邹方剑：理解公式学习的必要性

1、余杭区初中学科骨干高级研修班结业论文理解公式学习的必要性姓 名：邹方剑导 师：杨玉东、周丁丁、黄伟胜学 科：初中数学学 校：余杭区运河镇博陆中学答 辩：2008年9月 余杭摘要数学公式是用符号（字母、运算符号）表示的量与量之间关系（定律或定理）的式子，当前，初中代数公式的教学一个普遍存在的问题是，以书本知识为本位，学生死记数学定理、公式，把主要精力放在公式应用的反复操练上，给学生的感觉学习数学公式就是“记公式、用公式”，至于为什么要学习数学公式则很茫然，逐渐丧失了学习的积极性。本文以浙教版七年级下册平方差公式为载体，采用课堂观察法、录像分析法、访谈法探索了如何进行公式教学，得出了让学生理解学习

2、公式的必要性对公式教学是很有必要的。关键词 平方差公式，必要性，反思，改进1课例研究过程1.1第一次教学实践1.1.1课堂引入T：昨天下班后在我们小区门口看到一个人在卖西瓜，我首先问多少钱一斤，他说4.1元每斤，我想怎么这么贵，于是就挑了一个稍轻一点的，卖水果的一称3.9斤，你们说我应付多少钱？（停顿一会）哪个同学能告诉我应付多少钱？S：学生有些在拿出计算器计算，有的在列算式T：（停顿半分钟后）那个卖西瓜的也和你们一样拿出计算器，我对他说别算了我应付15.99元，同学们你们想知道我为什么算得这样快吗？S：想！.T：同学们都想知道，实际上很简单，学完这节课后我保证你们绝大多数同学都会算这个问题，

3、很快能把这个答案算出来.1.1.2模型建立T：哦对了，你们上节课学过了什么知识？S：多项式的乘法！T：哦，学了多项式的乘法，那你们能不能帮我写两个两项式乘以两项式的例子，并把过程写在课堂练习本上.T：写好的请举手，好的，现在我想知道你们在计算之后的结果有几项？S：三项、四项、两项T：哦，有这么多不同的结果，现在我统计一下结果有四项的举手！有三项的举手，有两项的举手！对于这几种不同的类型你们比较关注哪一种情况？S：结果是两项（学生齐答）-1-T：你们为什么喜欢两项？S：结果简单！T：好那我们就来研究结果是两项的，下面我们请几位同学上来写出两项式乘以两项式结果只有两项的，在下面的同学也别闲着，你们

4、在下面写.T：对于刚才几位同学的板书，我们只取他们的题目与结果，整理出如下的几个式子：（1） (x+3)(x3)=x232 （2） (1+2a)(12a)=12（2a）2 （3） (x+4y)(x4y)=x2（4y）2 （4） (y+5Z)(y5Z)=y2（5Z）2 这几个等式就是平方差公式，你能规纳出平方差公式左右两边的特征吗？T：能不能用字母来表示平方差公式？S：（a+b）（a-b）=a2-b2T：能不能用一句话来叙述平方差公式？S：两数的和乘以两数的平方差等于两数的平方差T：按照我们这个概念，我想（a+b）（x+y）= a2-b2，对吗？S：不对T：为什么不对，这不是两数之和乘以两数之差

5、等于两数的平方差吗？S：它们是相同的（学生急着喊）T：既然是这样我们数学是讲究严密的，能不能加个字？S：这T：好的，两数之和乘以这两数的平方差等于这两数的平方差.1.1.3 公式的图示证明T：计算两个图形的阴影部分面积，你发现了什么规律？aaaaabb2a-b图2图1-b-2-S：第一个图形的面积是（a+b）（a-b），第二个图形的面积是a2-b2，这两个图形可以通过移动转化，如把第一个图形的右边一个长方形移动左边那个图形的下面便可得到第二个图形，所以从这个变化过程中我得到了：（a+b）（a-b）=a2-b2T：很好，这个图形的变换就验证了平方差公式的正确性，也就是平方差公式的几何意义。1.1

6、.4 公式的应用1.1.4.1例题：你能用平方差公式直接计算下列各式吗？（y+3)(y-3) (1-5b)(1+5b) (a+3b)(a-3b) (-x+2)(-x-2)1.1.4.2练习：计算（3x+5y）(3x-5y) (1/2b+a)(-1/2b+a) (x+y)(x-2y)-(-y+2x)(2x+y) 918.9 1.2 第一次教学反思与建议1.2.1暴露的问题1.2.1.1两个情境有必要吗？课堂引入的情境与模型建立的情境过渡不自然，有点牵强！1.2.1.2有学习过程但耗时过多本节课模型的建立耗时22分钟，占整节课的22/40，导致学生从应用的角度理解公式的时间较少。1.2.1.3平方

7、差公式的美在哪？数学的美体现在结构美，本节课只从图形的角度证明了平方差公式的结构美，但没有从代数的角度逻辑证明平方差公式。1.2.1.4平方差公式简化的作用没有得到更好的体现公式的最大的作用就是能简化运算，但本节课的例题与练习设计在这方面体现得不够，学生对平方差公式的作用体验得不够。1.2.2改进建议1.2.2.1合理安排用好情境合理选择情境，使情境能让学生体验到学习平方差公式的必要性，可以只用其中一个情境。1.2.2.2理解平方差公式的美增加平方差公式的逻辑证明步骤，让学生体验到公式的美，理解平方差公-3-式为什么只有两项。1.2.2.3要帮助学生理解平方差公式的结构特征平方差公式的结构对平

8、方差公式的教学很重要，在教学中要创造条件，帮助学生理解并熟记平方差公式的结构特征。1.2.2.4合理安排好时间，使各环节时间更加合理；1.2.2.5设计好公式的应用，让学生体验到平方差公式的真正作用。1.3第二次教学实践：相比第一次教学实践有三点变化，其余相同。1.3.1模型建立T：昨天下班后在我们小区门口看到一个人在卖西瓜，我首先问多少钱一斤，他说4.1元每斤，我想怎么这么贵，于是就挑了一个稍轻一点的，卖水果的一称3.9斤，你们说我应付多少钱？（停顿一会）哪个同学能告诉我应付多少钱？学生有些在拿出计算器计算，有的在列算式T：（停顿半分钟后）谁能告诉我我应付多少钱？S：15.99学生齐答.T：

9、你是用什么方法算的？S：计算器列算式T：用计算器算的举手，用列算式算的举手，哦还有的不是用这两种方法算的，你来说说看你是怎样算的？S：我是用（4+0.1）（4-0.1）算的T：结果是多少?.S：42-0.12=15.99T：不错，但是我有点纳闷，第一步到第二步是怎么来的？S：乘法公式T：你能不能把这个乘法公式写出来？（学生重新板演补充过程）T：按他的想法，你会算9.18.9、10.19.9各等于多少？S：9.18.9=92- 0. 12=81-0.01=80.99，10.19.9=102- 0. 12=100-0.01=99.99T：看到上面这些算式有些同学可能会想，是不是所有类似这样的算式都

10、成立呢？S：是T：那我们能不能得出一个什么猜想？S：（a+b）(a-b)=a2-b2-4-1.3.2公式的证明T：我们猜想（a+b）(a-b)=a2-b2，你是怎么得出这个结论的？S：利用多项式的乘法计算出来的。T：怎样算你说我来写（板书平方差公式的证明过程（a+b）(a-b)= a2-ab+ab-b2=a2-b2）很好，这就是我们这节课我们要研究的平方差公式（板书课题），你能用一句话来概括平方差公式吗？S：两数之和乘以这两数平方差等于这两数的平方差。T：计算两个图形的阴影部分面积，你发现了什么规律？aaaaabb2a-b图3图4-bS：第一个图形的面积是（a+b）（a-b），第二个图形的面积

11、是a2-b2，这两个图形可以通过移动转化，如把第一个图形的右边一个长方形移动左边那个图形的下面便可得到第二个图形，所以从这个变化过程中我得到了：（a+b）（a-b）=a2-b2T：很好，这个图形的变换就验证了平方差公式的正确性，也就是平方差公式的几何意义。1.3.3公式的应用1.3.3.1例题：完成表格（a+b)(a-b)aba2-b2最后结果（y+3)(y-3)(a+3b)(a-3b)(1-5b)(1+5b)(-x+2)(-x-2)1.3.3.2练习：计算-5-（3x+5y）(3x-5y) (x+y)(x-2y)-(-y+2x)(2x+y)918.9 20072009-200821.3.3.

12、3若 x-y=7，x+y=2，则x2-y2= ？1.4第二次教学反思与建议1.4.1教学反思1.4.1.1帮助学生更进一步理解了平方差公式的结构特征第二次授课通过图示证明、逻辑证明、找a、b的方法帮助学生理解平方差公式的结构结构特征，也体验到平方差公式的结构美。1.4.1.2体现了学习平方差公式的简便运算的作用第二次教学学生进一步体验平方差公式能简便运算，特别是“20072009-20082”与“若 x-y=7,x+y=2,则x2-y2= ？”两题更能体验到平方差公式对运算的简便作用。1.4.2暴露的问题1.4.2.1学习平方差公式的必要性没有得到更好的体现课堂引入的情境与学生所熟悉的情境有点

13、不符，在现实生活中很明显是付16元，没必要付15.99元，这也就体现不出学生要学习平方差公式的必要性。1.4.2.2忽视了学生学习的主动性没有学生主动参与的课堂是不完美的课堂，第二次授课与第一次授课类似，没有让学生主动参与到平方差公式的模型建立中来。1.4.3教学建议1.4.3.1完善引入情境课堂引入的情境是个假情境，与学生所熟悉的情境有点不符，课后访谈中有一生说道，最简单的方法就是16元，没必要付15.99元，体现不出学生要学习平方差公式的必要性，也不能有助于体验平方差公式模型的结构美，所以我们建议把这个假情境换掉，直接换一个既能体现平方差公式的简便作用，又能帮助学生理解平方差公式模型的结构

14、的情境。1.4.3.2让学生主动参与平方差公式模型的建立在教学中要充分发挥学生的主动性，让学生主动参与到平方差公式模型的建立，更能让学生体验学习平方差公式的必要性。1.5第三次教学实践（相比第二次教学实践有一点不同，其余相同，-6-即模型的建立不同）T：我们来个比赛好不好。S：好T（呈现式子：(4+0.1)(4-0.1)、(6+0.2)(6-0.2)、（12+0.3）（12-0.3）：看谁算得又对又快！全部算好的就举手.（教师在讲台上做，学生在下面做，10秒钟不到，老师说我已做好了，学生发出一声惊呼）T：我已经是第一了，看谁是第二！（1分钟后，有一个学生做好了，稍后时间其余学生也做好了，教师把

15、答案写在黑板上）T：你们的答案与我一样吗？S：一样！T：有些同学可能会说那是你老师上课前就算好的，所以比我们快，为了检验老师是否真的算得快，下面请你们出题然后我们一起做，看谁做得快，但是出的题样子一定要和我的一样。（学生很兴奋，有几个学生出了以下几个题：(3+0.1)(3-0.1)、(5+0.3)(5-0.3)、(10+3)(10-3)、(50+4)(50-4)等题，但都是教师算得快）T：你知道教师师为什么算得这么快吗？因为老师发现了其中有规律，你能找出这个规律吗？（经过师生交流后，学生找出了(4+0.1)(4-0.1)=42-0.12、(6+0.2)(6-0.2) =62-0.22、(3+0

16、.1)(3-0.1)= 32-0.12、(5+0.3)(5-0.3) =52-0.32、(10+3)(10-3)= 102-32、(50+4)(50-4)= 502-42）T：很好,能用字母表示这个规律吗?S：能，(a+b)(a-b)=a2-b2.T：好，这就是把具体问题抽象成数学问题，谁能用语言来叙述一下。S：两个数的和与这两个数的差的积等于这两数的平方差。1.6第三次教学反思1.6.1成功之处1.6.1.1学生主动参与让学生体会到学习平方差公式的必要性师生出题、师生竞赛的过程中，由于教师计算总是比学生快得多，学生就-7-会产生一种疑惑：老师算得这么快这里面肯定有什么规律！这个规律能得高计算

17、的速度。同时学生的主动参与也激发了学生学习的积极性。1.6.1.2帮助学生理解了平方差公式结构特征在模型的建立过程中，学生举了很多与老师一样的式子，最后又在老师的帮助下找出了它们的规律，学生从(4+0.1)(4-0.1)=42-0.12、(6+0.2)(6-0.2) =62-0.22、(3+0.1)(3-0.1)= 32-0.12、(5+0.3)(5-0.3) =52-0.32、(10+3)(10-3)= 102-32、(50+4)(50-4)= 502-42无形中发现了平方差公式的结构美，同时通过图形证明、逻辑证明了平方差公式的结构美，证明了平方差公式的结果为什么只有两项。1.6.1.3学生

18、体验到平方差公式的简化运算的作用第二次教学学生进一步体验平方差公式能简便运算，特别是“20072009-20082”与“若 x-y=7,x+y=2,则x2-y2= ”两题更能体验到平方差公式对运算的简便作用。1.6.2不足之处：图示证明方法单一平方差公式的图示证明有好几种方法，但本课例中只提供了一种证明方法，这样处理虽然在时间方面得到了很好的把握，但证明的多样性在这里就弱化了。2.我们的收获与启示2.1收获作为乘法公式的起始课，平方差公式教学要让学生体验学习它的必要性、作用和理解它的结构特征，但对于公式教学还需：2.1.1使学生学到研究问题、发现规律的方法，提高学生的创新意识与能力，同时激发学生的成就感。2.1.2有计划地进行数学的