材料力学 弯曲变形

1、 6.1 6.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题6.2 6.2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形6.4 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形6.6 6.6 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施6.5 6.5 简单超静定梁简单超静定梁目录第第6 6章章 弯曲变形弯曲变形7-16.1 6.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题6.1 6.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题6.1 6.1 工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题1. 基本概念基本概念挠曲线方程：挠曲线方程：)(xyy 由于小变形，截面形心在

2、由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计方向的位移忽略不计挠度转角关系为：挠度转角关系为：dxdy tan挠曲线挠曲线yxxy挠度挠度转角转角挠度挠度y：截面形心在：截面形心在y方向的位移方向的位移y向上为正向上为正转角转角：截面绕中性轴转过的角度。：截面绕中性轴转过的角度。逆时针为正逆时针为正7-26.2 6.2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程2. 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程推导弯曲正应力时，得到：推导弯曲正应力时，得到：忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响1( )( )zM xxEI 6.2 6.2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程1zMEI由数学知识可知：由数学知识

3、可知：3222)(1 1dxdydxyd 略去高阶小量，得略去高阶小量，得221dxyd 所以所以zEIxMdxyd)(22 2M(x) 0M(x) 0Od ydx2 0 xyM(x) 0Odxd y 022yxM(x) b。解解1）由梁整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx ,02）弯矩方程）弯矩方程 axxlFbxFxMAy 11110 ,AC 段：段： lxaaxFxlFbaxFxFxMAy 222222),()(CB 段：段：maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形3）列挠曲线近似微分方程并积分

4、）列挠曲线近似微分方程并积分112112)(xlFbxMdxydEI 1211112)(CxlFbxEIdxdyEI 1113116DxCxlFbEIy AC 段：段：ax 10)()(2222222axFxlFbxMdxydEI 2222222)(22)(2CaxFxlFbxEIdxdyEI 2223232)(662DxCaxFxlFbEIy CB 段：段：lxa2maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数0)(,22 lylx0)0(, 011 yx代入求解，得代入求解，得位移边界

5、条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件)()(,2121aaaxx )()(,2121ayayaxx lFbFblCC661321 021 DDmaxyab1x2xACDFxAyFByFAByB6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程)(6222211bllFbxlFbEI 12231)(661xbllFbxlFbEIy AC 段：段：ax 10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI22232322)(6)(66xbllFbaxFxlFbEIyCB 段：段：lxa2maxyab1x2xACDFxAyFByFABy

6、B6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度令令 得，得，0 dxd max,()()6BFabxllaEIl令令 得，得，0 dxdy)(39)(,3322max22EIlblFbyblx maxyab1x2xACDFxAyFByFAByB6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形而梁中点而梁中点 C 处的挠度为：处的挠度为：122123448CxlFbyylbEI (ab)6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形当集中力无限接近支座当集中力无限接近支座 B (即即b0) 时，梁的最大挠度时，梁的最大挠度截面所

7、处位置截面所处位置为：为：1022max100.064293xxbFblFblyyEIEI 而此时梁中点而此时梁中点 C 处的挠度为：处的挠度为：llblx577.033220 梁的最大挠度梁的最大挠度为：为：12221230.06254816DxlFbFblFblyylEIEIEI 因此以梁中点的挠度代替梁的最大挠度的误差为：因此以梁中点的挠度代替梁的最大挠度的误差为：max2max2.65%lyyy 这个误差在工程上是完全可以接受的。这个误差在工程上是完全可以接受的。6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形BCaaADaF3FM-FaFaM-FaFaBCaaADaF3FMe=F

8、a例题例题6.3：弯曲刚度弯曲刚度EI相同的两梁受力如图，前者为悬臂梁，后者相同的两梁受力如图，前者为悬臂梁，后者为简支梁，试分别画出两梁的挠曲线大致形状。为简支梁，试分别画出两梁的挠曲线大致形状。6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形分析：分析：1) 挠曲线的曲率与弯矩有关，即在挠曲线的曲率与弯矩有关，即在M0的梁段，挠曲线曲率为的梁段，挠曲线曲率为正，形状为凹；在正，形状为凹；在M 0的梁段，挠曲线曲率为负，形状为凸；在的梁段，挠曲线曲率为负，形状为凸；在M=0的梁段的梁段(AC段段)，挠曲线曲率为零，形状为直线；在，挠曲线曲率为零，形状为直线；在M正负号发正负号发生改变的点

9、，对应着挠曲线的拐点。因两梁的弯矩图相同，故两梁生改变的点，对应着挠曲线的拐点。因两梁的弯矩图相同，故两梁的挠曲线凹凸性相同。的挠曲线凹凸性相同。2) 挠曲线的形状与约束有关，悬臂梁固定端处的挠度和转角均挠曲线的形状与约束有关，悬臂梁固定端处的挠度和转角均为零，而简支梁在支座处的挠度为零，但转角一般不为零。因两梁为零，而简支梁在支座处的挠度为零，但转角一般不为零。因两梁约束不同，故在相同位置的位移不同。约束不同，故在相同位置的位移不同。讨讨 论论积分法求变形有什么优缺点？积分法求变形有什么优缺点？6.3 6.3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形7-46.4 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加

10、法求弯曲变形F1F2F1F2wC1F1F2CwC2)(22xMEIydxydEI 设梁上有设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转，转角为角为 ，挠度为，挠度为y，则有：，则有： )(xMEIyii 若梁上只有第若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为个载荷单独作用，截面上弯矩为 ，转角，转角为为 ，挠度为，挠度为 ，则有：，则有：i iy)(xMi由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：)()(1xMxMnii 所以，所以，)( )( 11xMyEIyEIniinii 7-46.4 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形故故 )(

11、1 niiyy由于梁的边界条件不变，因此由于梁的边界条件不变，因此,1niiniiyy1重要结论：重要结论：梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯计算弯曲变形的叠加原理曲变形的叠加原理。6.4 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形6.4 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形悬臂梁悬臂梁 EIlMwEIlMAA22ee EIFlwEIFlAA3232 EIqlwEIqlAA8643 AlFAlMeAlq6.4 6.4 用叠加法求弯曲变

12、形用叠加法求弯曲变形简支梁简支梁 EIFlwEIFlCA481632 EIqlwEIqlCA38452443 EIlMEIlMBA36ee BA2l2lCqBA2l2lCMeBA2l2lCF EIlMwC162e例题例题6.4：已知简支梁受力如图示，已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求均为已知。求C 截面的挠度截面的挠度yC ；B截截面的转角面的转角 B1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解321CCCCyyyy 321BBBByC1yC2yC32）查表得）查表得3种情形下种情形下C截面的截面的挠度和挠度和B截面的转角截面的转角。EIqlB2431EIqlB1631EIqlB333E

13、IqlyC384541EIqlyC4842EIqlyC1643解解6.4 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形3） 应用叠加法，将简单载荷作应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和用时的结果求和 )(3841116483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlyyiCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiByC1yC2yC36.4 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形例题例题6.5：已知：悬臂梁受力如图已知：悬臂梁受力如图示，示，q、l、EI均为已知。求均为已知。求C截面截面的挠度的挠度yC和转角和转角 C1）首先，将梁上的载荷变成

14、）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形有表可查的情形 为了利用梁全长承受均布为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在变原来载荷作用的效果，在AB 段还需再加上集度相同、方向段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。相反的均布载荷。 Cy解解6.4 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形Cy2Cy1Cy2By,841EIqlyC ,248128234222lEIqlEIqllyyBBC EIqlC631EIqlC4832 EIqlyyiCiC384414213）将结果叠加）将结果叠

15、加 EIqliCiC4873212）再将处理后的梁分解为简单）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自载荷作用的情形，计算各自C截截面的挠度和转角。面的挠度和转角。 6.4 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形6.4 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形解：解：将将AC段分为段分为AB和和BC两段进行研究。两段进行研究。AB段可视为悬臂梁受均段可视为悬臂梁受均布荷载作用，布荷载作用，BC段可视为简支梁分别作用有段可视为简支梁分别作用有集中集中荷载及在荷载及在B作用有作用有一集中力和一集中力偶。一集中力和一集中力偶。如下图示：如下图示：AaDF=qawACq2aBBaw2

16、qqaqa2/2AAaDF=qaw1C2aBqaqa2/2=+ 简支梁简支梁上集中力上集中力qa作用作用在支座在支座B处，不会使梁产生弯曲变形。处，不会使梁产生弯曲变形。A端及端及D处挠度和处挠度和B处转角是集中处转角是集中荷载荷载F及集中力偶及集中力偶qa2/2分别作用分别作用的叠加结果的叠加结果。例题例题6.6：外伸梁受力如图所示，试用叠加法求截面外伸梁受力如图所示，试用叠加法求截面B的转角和的转角和A端端及及BC段中点段中点D的挠度。的挠度。6.4 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形EIqaEIqlw88442考虑简支考虑简支梁梁，由表查出，由表查出BC段段B端端转角和转角和D

17、处挠度处挠度:A端挠度端挠度wA由两部分组成：由两部分组成：BC段段B端转角引起的端转角引起的A端端挠度挠度w1和和AB段上均布载荷段上均布载荷q造成的弯曲变形引起的造成的弯曲变形引起的A端挠端挠度度w2。由叠加法得。由叠加法得:EIqaEIaqaEIaqaBMBFB12322/162322)(EIqaEIaqaEIaqawwwDMDFD241622/4824223()考虑考虑悬臂梁悬臂梁，由表查出，由表查出AB段段自自由端挠度：由端挠度：Baw2qqaqa2/2AAaDF=qaw1C2aBqaqa2/2EIqaEIqaEIaqawawwwBA245812443221()6.4 6.4 用叠加

18、法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形解：解：将将AC段分为段分为AB和和BC两段进行研究。两段进行研究。AB段可视为悬臂梁集中力作用在自由端，段可视为悬臂梁集中力作用在自由端，BC段可视为悬臂梁分别有一集中力和一集段可视为悬臂梁分别有一集中力和一集中力偶作用在自由端。中力偶作用在自由端。对以上各种载荷情对以上各种载荷情况，均可由表查出自由端变形况，均可由表查出自由端变形:AFBA1FwA1Faa321132AAFaFaABwEIEI ：32323 22 22 22BFBFBMBMFaFaBCwEIEIFaFawEIEI ：ABCFaaEI2EIFBwBFaBCBawA2EIFaEIFawwwBMBF

19、BBMBFB4312523例题例题6.7：变截面悬臂梁变截面悬臂梁AC受力如图所示，已知受力如图所示，已知EI为常数，试用叠为常数，试用叠加法求加法求A截面的转角和挠度。截面的转角和挠度。6.4 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形AFBA1FwA1FaaABCFaaEI2EIFBwBFaBCBawA2EIFawwwAAA23321()由叠加法得由叠加法得:)(EIFaBAA4521EIFaawwBBA6732 B点的变形对点的变形对A点的影响是两部点的影响是两部分组成的：分组成的：B点的挠度点的挠度wB 和和A点绕点绕B点刚性地转动点刚性地转动 B 角所造成的位移角所造成的位移 B

20、a。因此。因此:6.4 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形CAB2l2lwCqb)43(48)d()43(48dd2222xlEIxxqxlEIFxwC xxxlEIqwwbCCd)43(48d220 )23(48222blEIqb 例题例题6.8：等截面简支梁等截面简支梁AB手里如图所示，已知手里如图所示，已知EI为常数，试求梁为常数，试求梁重点重点C的挠度，设的挠度，设bl/2。6.4 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形梁的设计：利用强度条件设计，利用刚度条件校核。梁的设计：利用强度条件设计，利用刚度条件校核。刚度条件：刚度条件： lwlwmax max lw精密机床主

21、轴精密机床主轴 齿轮齿轮 ( 0.0010.005) rad 10000150001 75014001 100012501 土建土建吊车梁吊车梁梁的刚度条件梁的刚度条件6.4 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 解：解： (1) 根据强度条件选择梁的工字钢型号根据强度条件选择梁的工字钢型号 梁的最大弯矩为：梁的最大弯矩为： Mmax =Fab/l=30 2 1/3=20kNm =2 107Nmm 梁所需抗弯截面模量为：梁所需抗弯截面模量为： 3357max1251025. 1160102cmmmMWz例题例题6.9：工字梁工字梁AB如图所示，已知如图所示，已知F=30kN，l=3m，

22、a=2m，b=1m，E=200GPa，=160GPa，wmax/l=1/400，试选择梁的工，试选择梁的工字钢型号。字钢型号。abAFBl6.4 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形00212. 0300036. 6maxlw f/L=1/400=0.0025mmblEIFbw36.6101130102004810004300031000103043484322322max因此选择因此选择16号工字钢可同时满足强度和刚度条件。号工字钢可同时满足强度和刚度条件。由型钢表查出由型钢表查出16号工字钢的抗弯截面模量和惯性矩分别号工字钢的抗弯截面模量和惯性矩分别为：为：Wz =141cm3 ，

23、Iz =1130cm4 。初步选择。初步选择16号工字钢。号工字钢。(2) 刚度校核刚度校核此梁挠曲线无拐点，可用跨度中点的挠度代替最大挠度：此梁挠曲线无拐点，可用跨度中点的挠度代替最大挠度：讨论讨论叠加法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？6.4 6.4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形1. 基本概念：基本概念：超静定梁：超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁支反力数目大于有效平衡方程数目的梁多余约束：多余约束：从维持平衡角度而言从维持平衡角度而言,多余的约束多余的约束超静定次数：超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。多余约束或多余支反力的数目。2. 求解方法：求解方法

24、：解除多余约束，建立相当系统解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变形协调条比较变形，列变形协调条件件由物理关系建立补充方程由物理关系建立补充方程利用静力平衡条件求其他约利用静力平衡条件求其他约束反力。束反力。相当系统：相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统用多余约束力代替多余约束的静定系统7-66.5 6.5 简单超静定梁简单超静定梁解解例题例题6.10：求梁的支反力，梁的抗求梁的支反力，梁的抗弯刚度为弯刚度为EI。1）判定超静定次数）判定超静定次数2）解除多余约束，建立相当系）解除多余约束，建立相当系统统0)()(ByFBFBByyy 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAA

25、FAyACFCBAFByFCBAA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFC3）进行变形比较，列出变形协）进行变形比较，列出变形协调条件调条件6.5 6.5 简单超静定梁简单超静定梁4）由物理关系，列出补充方程）由物理关系，列出补充方程 EIFaaaEIaFyFB314)29(6)2()(32EIaFyByFBBy38)(303831433EIaFEIFaBy所以所以FFBy475）由整体平衡条件求其他约束反力）由整体平衡条件求其他约束反力 )(43),(2FFFaMAyA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFA

26、yACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFC 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAAA AM MA Ay yF F6.5 6.5 简单超静定梁简单超静定梁例题例题6.11：梁梁AB 和和BC 在在B 处铰接，处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚两端固定，梁的抗弯刚度均为度均为EI，F = 40kN，q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。 从从B 处拆开，使超静定结构变处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。成两个悬臂梁。变形协调方程为：变形协调方程为：21BByyBBFFFByB1 FByB2物理关系物理关系EIFEIqyBB3484341322423 4263BBFFyEIEI解解6.5 6.5 简单超静定梁简单超静定梁FB FByB1yB2kN75. 8484204610402334