20章轴对称老师讲座

1、几何变换在试题中的运用哈尔滨市第 69 中学校方法：平移、旋转、对称一、平移1、已知矩形 ABCD,AD=9，AB=6.若 G、H、M、N 分别在 AB、CD、AD、BC上，线段 MN 与 GH 交于点 K.若GKM=45°，MN= 3 5 ,求 GH=.MADGHBCN方法：平移 MN 过 A 点，过 P 作 PQAP 的等腰直角三角形 APQMADGQHBCPN2、已知 RtABC,B=90°,BA=BC=6,AB 与 CE 相交于 F,BD+BE=5， CFD=45°，求 CD=.AE45°FCBD1KK45°方法如下：DC5-x45ME

2、45G56-(5-x)=1+x5-xABFx6-x方法：(1+ x)2 +(6 - x)2 = 25x1 = 2或x2 = 3BF = 2或3曾海涛方法：C45°1+xEG45°5-xA6-xxFBx45°K构造斜 AAF2 = FG×CF CG×CF = CE×CKAF2 + CE×CK = FG×CF+ CG×CF= CF(FG+ CG)= CF×CF= CF2 = BF2 + CB22(6 -+ (1+ x) × (6 + x) = x2 + 6x2 - 5x + 6 = 0 x

3、1 = 2, x2 = 3峰方法：CA7-xxFBE'F=5E'6-x5 - (6 -6 - (5 - 6 + x = x - 1) = 6 - x +1 = 7 - xx2 +(7 - x)2 = 25王几何方法：C6-x62EG2x45°xAx+15-xxFBACFAKE2x = 6 + xx +16 2x2 - 5x + 6 = 0x1 = 2,x2 = 3解决完问题后，按照编题的思路再想：如果把 AC 一侧的等腰直角三角形擦去，把 AN平移下来，就可得到此题了。345G45°°7-xEx-13、已知ABC.AB=AC=BD=DE,CD=CE

4、.求D=度.AEDBC方法如下：FA60°260°E60°2DBC可以对第 3 题进行改编：4、已知 RtABC 中，ACB=90°，BD=AC,AE=BC,DE=AB.求B=度.AEDBC4AF60°x°E60°45°60°x°45°DB方法如下：C在讲题时，培养学生的探究思维。如图：ABC 中，AB=AC，D、E 分别在 AB、AC 上，且 BD=AE,BC=DE求证：ADE+CED=60°AEDBC例 2：题目线索：要证明图形中的两条线段夹角为特殊角，或有特殊数量关系如

5、图：正方形 ABCD，G 在 CB 延长线上，以 BG 为于点 P，正方形 BEFG，连接 DF、AG 交求证：APD=45°，DF= 2 AGADFBCG5PE例 3:如图：等边ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 边上的点，F 在 BC 边上，且 AFDE,AD=CE求证：AF=3 DEAEDBFC类型 2：通过平移三角形，将相等的角平移到便于应用的位置例 4：题目线索：有平行四边形，有一对相等的角难以应用如图：平行四边形 ABCD 内部有一点 E，若DAE=DCE求证：EBC=EDCADEBC6例 5：题目线索：有两条相等的线段共线，且所对角相等如图：ABC 中，D、E 为

6、BC 上两点，BAD=CAE，BD=CE求证：AB=ACABDEC例 6：题目线索：有两条 2 倍关系的线段共线，且所对角相等如图：ABC 中，ADBC，E 为 BC 上一点，且BAE=CAD，BE=2CD求证：B=DAEABCED类型 3：探究三条线段数量关系时，有其中两条线段互相平行，可考虑利用平移和差例 7：矩形 ABCD 中，AD=2AB，E 为射线 CB 上一点，过 E 作 AE 的垂线，分别与直线AB、CD 交于 F、G 两点请探究线段 CG、BF、BE 间的数量关系，并证明ADADGCEBFECG7BF例 8：如图，矩形 ABCD 中，AD=2AB，M 为 AD 中点，E 为 B

7、C 上一点，且 CE=2BE，F 为 AD 上一点，作 BK直线 EF 于 K，MH直线 EF 于 H，请探究线段 MH、BK、HK 间的数量关系，并证明AFMDBECAMFDBECK8HHK二、旋转原理图型：AEDCB从不同角度看：一方面，可以看做有公共顶点的两个相似等腰三角形ABC 与ADE 绕着同一顶点A 旋转；另一方面，可以看做两个全等三角形ABD 与ACE 绕着同一顶点旋转。AAE一方面，E另一方面，DDCCBB基本结论：AEDCB91.全等三角形的第三边相等（BD=CE）；2、第三边 BD 与 CE 的夹于等腰三角形的顶角（旋转角）。只有从不同角度去认识一个图形，我们对图形的认知才

8、深刻。把这个基本原理应用到复杂图形中，既深刻又灵活。用旋转变换构造辅助线1.当题目中有半角问题时BBE'CCAADEDE在等腰直角ABC 中，ABC=90°，点 D 为 AC 上一点，点 E 为 AB 中点，点 G 为AC 中点，作 DFED，ED=DF，连接 EF，探究线段 AE、ED、FG 之间的数量关系，并证明你的结B 论BEEAFFACACDGDGBE HFACDG102.当三条线段交于图形点时.BBDDACACE在 RtABC 中，ACB=90°，ABC=60°，点 D 为ABCCD，CDB=120°，CD=2，BD=3，求线段 AD

9、的长点，连接 AD、BD、CCDDBBAAICDBAI113.当题目中出现等角时：AABBECCDD在 RtABC 中，ACB=90°,sinBAC= 4 ，点 D 为ABC 外部一点，连接 AD、BD、5CD，使ADB=90°探究线段 AD、BD、CD 之间的数量关系，并证明你的结论CCDGBBAACCDHBABADI124.当题目中出现等腰三角形时：BBD'DDACAC在等边ABC 中，点 D 为ABC点，连接 AD、BD，ADB=120°,在射线 AD上取一点 E, 连接 CE，使CED=30°， 探究线段 BD、AE、CE 之间的数量关系

10、，并证明你的结论AAD'D'AE DDFDCBCBCB5、当题目中出现角平分线时：EBBAAFEEDDCC13在正方形 ABCD 中，点 E 在 BC 延长线上，连接 AE，交 CD 于 G，点 F、H 在 BD上，连接 AF、GF、AH，FGAH，FAH=45°，探究线段 AE、BE、HO 之间的数量关系，并证明你的结论LADDAMGGEEBBCC练习题1. 已知：在四边形 ABCD 中，AD=CD，连接 BD，ABD=30°，BCD=2CBD求证：ADB=CBD+60°；CDLADABMGENBC14FOHFOHFOH2.已知如图，在直角ABC

11、 中，C=90°,D 为AB 上一点，ADBD, BDC=2BCD,若CD=3,AB=8,求 AD 的长.ABC3.已知如图，在ABC 中，DE 垂直平分 BC，C=2ABC,DAC=2DAB.求证：AD=ACAEBCD4.如图，等腰直角ABC 中，AB=AC，点 D 在 BC 上，点 E 在 AB 上，EDB=ADC，点 F 在 AE 的垂直平分线上.（1）求证：EDA=EFA.（2）当DEF =2BAD 时，探究 BD 与 CF 的数量关系，并证明.AEBCFD15D例如：已知：RtABC 和 RtADE,连接 BE，M 是 BE 的中点，求证：CM=DM,CMD=2AEDDBMCAE方法如下：翻折ABC 和AED，ABE、AEB、，此图为ABB，与AEE绕 A 点的旋转E'DBMCAEB'H已知 RtABC，BAC=90&