材料力学 第3章扭转

1、材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转3-1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例3-2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3-3 纯剪切纯剪切3-4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力3-5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形3-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形3-7 非圆截面杆的扭转非圆截面杆的扭转材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转3-1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例1受力特征受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。向相反的外力偶。 2变形特征

2、变形特征：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。 轴轴：以扭转为主要变形的构件称为轴：以扭转为主要变形的构件称为轴 。材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的，所以本章主要介绍圆轴扭转。材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转3-2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图直接计算直接计算1 1外力偶矩外力偶矩材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算电机每秒输入功：电机每秒输入功：外力偶作功完

3、成：外力偶作功完成：)N.m(1000kPW602nMWe已知已知轴转速轴转速n n 转转/ /分钟分钟输出功率输出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩M Me em)(N9550nPm材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转例例3-2-1 传动轴如图所示，主动轮传动轴如图所示，主动轮A输入功率输入功率PA=50kW，从动，从动轮轮B、C、D输出功率分别为输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转，轴的转速速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。，计算各轮上所受的外力偶矩。 MAMBMCBCADMD解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩mN6379550mN5 .47

4、79550mN15929550nPMnPMMnPMDDBCBAA材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转2 2扭矩与扭矩图扭矩与扭矩图, 0 xM由0eMTeMT得扭矩的正负号规定：扭矩的正负号规定：按右手螺旋按右手螺旋法则，法则，T矢量背离截面为正，指矢量背离截面为正，指向截面为负（或矢量与截面外法向截面为负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）线方向一致为正，反之为负）T称为截面称为截面n-n上的扭矩。上的扭矩。用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正，为正，如果由平衡方程得到如果由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如为正，则说明是正的

5、扭矩，如果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭正的扭矩画在矩画在x x轴上方，负的扭矩画在轴上方，负的扭矩画在x x轴下方。轴下方。注意注意MeMeMeTx材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。 目目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转例例3-2-2 3-2-2 计算例计算例3-2-13-2-1中所示轴的扭矩，并作扭矩图。中所示轴的扭矩，并作扭矩图。MAMBMCBC

6、ADMD解：已知解：已知mN637mN5 .477mN1592DCBAMMMM477.5Nm955Nm637NmT+-作扭矩图如左图示。作扭矩图如左图示。材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转例例3-2-3 3-2-3 已知：一传动轴，已知：一传动轴， n =300r/minn =300r/min，主动轮输入，主动轮输入 P P1 1=500kW=500kW，从动轮输出，从动轮输出 P P2 2=150kW=150kW，P P3 3=150kW=150kW，P P4 4=200kW=200kW，试绘，试绘制扭矩图。制扭矩图。解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009

7、.5555911nP.mm)(kN 78. 43001509.5555. 9232nPmmm)(kN 37. 63002009.5555. 944nPmnA B C Dm2 m3 m1 m4112233材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）mkN784 0 , 02121.mTmTmCmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmTmkN37. 6 , 0 4343mTmT材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转绘制扭矩图绘制扭矩图mkN 569max .TBC段为危险截面。段为危险截面。xTnA B C Dm2 m3 m

8、1 m44.789.566.37材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转3-3 纯剪切纯剪切薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚r101（r：为平均半径）1实验：实验：实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m。一、薄壁圆筒扭转时的切应力一、薄壁圆筒扭转时的切应力 材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转2 实验后：实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。3 结论：结论：圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。变，只是绕轴线作了相对转动。 各纵向线均倾斜了同一

9、微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转 acddxbdy 无正应力横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4 与与 的关系：的关系：LRRL 微小矩形单元体如图所示：微小矩形单元体如图所示： 材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转5 薄壁圆筒剪应力薄壁圆筒剪应力 大小：大小： 2 2 2 2d d 2AMATrTTrrArTrAeAAA：平均半径所作圆的面积。 材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转二

10、、切应力互等定理：二、切应力互等定理： 0故dxdytdxdytmz上式称为剪应力互等定理为剪应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxb dy tz材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转三、切应变三、切应变 剪切胡克定律剪切胡克定律 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为力状态称为

11、纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转 T=m)( ) 2( 0RLtAT 剪切虎克定律：剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（时（ p)，剪应力与剪应变成正比关系。，剪应力与剪应变成正比关系。材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转G式中：式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故无量纲，故G的量纲与的量纲与 相同，不同材料的相同，不同材料的G值可通过实验确值可通过实验确定，钢材的定，钢材的G值约为值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是

12、表明材料弹性性质剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：列关系（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。就可以推算出来。)1 (2EG材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转 1. 横截面变形后仍为平面；横截面变形后仍为平面； 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。平面假设：平面假设： 变形前为平面的横截面变形前为平

13、面的横截面变形后仍为平面，它像刚变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了性平面一样绕轴线旋转了一个角度。一个角度。3-4 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力一、等直圆杆扭转实验观察：一、等直圆杆扭转实验观察：材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1. 变形几何关系：变形几何关系：xddtg距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与与到圆心的距离到圆心的距离 成正比。成正比。xdd 扭转角沿长度方向扭转角沿长度方向变化率。变化率。材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转2. 物理关系：物理关系：虎克定律：代入上式得： G

14、xGxGGddddxGdd 材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转3. 静力学关系：静力学关系：OdAAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理关系式 得：xGdd pIT材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转pIT横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4. 公式讨论：公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。面直杆。 式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离

15、。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转单位：单位：mm4，m4。AIApd2 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是只是Ip值不同。值不同。4420221032 d2 dD.DAIDAp对于实心圆截面：DdO材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转对于空心圆截面：)1 (10)1 (32 )(32 d2 d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDOd材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程

16、上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻， 结构轻便，应用广泛。结构轻便，应用广泛。材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转 确定最大剪应力：确定最大剪应力：pIT由知：当max , 2dR)2 ( 22 maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmaxWt 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：332016D.DRIWpt对于空心圆截面：)-(12016)1 (4343D.DRIWpt材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转 三、强度条件三、强度条件强度条件强度条件： ， 许用切应力许用切应

17、力；pmaxmaWTx轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切纯剪切状态状态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。 理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力 与许用正应力与许用正应力之间存在下述关系：之间存在下述关系：对于塑性材料对于塑性材料 (0.5一一0.577) 对于脆性材料，对于脆性材料， (0.81.0) l 式中，式中， l代表许用拉应力。代表许用拉应力。材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转强度计算三方面：强度计算三方面： 校

18、核强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：实：433116 16 DDWt材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转例例3-4-1：一厚度为：一厚度为30mm、内直径为、内直径为230mm 的空心圆管，承的空心圆管，承受扭矩受扭矩T=180 kNm 。试求管中的最大剪应力，使用：。试求管中的最大剪应力，使用： (1)薄壁管的近似理论；薄壁管的近似理论； (2)精确的扭转理论。精确的扭转理论。解：解：(1) 利用薄壁管的近似理论可求得利用薄壁管的近似理论可求得trT2max2)1 (1643maxDT(2) 利用精确的扭转理论可求得利用精确的扭转理

19、论可求得43329023011629. 010180MPa2 .6203. 013. 021018023MPa5 .56材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转例例3-4-2：一空心圆轴，内外径之比为：一空心圆轴，内外径之比为=0.5，两端受扭转力偶，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，矩作用，最大许可扭矩为，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按强度计算）。（按强度计算）。解：设空心圆轴的内、外径原分别为解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一，面积增大一倍

20、后内外径分别变为倍后内外径分别变为d1 、 D1 ，最大许可扭矩为最大许可扭矩为1由TDTD113434161161()() 由得DDDD1222214105241052(.)(.)828. 222/3311DDTT得材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转例例3-4-3：某汽车主传动轴钢管外径某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚，壁厚t=2.5mm，传递扭矩传递扭矩T=1.98kNm， =100MPa，试校核轴的强度。，试校核轴的强度。 33pp4444p103 .202/101 .77)1 (32mmDIWmmDI5 .97PMPaWTmaxmax解：计算截面参数：解：计算截面参数：

21、 由强度条件：由强度条件：故轴的强度满足要求。故轴的强度满足要求。 材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故故空心轴较实心轴合理空心轴较实心轴合理。 31334. 044)2(222dtDDAA实空空心轴与实心轴的截面面积比空心轴与实心轴的截面面积比(重量比重量比)为：为： MPadWTmaxmax5 .9716/1098. 133p由上式解出：由上式解出：d=46.9mm。MPamax5 .97若将空心轴改成实心轴，仍使若将空心轴改成实心轴，仍使，则，则材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转

22、转例例3-4-4：功率为功率为150150kW，转速为，转速为15.415.4转转/ /秒的电动机转子轴如秒的电动机转子轴如图，许用剪应力图，许用剪应力 =30=30M Pa, Pa, 试校核其强度。试校核其强度。nNmTBC2103m)(kN55. 1m)(N4 .1514. 32101503Tm解：解：求扭矩及扭矩图求扭矩及扭矩图计算并校核剪应力强度计算并校核剪应力强度此轴满足强度要求。此轴满足强度要求。xMPa231607. 01055. 133maxtWT材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转3-5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式由公式pGI

23、Tx dd 知：长为知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为值不变）若 ( d d0TGITlxGITplp对于阶梯轴，两端面间相对扭转角对于阶梯轴，两端面间相对扭转角 为为 1nipiiiGIlT材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转二、单位扭转角二、单位扭转角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd pGITx 或三、刚度条件三、刚度条件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 或GIp 抗扭刚度抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。 称为许用单位扭转角。称为许用单位扭转角。材料力学材料

24、力学 第三章第三章 扭扭 转转刚度计算的三方面：刚度计算的三方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷： max GT Ip max pGIT 有时，还可依据此条件进行选材。 max 材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转例例3-5-1：图示圆截面轴图示圆截面轴AC，承受扭力矩，承受扭力矩MA， MB与与MC 作用，试作用，试计算该轴的总扭转角计算该轴的总扭转角AC(即截面即截面C对截面对截面A的相对转角的相对转角)，并校核，并校核轴的刚度。轴的刚度。 已知已知MA180Nm， MB320 N m， MC140Nm，I3.0105mm4，l=2m，G80GPa，0.50m。解：解：1

25、扭转变形分析扭转变形分析利用截面法，得利用截面法，得AB段、段、BC段的扭矩分别为：段的扭矩分别为：T1180 Nm， T2-140 NmCMBMAMll材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转rad1050. 1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN180(2412591GIlTABrad1017. 1)m1010Pa)(3.010(80)m2)(mN140(2412592GIlTBC设其扭转角分别为设其扭转角分别为AB和和BC，则：，则：材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转 各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。各段轴的扭转角的转向，由相应扭矩的转向而定。 由此得

26、轴由此得轴AC的总扭转角为的总扭转角为rad100.33rad101.17-rad1050. 12-22BCABAC 2 刚度校核刚度校核 轴轴AC为等截面轴，而为等截面轴，而AB段的扭矩最大，所以，应校核该段段的扭矩最大，所以，应校核该段轴的扭转刚度。轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为：段的扭转角变化率为：可见，该轴的扭转刚度可见，该轴的扭转刚度符合要求符合要求。 /m43. 0180)m1010Pa)(3.010(80mN180dd0412591GITx材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转 例例3-5-2：长为长为 L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m= =20Nm/m

27、的作的作用，如图，若杆的内外径之比为用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 =0.8 ，G=80=80GPa ，许用，许用剪应力剪应力 =30=30MPa，试设计杆的外径；若，试设计杆的外径；若 =2/=2/m ，试校，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。核此杆的刚度，并求右端面转角。材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转 由扭转刚度条件校核刚度由扭转刚度条件校核刚度180maxmaxPGIT解：解：设计杆的外径设计杆的外径maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD代入数值得：代入数值得：D 0.0226m。 89. 1)1 (108018040324429D材料力学材

28、料力学 第三章第三章 扭扭 转转40NmxT右端面转角右端面转角为：为：弧度）( 033. 0 )4(102040202200 xxGIdxGIxdxGITPPLP材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转 例例3-5-3：某传动轴设计要求转速某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率，输入功率N1 = 500 马力，马力， 输出功率分别输出功率分别 N2 = 200马力及马力及 N3 = 300马力，马力，已知：已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确定：，试确定： AB 段直径段直径 d1和和 BC 段直径段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？

29、若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？主动轮与从动轮如何安排合理？ 500400N1N3N2ACB材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转解：解：图示状态下图示状态下, ,扭矩如图扭矩如图，由强度条件得：，由强度条件得：m)(kN024. 7nNm16 31TdWt mm4 .67107014. 3421016163632Td mm80107014. 3702416163631Td Tx7.024 4.21(kNm)材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转 mm4 .741108014. 3180421032 3249242 GTdmm841108014. 3180702432 3249241 GTd mm75 ,mm8521 dd综上：综上：全轴选同一直径时全轴选同一直径时 mm851 dd 32 4 GTdIp由刚度条件得：由刚度条件得：材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转 轴上的轴上的绝对值绝对值最大的扭矩最大的扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1轮和轮和2轮应轮应该换位。该换位。换位后换位后, ,轴的扭矩如图所示轴的扭矩如图所示, ,此时此时, ,轴的最大直径才为轴的最大直径才为7575mm。Tx 4.21(kNm)2.814材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转(a )PRdF材料力学材料力学 第三章第三章 扭扭 转转