导数的四则运算法则(上课用)-文档资料

1、11( ),( )f xcfx、若则 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式: :2( ),( )nf xxfx、若则 3( )sin,( )f xxfx、若则 4( )cos,( )f xxfx、若则 01nn xcosxsin x5( ),( )xf xafx、若则 6( ),( )xf xefx、若则 7( )log,( )xaf xfx、若则 8( )ln,( )f xxfx、若则 lnxaaxe1lnxa1x常函数常函数幂函数幂函数三角函数三角函数指数函数指数函数对数函数对数函数2导数的几何意义导数的几何意义 函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义，就是曲处的导数

2、的几何意义，就是曲线线 y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率. 故曲线故曲线y=f(x)在点在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是处的切线方程是:)()(000 xxxfxfy)(0 xfk切线3 例例1.跳水运动员距离水面的高度满足跳水运动员距离水面的高度满足 (1)用图形来体现导数用图形来体现导数 ， 的几何意义的几何意义 (2)物理意义是什么物理意义是什么. 105 . 69 . 4)(2ttth3 . 3) 1 (/h6 . 1)5 . 0(/hh0 . 15 . 0Ot4例例2:求曲线求曲线y=f(x)=x2在点在点P(1,1)处的切线方程处的切线

3、方程.12(1)yx 210 xy 求切线方程的一般步骤：)(3)(2,1000000 xxxfyyxfkyxP）点斜式（）斜率（）（）切点（5）的切线方程在点（求双曲线例212,13xy 044 yx的切线方程过点求抛物线例)6 ,25(42xy 09-6044yxyx或相切的直线方程）且与曲线求过点（练习31 , 1xy 014-3023yxyx或.5keykxyx的切线，求是、已知直线例ek 67按定义求导数有哪几个步骤？按定义求导数有哪几个步骤？8( )( )f xg x( )( )f xg x1 1、和、和( (差差) )的导数：的导数： 2 2、积的导数：、积的导数：( )c f

4、x( )( )f xg x推论：推论：3 3、商的导数：、商的导数：（C C为常数）为常数）( )( )fxg x( )( )( )( )fxg xf xg x( )c fx2( ) ( )( )( )( )fx g xf x g xg x( ( )0)g x 导数的运算法则导数的运算法则时，特别当1)(xf)()()(12xgxgxg9例例1求多项式函数求多项式函数f(x)= 的导数。的导数。1011nnnna xa xaxa解：解：f / /(x)=1011()nnnna xa xaxa12011(1)nnna nxa nxa例例2求求y=xsinx的导数。的导数。解：解：y/=(xsin

5、x)/=x/sinx+x(sinx)/ =sinx+xcosx.例例3求求y=tanx的导数。的导数。解：解：y/= sin()cosxx22cos cossin sin1coscosxxxxxx1043(2)(2 )(2)yxx xsin(4)21xxye(3)sin cosyxx求下列函数的导数52(1)238yxxxxxfln)()5(xxexf)()6(xxxfln)()7(21)()8(xxxfxxxxfcossincos)()9(xxftan)()10(11.43|2xy例例4 4：求函数求函数 在在x=2处的导数处的导数. .xxy11曲线曲线y=x3x2l在点在点P(1，1)处

6、的切线方处的切线方程为程为 . y=x2 2已知抛物线已知抛物线y=x2bxc在点在点(1，2)处与直线处与直线y=x1相切，求相切，求b，c的值的值12bc 12例例6求求y=sin2x的导数。的导数。解：解：y/=(2sinxcosx)/ =2(cosxcosxsinxsinx) =2cos2x.复合函数的概念复合函数的概念:对于函数对于函数y=f(u)和和u=g(x),如果通过变量如果通过变量u,y可以可以表示成表示成x的函数的函数,那么称这个函数为函数那么称这个函数为函数y=f (u)和和u=g(x)的的复合函数复合函数.13例例1已知可导函数已知可导函数y=f(u),且且u=ax+b

7、(a,b为常为常数数,a0),求求 .dydx解：设解：设x有一改变量有一改变量x，则对应于，则对应于u，y分别有分别有改变量改变量u，y， 由由 yyuxux得得000limlimlimxuxyyuxux 而而 0lim( )xuu xax 所以所以 ( ) udya f udx再将再将u=ax+b代入上式便得到代入上式便得到 dydx叫做微商亦叫导数自变量的无穷小量叫做自变量的微分，函数值的无穷小量叫做函数值的微分dxdydxdy)()(1420.051(1)(23)(2)(3)sin()xyxyeyx 例例2、求下列函数的导数、求下列函数的导数注：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数注

8、：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，在熟练以后，就不的复合关系，选好中间变量，在熟练以后，就不必再写中间步骤。必再写中间步骤。由外到内，逐层求导，再相乘。由外到内，逐层求导，再相乘。2(1),23yuux 2 ,2uxyuu xuxyyu 812224xuxyu (2),0.051uy eux () ( 0.051)uxuxyyuex 0.0510.00.055uxee (3)cos()yx xylne (4)3 32 2xxey(e) (4)3 32 215例例3:设设f(x)可导可导,求下列函数的导数求下列函数的导数: (1)f(x2); (2)f( );21

9、 x 解解: );(2)()() 1 (222xf xxxfy);1(1122)1()2(2222xfxxxxxfy 说明说明: :对于抽象函数的求导对于抽象函数的求导,一方面要从其形式是把握其一方面要从其形式是把握其 结构特征结构特征,另一方面要充分运用复合关系的求导法则另一方面要充分运用复合关系的求导法则. 16 2228811fxRfx = fxxx,y fxf A.yx B.y xC.yx D.yx已知函数在 上满足则曲线 =在点 ，处的切线方程为=2 -1=3 -2=练习-2、+3A172求证：可导的奇函数求证：可导的奇函数f(x)的导函数的导函数f /(x)是是偶函数偶函数证明：证

10、明： f(x)是奇函数，是奇函数， 对对 f(x)定义域定义域 D内任一个内任一个x，有，有xD,且有且有f(x)=f(x) 分别对上式左、右两边求导：分别对上式左、右两边求导： f(x)/=f /(x)(x)/=f /(x)， f(x)/=f /(x)， f /(x)=f (x)， 即即f /(x)=f /(x)， f (x)是偶函数是偶函数183若若f(x)与与g(x)是定义在是定义在R上的两个可导函数，上的两个可导函数，且且f(x)，g(x)满足满足f /(x)=g/(x)，则，则f(x)与与g(x)满足满足（ ） （A）f(x)g(x) （B）f(x)g(x)为常数函数为常数函数 （C

11、）f(x)=g(x)=0 （D）f(x)+g(x)为常数函数为常数函数B19练习求下列复合函数的导数求下列复合函数的导数ysin xx )()1 11 1xylne )3 32 22 2)233 ylog cos x 20求下列复合函数的导数求下列复合函数的导数解解:练习ysin xx )()1 11 12211)sin ,1cos ,111(1)cos()uxxuxxyu uxxyu uxyyuyxxx21解解:求下列复合函数的导数求下列复合函数的导数练习xylne )3 32 22 2 3323232)n ,211,31123 (2)3(2)xxuvxxuvxxxxxxxylu uv ve

12、yuveuvyyuvyeeeee 2222221( sin) ()osln32tanln3yxxcxxx 求下列复合函数的导数求下列复合函数的导数练习解解:)233 ylog cos x 23练习:求下列函数的导数求下列函数的导数342211).(2)12).123).1yxxxyxyxx 2222).(12) 12xyxx 3322111).4(2) (61)yxxxxx xyx22(12)3).1 242(1).2sin(4)3yx 2(1).sin (2)3yx sin2(2)(1)(3)(4)ln|xxxxxyeeeyeeyx sinsin(2)2(1)cosxxyeex 2224(3

13、)(1)xxeye 1(4)yx 练习:求下列函数的导数求下列函数的导数25例例6如图，设有圆如图，设有圆C和定点和定点O，当当l 从从l0 开始在平面上绕开始在平面上绕O点匀速点匀速旋转旋转(旋转角度不超过旋转角度不超过90)时，时，它扫过的圆内阴影部分的面积它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间是时间t的函数，它的图象大致是的函数，它的图象大致是下列四种情况中的哪一种？下列四种情况中的哪一种？D26练习：练习： 如图如图, , 水以常速水以常速( (即单位时间内注入水的体即单位时间内注入水的体积相同积相同) )注入下面四种底面积相同的容器中注入下面四种底面积相同的容器中, , 请分别请分别找出与各容器对应的水的高度找出与各容器对应的水的高度h h与时间与时间t t的函数关系的函数关系图象图象. .(B)(B)h ht tO(C)(C)h ht tO(D)(D)h ht tO(A)(A)h h