复合函数与隐函数的偏导数-文档资料

1、1复合函数的求导法则复合函数的求导法则第四节第四节 多元复合函数的多元复合函数的 求导法则求导法则第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用2一、一、复合函数的求导复合函数的求导法则法则(链导法则链导法则)证证),()(tttu 则则);()(tttv ，获获得得增增量量设设tt 1. 中间变量为中间变量为一元函数一元函数)(),(),(tvtuvufz 的情形的情形.定理定理( )( ),utvtt如果函数及都在点 可微),(),(vuvufz在在对对应应点点函函数数 ,)(),(可导可导在对应点在对应点则复合函数则复合函数tttfz 且且其导数可用下列公式计算其导数可用下列

2、公式计算: tzdd多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则也可微也可微, tuuzdd.ddtvvz 3 z tz,ddtutu ,ddtvtv 可微可微)( ovBuAz 由于函数由于函数),(),(vuvufz在点在点 vvzuuz,21vu ,0, 0时时当当 vu0, 021 tvvztuuztvtu 21 ,0时时当当 t0, 0 vu tzt0lim多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 tuuzddtvvzdd tzdd4复合函数的复合函数的中间变量多于两个中间变量多于两个的情况的情况.定理推广定理推广 tzdduvwtz导数导数tzdd变量树图变量树图 三个中间变量

3、三个中间变量),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu uz vz tudd wz tvdd twdd 称为称为多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则5项数项数问问:每一项每一项中间变量中间变量函数对函数对中间变量中间变量的偏导数的偏导数该中间变量对其该中间变量对其指定自变量指定自变量的偏导数的偏导数(或导数或导数).的个数的个数. 函数对某自变量的偏导数之结构函数对某自变量的偏导数之结构),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 tzdduz vz tudd wz tvdd twdd 6例例 设设 求求xydd这

4、是幂指函数的导数这是幂指函数的导数,但用但用全导数公式全导数公式较简便较简便.法二法二 xyddyuvx,)(cossin xxy 解解 法一法一,cos xu 令令)(cosln)sin(1xuuxvuvv tancosln)(cos2sin1xxxx vuy 则则可用可用取对数求导法取对数求导法计算计算.,sin xv xuuyddxvvydd 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则7多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则),(),(),(yxvyxuvufz ).,(),(yxyxfz 复合函数为复合函数为,xvvzxuuzxz ),(),(),(yxyxvyxu都都在在点点

5、及及如如果果 ,的的偏偏导导数数和和具具有有对对yx在对在对且函数且函数),(vufz ),(vu应应点点则复合函数则复合函数),(),(yxyxfz 的的两两个个在在对对应应点点),(yx偏导数存在偏导数存在, 且可用下列公式计算且可用下列公式计算 两个中间变量两个中间变量 两个自变量两个自变量可微可微,2.的情形的情形.zzuzvyuyv y 8uvxzy xz uzxu vzxv yz uzyu vzyv 变量树图变量树图uv多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则 ( , ),( , )zfx yx y9解解 xz uzxu vzxv 1cossin veyveuu).cos()s

6、in(yxyxyexy yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cos()sin(yxyxxexy 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则例例 ,sinyxvxyuvezu 设设.yzxz 和和求求10中间变量多于两个的情形中间变量多于两个的情形 xz yz类似地再推广类似地再推广,),(),(),(yxwyxvyxu 设设,),(的偏导数的偏导数和和处具有对处具有对都在点都在点yxyx复合函数复合函数),(),(),(yxyxyxfz 在对应点在对应点),(yx的两个偏导数存在的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算且可用下列公式计算:三个中间变量两个自变量三个中间变

7、量两个自变量vuwzwvuyx xuuz xvvzxwwz yuuz yvvzywwz 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则11例例 设设,1222wvuz xz 解解)()(23222wyvxuxwyx uwvuuz2)(2123222 xxu2 求求,2222yxvyxu .2xyw xwwzxvvzxuuzxz 多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则12只有一个中间变量只有一个中间变量),(),(yxuyxufz 其中其中即即,),(yxyxfz xz yz两者的区别两者的区别区别类似区别类似多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则3.的情形的情形.xwwzxvvzxu

8、uzxz 把复合函数把复合函数,),(yxyxfz 中的中的y看作不变而对看作不变而对x的偏导数的偏导数),(yxufz 把把中的中的u及及y看作不变看作不变而对而对x的偏导数的偏导数ywwzyvvzyuuzyz xuufuv w xv xw yv. 1, 1, 0, 0 yw,xf yuuf.yf 13,xz yz 解解xfxuufxz yfyuufyz zuxyxy变量树图变量树图)sin(yxeu )sin(yxeu 例例多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则y )cos(yxeu x sin(),uzexyuxy而求cos()uexy14 已知已知f(t)可微可微,证明证明 满足

9、方程满足方程)(22yxfyz .112yzyzyxzx 提示提示)(tfyz t, y 为中间变量为中间变量, x, y 为自变量为自变量.,)()(22tftfxyxz .)()(2)(122tftfytfyz 引入中间变量引入中间变量,则则,22yxt 令令多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则15多元复合函数求导法则多元复合函数求导法则 (链导法则链导法则)多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则三、小结三、小结(大体分三种情况大体分三种情况)求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导16一个方程的情形一个方程的情形第五节第五节 隐函数的求导

10、公式隐函数的求导公式第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用17一、一个方程的情形一、一个方程的情形 在一元函数微分学中在一元函数微分学中, 现在利用复合函数的现在利用复合函数的链导法链导法给出隐函数给出隐函数(1)0),(. 1 yxF)1(0),( yxF的求导法的求导法.并指出并指出:曾介绍过隐函数曾介绍过隐函数的求导公式的求导公式,隐函数存在的一个充分条件隐函数存在的一个充分条件. .隐函数的求导公式隐函数的求导公式18隐函数存在定理隐函数存在定理1 1),(yxF),(00yxP隐函数的求导公式隐函数的求导公式设二元函数设二元函数的某一邻域内满足的某一邻域内满足:在

11、点在点, 0),(00 yxFy则方程则方程; 0),(00 yxF),(xfy ),(00 xfy 的某一邻域内的某一邻域内并有并有),(),(ddyxFyxFxyyx (1) 具有连续偏导数具有连续偏导数;0),( yxF),(00yxP它满足条件它满足条件在点在点隐函数的求导公式隐函数的求导公式(2) (3) 恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(证明从略证明从略)仅推导公式仅推导公式.将恒等式将恒等式两边关于两边关于x求导求导,),(xF由由全导数公式全导数公式,得得)(xf0 19连续，连续，由于由于),(yxFy，且且0),(00 yxF

12、y, 0),( yxFy),(),(ddyxFyxFxyyx 或简写或简写:.ddyxFFxy ),(00yx于是得于是得隐函数的求导公式隐函数的求导公式所以存在所以存在的一个邻域的一个邻域, 在这个邻域内在这个邻域内),(yxFx),(yxFy xydd 0 ),(xF)(xf0 20如如, , 方程方程, 0 yxeexy记记,),(yxeexyyxF ; 0)0 , 0( F(1)xxeyyxF ),(yyexyxF ),(与与)0 , 0(在在点点的邻域内连续的邻域内连续;, 01)0 , 0( yF所以方程在点所以方程在点)0, 0(附近确定一个有连续导数、附近确定一个有连续导数、且

13、且yxFFxy dd.yxexey 隐函数的求导公式隐函数的求导公式隐函数存在定理隐函数存在定理1 1的隐函数的隐函数00 yx时时当当),(xfy 则则(2)(3)21解解 令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFxy dd.xyyx 隐函数的求导公式隐函数的求导公式例例.dd,arctanln22xyxyyx求求已已知知 22),(zyxF),(000zyxP, 0),(000 zyxFz则方程则方程; 0),(000 zyxF),(yxfz ),(000yxfz 内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的内恒能

14、唯一确定一个连续且具有连续偏导数的并有并有具有连续偏导数具有连续偏导数;若三元函数若三元函数的某邻域内的某邻域内0),( zyxF),(000zyx函数函数它满足条件它满足条件在点在点在点在点0),( zyxF2. 由三元方程由三元方程确定二元隐函数确定二元隐函数),(yxfz .,yzxz 求求隐函数存在定理隐函数存在定理2 2隐函数的求导公式隐函数的求导公式的某一邻域的某一邻域,zxFFxz .zyFFyz (1)(2)(3)满足满足:23隐函数的求导公式隐函数的求导公式(证明从略证明从略)仅推导公式仅推导公式.将恒等式将恒等式两边分别关于两边分别关于x和和y求导求导,),(yxF应用应用

15、复合函数求导复合函数求导法法得得),(yxf0 xFzF xz , 0 ,zxFFxz .zyFFyz ),(yxfz 是方程是方程0),( zyxF所确定的隐所确定的隐设设函数函数, ,则则yFzF yz . 0 zF，且且0),(000 zyxFz, 0 zF),(000zyx点点所以存在所以存在的一个邻域的一个邻域,在这个邻域内在这个邻域内因为因为连续连续,于是得于是得24例例 , 1222222 czbyax已已知知.,2yxzyzxz 及及求求解解 ),(zyxF1222222 czbyax则则,22axFx ,22byFy 22czFz xzzaxc22 yzzbyc22 令令)0

16、( z,zxFFxz zyFFyz 看作是看作是将将时时、在求在求),(,zyxFFFFzyx的的zyx,.三个自变量的函数三个自变量的函数隐函数的求导公式隐函数的求导公式25将将 xzzaxc22 yxz222axc 22222)(zazbycxc 3224zbaxyc yzzbyc22 注注再一次对再一次对y求偏导数求偏导数,得得对复合函数求高阶偏导数时对复合函数求高阶偏导数时,需注意需注意:导函数仍是复合函数导函数仍是复合函数.故对导函数再求偏导数时故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法仍需用复合函数求导的方法.2z 隐函数的求导公式隐函数的求导公式zy26确确定定了了隐隐函函

17、数数设设方方程程1 zxyzxy.,2222yzxz 试求试求分析分析在某函数在某函数(或方程或方程)表达式中表达式中,自变量自变量互换后互换后,仍是原来的函数仍是原来的函数 (或方程或方程),称函数称函数(或方程或方程)用对称性可简化计算用对称性可简化计算.解解 将方程两边对将方程两边对x求偏导求偏导,得得关于自变量对称关于自变量对称,yyxzyxz ),(yxzz 将任意两个将任意两个y xz z x xz 0 隐函数的求导公式隐函数的求导公式27再将上式两边对再将上式两边对x求偏导求偏导,yxzyxz 得得 22xz2)()(2yxzy 由由x, y的对称性的对称性知知, 22yz2)(

18、)(2yxzx 确确定定了了隐隐函函数数设设方方程程1 zxyzxy.,2222yzxz 试求试求),(yxzz 2)(yx xz )(yx )(zy 1 隐函数的求导公式隐函数的求导公式28隐函数的求导公式隐函数的求导公式2002年考研数学年考研数学(四四),7分分),(zyxfu 设设函函数数有连续偏导数有连续偏导数,且且.d,),(uzeyexeyxzzzyx求求所确定所确定由方程由方程 解解 法一法一,),(zyxzeyexezyxF 设设则则用公式用公式,11zxzxezxFFxz .11zyzyezyFFyz ,)1(xxexF ,)1(yyeyF .)1(zzezF 故故而而,11zxzxzxezxffxzffxu ,11zyzyzyezyffyzffyu 所以所以yyuxxuuddd 29隐函数的求导公式隐函数的求导公式且且),(zyxfu 设设函函数数有