材料力学B第6章弯曲变形

1、第六章 弯曲变形第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学齿轮轴的变形齿轮轴的变形第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学梁式起重机的变形梁式起重机的变形第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学卡车弹簧片的变形可以较大。卡车弹簧片的变形可以较大。第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学由于横向力作用在对称由于横向力作用在对称面内，因此弯曲变形也面内，因此弯曲变形也发生在此平面内。发生在此平面内。任意横截面都将绕中性轴产生一转角，变形后梁的轴线变为平任意横截面都将绕中性轴产生一转角，变形后梁的轴线变为平面曲线面曲线. 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学平面弯曲情况

2、，梁的轴线平面弯曲情况，梁的轴线变形为平面曲线变形为平面曲线称作称作挠曲线挠曲线.挠曲线的曲率与弯矩之挠曲线的曲率与弯矩之间的关系与纯弯曲时相间的关系与纯弯曲时相同，即同，即EIM1 挠曲线y第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学变形后横截面位置的改变形后横截面位置的改变称作位移变称作位移.有三种位移：有三种位移：横截面形心的垂直位移，记作横截面形心的垂直位移，记作 w；截面绕中性轴的旋转角，记作截面绕中性轴的旋转角，记作 ；横截面形心的水平位移，通常很小，可忽略不计横截面形心的水平位移，通常很小，可忽略不计. 挠曲线y第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学挠度挠度w : 轴上任一点（横截面形

3、心）在轴上任一点（横截面形心）在y方向上的位方向上的位移，记作移，记作 w (有的书上也记作有的书上也记作y, v). 沿沿y正方向为正，正方向为正，反之为负反之为负.转角转角 : 变形后横截面的位置与变形前位置之间的夹变形后横截面的位置与变形前位置之间的夹角，逆时针方向为正，反之为负，也称作角，逆时针方向为正，反之为负，也称作倾角或倾倾角或倾斜角斜角.因此，轴上任一点的位移可用因此，轴上任一点的位移可用挠度挠度w和和转角转角表示表示. 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学转角也是转角也是x轴和挠曲线轴和挠曲线切线之间的夹角，因切线之间的夹角，因此在此在Oxw坐标系中有如坐标系中有如下关系下

4、关系:tanddxw 挠曲线y第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学tanddxw考虑小变形假设，实际考虑小变形假设，实际上变形很小以至于挠曲上变形很小以至于挠曲线近乎水平，在此条件线近乎水平，在此条件下下:tanddwx显然，显然， 是挠曲线的斜率是挠曲线的斜率. 挠曲线y第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学 这表明挠曲线在某一点的斜率可用该点横截面的转这表明挠曲线在某一点的斜率可用该点横截面的转角角 表示表示.挠曲线方程挠曲线方程: 横截面的挠度横截面的挠度w是位置是位置x的函数的函数. 转角方程转角方程: 在小变形假设的条件下，转角在小变形假设的条件下，转角 很小，可很小，可近似为近似

5、为 :w w（x) xwwtan第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学zEIM1223/2211d wdxdwdx对于横力弯曲状态对于横力弯曲状态 (忽略剪力忽略剪力 FQ ), 曲率方程为曲率方程为: 1ZM xxEI经数学推导，可得如下公式：经数学推导，可得如下公式：对于纯弯曲状态，曲率方程为：对于纯弯曲状态，曲率方程为：第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学223/2211d wdxdwdx22( )zd wM xdxEI 称为称为挠曲轴近似微分方程挠曲轴近似微分方程. .这里正负号根据挠度这里正负号根据挠度w的方向而定的方向而定. 211dwdx 221d wxdx 22ZM xd w

6、dxEI 于是：于是：根据小变形假设根据小变形假设, ,因此因此:12dxdw第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学22( )zd wM xdxEI00dd22Mxw,00dd22Mxw,22( )zd wM xdxEI 在我们选定的坐标系中，挠曲轴微分方程的最终形式为)(22xMdxwdEI第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学对方程积分一次可得对方程积分一次可得 这里这里C和和D 是积分常数是积分常数. 它们可由梁的边界条件（位移限制）它们可由梁的边界条件（位移限制）和连续性条件确定和连续性条件确定.挠曲线方程挠曲线方程转角方程转角方程对于等截面梁对于等截面梁, 微分方程可写为微分方程可写

7、为:两次积分可得两次积分可得)(22xMdxwdEICdxxMEIdxdwEI)(DCxdxdxxMEIw )(第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA0 A 边界条件边界条件连续性条件连续性条件ARAL -弹簧变形弹簧变形 在确定了常数在确定了常数C和和D之后，可以很容易地得到梁的转角方之后，可以很容易地得到梁的转角方程和挠曲线方程，也就能够计算任意横截面的转角和挠度。程和挠曲线方程，也就能够计算任意横截面的转角和挠度。F第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学 wwmax可从相应的设计规范或手册中查得。可从相应的设计规范或手册中查得。

8、 max w许用挠度许用挠度许用转角许用转角 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学例例 6-1 写出挠度和转角方程，并计算最大挠度写出挠度和转角方程，并计算最大挠度wmax.解解: 1. 建立建立 Oxy 坐标系坐标系.2. 写出梁的弯矩方程写出梁的弯矩方程: 21( )02M xq lxxl x第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学21( )02M xq lxxl 3. 写出挠曲线微分方程并对其进行积分写出挠曲线微分方程并对其进行积分.对方程进行两次积分可得对方程进行两次积分可得a) 挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为:c) 挠曲线方程挠曲线方程b) 转角方程转角方程222)(2

9、1)(xlqxMdxwdEICxlqEIdxdwEI3)(61DCxxlqEIw4)(241第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学4. 计算积分常数计算积分常数00 xw，d00dwxx， =固定端的位移限制固定端的位移限制:5. 挠曲线方程和转角方程为挠曲线方程和转角方程为 :CxlqEIdxdwEI3)(61DCxxlqEIw4)(241361qlC4241qlD 4)(24434lxlxlEIqw)(633lxlEIq第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学由挠曲线方程可知，由挠曲线方程可知，wmax 位于梁的自由端位于梁的自由端. 当 x = l时，6. 计算最大挠度计算最大挠度 wma

10、x.(向下)(顺时针方向)4)(24434lxlxlEIqw)(633lxlEIqEIqlwB84EIqlwwB84maxEIqlB63maxEIqlB63y第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学积分方法计算梁的位移的主要步骤积分方法计算梁的位移的主要步骤:1) 选择适当的坐标系选择适当的坐标系;2) 写出弯矩方程写出弯矩方程 M(x) ;4) 对方程进行积分，根据梁的边界条件和连续性条件确定对方程进行积分，根据梁的边界条件和连续性条件确定积分常数，写出挠曲线方程和转角方程积分常数，写出挠曲线方程和转角方程;3) 建立挠曲线近似微分方程建立挠曲线近似微分方程:5) 计算梁的位移的最大值计算梁的

11、位移的最大值.)(22xMdxwdEI第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学FaaaFEICABxy FxxMax 0例例6-2: 悬臂梁如图所示，用积分法计算A点的挠度wA和转角A.解解: 坐标系如图所示, 应该指出的是，当梁受非连续性载荷作用时，梁的弯矩方程应该指出的是，当梁受非连续性载荷作用时，梁的弯矩方程应分段给出应分段给出. . 对于AC段有:xx第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学近似微分方程为积分两次可得 FaFxxMaxa2对于CB段有FxxMdxwdEI)(12212121CFxdxdwEI113161DxCFxEIwxFaaaFEICABxxy第六章第六章 弯曲变形弯曲变

12、形材料力学 近似微分方程积分常数C1、 D1和C2、D2根据梁的边界条件和连续性条件确定.积分两次可得FaFxxMdxwdEI)(22222221CFaxFxdxdwEI222322161DxCFaxFxEIw第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学位移边界条件: 当 x=2a时022 ww2121wwww；连续性条件 : 当x=a时于是有xFaaaFEICABxxy02C3232FaD22122121FaFaCFa33311332216161FaFaFaDaCFa第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学因此最后(向下)(逆时针方向)21FaC 3167FaDEIFaEIFxdxdw22112EI

13、FaEIxFaEIFxw6763231EIFawwxA67301EIFaxA20102C3232FaDEIFaxEIFxdxdw2222EIFaEIFaxEIFxw32263232ax 0AC段:axa2CB段：第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学(2) 各段之间的连续性条件对于确定积分常数是必须的；(3) 需注意梁上各段变量x的范围。(1) 如果梁被分成两段，将有4个积分常数，积分常数的数量是分段数的两倍；注意注意第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学 在一些工程手册中，将梁在某些简单载荷作用下的变形在一些工程手册中，将梁在某些简单载荷作用下的变形列表表示，此表称为列表表示，此表称为变形表

14、变形表。 叠加法：叠加法：当梁上同时作用几个载荷时，可分别求出每个当梁上同时作用几个载荷时，可分别求出每个载荷单独引起的变形，把所得变形叠加即为这些载荷共同作载荷单独引起的变形，把所得变形叠加即为这些载荷共同作用引起的变形。用引起的变形。i 表示任意单独载荷. w=wi =i第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学例例6-3 对于如下简支梁，请计算挠度对于如下简支梁，请计算挠度wC 和转角和转角B ， q、l和EI为已知。为已知。第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学321CCCCwwww123BBBB解解: 1. 有三个载荷作用有三个载荷作用的梁可以被看作是各载的梁可以被看作是各载荷单独作用时

15、的三个梁荷单独作用时的三个梁的叠加。的叠加。因此www第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学2.查变形表可得查变形表可得EIqlB2431EIqlwC384541wwwEIqlwC4842EIqlwC1643EIqlB1632EIqlB333第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学3. 将以上结果叠加，可以得到将以上结果叠加，可以得到截面截面C的挠度和截面的挠度和截面B的转角。的转角。EIqlwwCiC384114EIqlBiB48113第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学ABlaBCFABCFABC例例6-4 外伸梁受载荷如图所示，试用叠加法计算外伸端外伸梁受载荷如图所示，试用叠加法计算外伸

16、端C截面截面的挠度。的挠度。解解: 将梁按支座形式分成两段，将梁按支座形式分成两段，研究每一段的变形时将另一段研究每一段的变形时将另一段视作刚体。视作刚体。AB段：段：B BC段段视作刚体。视作刚体。w2 BFaEIFalB3EIlFaawB321B BC 段：段： AB段段视作刚体。视作刚体。EIFaw332)(3221alEIFawwwBw1F第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学逐段分析求和法：逐段分析求和法：ABlaBCF 对于变形表中没有的形式（如外伸梁等），将其分解成对于变形表中没有的形式（如外伸梁等），将其分解成已有的形式（如简支梁、悬臂梁）。分段进行分析。已有的形式（如简支梁、

17、悬臂梁）。分段进行分析。 当以某一段为研究对象时，其余各段均视为刚体。当以某一段为研究对象时，其余各段均视为刚体。第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学求解静不定问题的一般内容求解静不定问题的一般内容建立并解建立并解平衡方程平衡方程第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学3-3=04-3=1lMA ABFAyFAxq超静定梁超静定梁 ABFBMAFAyFAxq第六章第六章 弯曲变形弯曲变形材料力学已知：梁的已知：梁的EI ,q 和和 l. 请计算约束反力请计算约束反力.例例 6-5l ABMAFAyFAxFBwB=wB(q)+wB(FB)=0解：解：1. 1. 外力分析，确定静不定度外力分析，确定静不定度. .2. 建立平衡方程建立平衡方程 00 xAxFF00yAyBFFFql2002AABqlMMF lq4-3=1 第六章第六章 弯