有界收敛明极限存在并求极限猜出界与单调性 一般先证有界（方法：数学归纳法、不等式）；再证单调性（方法：n+1 ） 两边取极限，求出极限.xn记忆：(1) 数列xn 单调有界必收敛；数列xn 收敛必有界但不一定单调.(2) 假若 xn+1 = f (xn ) ，当 1时，数列xn 必收敛。特别的，当0 f ( x) 1 时，f (x)明数列xn 收敛.可以用单调有界(分析：因为 xn+1 - xn = f (xn ) - f (xn-1 ) = f (x)(xn - xn-1 ) ，当 f (x) 0 时只能用极限定义证明极限存在)(3) 常用不等式x

5、n 非单调，a1 + a2 +Lan n a a La (i)均值不等式：111an1 2nn+L+a1a2(ii) 绝对值不等式： a - b(iii) 当0 x 0 ， ln(1 +a ba + b；1 ln(1 + 1) 0,nnx 3nn1 ln(1+ 1 ) 1, 收敛1+实质：无穷小比阶，经常和 1dx =比较.xpp 1, 发散分年值 份考点2009201020112012201320142015201620172018数一4410数二4410148104数三441441010原则：同一级别，同敛散；不同级别，大收敛得小收敛；小发散得大发散.(4)函数反常敛散性判别实质：无穷大比

6、阶. p 1, 收敛 p 1, 收敛111bpdx =dx =常和或作比较.(x - a)p 1, 发散pp 1, 发散x0a原则：同一级别，同敛散；不同级别，大收敛得小收敛；小发散得大发散.(5) 正项级数比较判别法实质：无穷小比阶.a 1,1收敛发散1-n=1n-1= p 1,或aq= 常和相比较.pn发散，qn=1 1原则：同一级别，同敛散；不同级别，大收敛得小收敛；小发散得大发散.题目(1) 讨论当 x 0 时，下面哪个无穷小是阶数最高的，并说明理由.(A)1+2x - 3 1 - 3x(B) x - ln(1+ tan x)arcsin x 1- cos t 23x2(D) 0(C)

7、 e- cos 2xdtt(2) 判别下列反常的敛散性2+ sin2 x+10dxx23p ln(sin x)11dxdx2 0 ln x0x(3) 判别下列级数的敛散性2n2 - 3n +1n=13n7 + n2 + 2p3 tan 2nnn=1考点 3 导数的定义统计概念：导数的定义(1)实质：瞬时变化率，几何上表示曲线上某一点处切线的斜率，物理上表示某一时刻的速 率；-(x )f (x + Dx) - f (x )(2) 数学表： f (f (x) - f (x0 ) 存在（(3) f (x) 在 x 处可导 limf (x) 可导说明 y = f (x) 这条曲线是光0x - xxx0

8、0滑的，没有尖点.）记忆f (x0 +W) - f (x0 ) 存在(1) f (x) 在 x 处可导 lim0D口诀：一定一动； W与D 是同阶无穷小； W 可正可负.1ax 0，当a 1 时， f (x) 在 x = 0 处可导；a 2 时， f (x) 在x = 0(2) 例题 f (x) = xsin,x0,x = 0 处一阶导函数连续；a 3 时， f (x) 在 x = 0 处导.不可导点为 x = x0 满足： f (x0 ) = 0且f (x0 ) 0(3) f (x) 可导,则f (x)在 x = x0 处连续但不可导， g(x) 在 x = x0 处可导，f (x)(4)f

9、 (x) g(x) 在 x = x0 处可导 g(x0 ) = 0 .则f (x) g(x) 不可导点为 x = x0 满足： f (x0 ) = 0，f (x0 ) 0 且 g(x0 ) 0 .(5) 可导 连续，可导 可微分年值份考点2009201020112012201320142015201620172018数一44810844数二812412128128423数三412228题目51x sin, x 0，则3(1) 设函数 f (x) =f (x) 在 x = 0 处(x)0,x = 0(B)连续但不可导 (D)可导且导函数连续(A)不连续(C)可导但导数不连续(2) 设 f (0)

10、 = 0 ，则 f (x) 在点 x = 0 处可导的充要条件为()f (1- cos h)f (1- eh )(A) lim(B) lim存在存在2hhh0h0f (h - sin h)存在f (2h) - f (h)存在(C) lim(D) limh2hh0h0在(- 1 , ) 区间上不可导点的个数是(3- 2) sin 2px(3) 函数 f ()2 2(A)3(B)2(C)1(D)0题型 高阶导数的计算方法：归纳法，常见函数的 n 阶导数公式、分解法、记忆：(1)常用函数 n 阶导数公式(eax+b )(n ) = aneax+b公式、级数与幂级数;pnsin(ax + b)= a

11、sin(ax + b +)(n)n2pncos(ax + b)= a cos(ax + b +)(n)n2(-1)n ann!1()=ax + b(ax + b)n+1(n)1ln(ax + b)(n) = (-1)n -1 an (n -1)!(ax + b)nn公式：u(x)v(x)(n) =C u(x)v(x)k (k )(n-k )(2)nk =0f (x) = a (x - xn=0)nf (x)(3)展开成幂 级 数， 展 开成级 数0(n) n ,则 f (n) (x ) = n!a .f (00nn=0题目(1) 设函数 f (x) 有任意阶导数且 f (x) = f 2 (x

12、) ，则 f (n) (x) =. ( n 2 )1(2) 设 y =， a, b, c 是三个互不相等的，求 y( n) .(x - a)(x - b)(x - c) ，求 f (n) (0)(n 3) .(3) 设 f (考点 4 三大逻辑证明题题型 1：中值套路明介值定理：f (x) = A没有求导零点定理：g(x) = h(x)直接法：找点相等单中值(x)间接法：构造函数(定理)看所证式子(xh)中值定理有求导双中值(x,h) 高阶导数：中值定理(以上)记忆(1) 介值定理：xa, b，所证式子可以写成 f (x) = A零点定理： x(a, b) ，一般所证式子为 g(x) = h(

13、x)a, b上连续定理： f (x) = a, b)上可导 存在x (a, b), 使得f (x) = 0(2) f (a) = f (b)直接证明：证明 f (x) = 0 ，找两点使得 f (x) 相等；证明 f (x) = 0 ，找三个点使 f (x) 相等或者两个点使 f (x) 相等.分年值份考点2009201020112012201320142015201620172018数一1110101014数二41014数三111010104f (x)e p ( x )dx间接证明：证明 f (x) + p(x) f (x) = 0, 令F (x) =中值定理处理. f (x) 在a, b

14、上连续，则存在xa, b，(3) 条件中有式，一般会用b使得f (x)dx = f (x)(b - a) ,只是闭区间，开区间使用要证明.aa, b上连续且g (x) 0, x (a, b) 存在x (a, b) ，中值定理： f (x)在(4)(a, b)上可导f (b) - f (a)f (x)=(参数形式下定理) .使得g(b) - g(a)g (x)中值定理找中间点；中值定理找函数g(x), h(x) .(5) f (x) 在 x0 的某领域U (x0 ) 内具有 n +1阶导数，则对任意 x0 U (x0 ) ，有：(n)f (x )f (x) = f (x ) + f () +0

15、(- x ) n +000f (n+1) (x)(n +1)!题目f (x) 在上连续，且 g(x) 0 ，证明：存在一点xa ， b，使a ， b(1)设bbf (x)g(x)dx = f (x)g(x)dx .aaf (x) 在 上连续，在（0,3）内可导，且f (0) + f (1) + f (2) = 3 ，f (3) = 1 .0 ，3(2) 设函数试证：存在x（0,3），使 f (x) = 0 .f (x) 在闭区间 上连续，在（0,1）内可导，且满足10 ，1(3) 设2f (1) = 3ef (x)dx ,1- x30证明：存在x(0,1) ，使得 f (x) = 2xf (x

16、) .f (x) 在 上连续， 在 (a,b) 上可导且f (a) f (b) . 证明： 存在a ， b(4) 设函数f (x) = f (h) .x,h (a, b) ，使得2xb + a(5) 已知函数 f(x)在0，1上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I）存在x (0,1), 使得 f (x) = 1 -x；（II）存在两个不同的点h,z (0,1) ，使得 f (h) f (z) = 1.f (x) 在 上导，且 f (0) = f (0) = f (1) = 0 ， f (1) = 1 .0 ，1(6) 设函数求证：存在x(0,1) ，使f (x) 4题型 2：不等式的证明套路：(1) 函数不等式：构造函数(化简) 带端点(猜属于何种类型) 通过单调性、凹凸性说明出现f (b) - f (a), 考虑中值定理不等式(2)变易法-变为函数不等式，回到(1)变易法-变成函数不等式，回到(1)不等式-不等式(3)记忆：a + ba 2 + b2ab (a,b 0) ；均值不等式：22绝对值不等式： a - b当0 x 0 时，;-不等式：(a b + a b +L+ a b ) 2 (a 2 + a 2 +L+ a 2)(b 2 + b 2 +L+ b2)1 12 2n n12n12n2bbb( f (x) g(x)dx) f (