圆的有关性质

1、第19讲圆的有关性质考试目标锁定考纲要求备考指津1.理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系2.了解圆心角与圆周角的关系，掌握垂径定理及推论.中考主要考查圆的有关概念和性质，与垂径定理有关的计算，圆心角与圆周角的关系题型以选择题、填空题为主基础自主导学考点一圆的有关概念及其对称性1圆的定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形这个定点叫做圆心，定长叫做半径2圆的对称性：(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形考点二垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧平分

2、弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧考点三圆心角、弧、弦之间的关系1定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等2推论：同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立考点四圆心角与圆周角1定义：顶点在圆心上的角叫圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫圆周角2性质：(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半(3)同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等(4)半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对

3、的弦是直径1如图，AB是O的直径，点C，D在O上，BOC110°，ADOC，则AOD()A70° B60° C50° D40°2如图，A是O的圆周角，A40°，则OBC的度数为_4圆的半径为2厘米，圆的一条弦长为2厘米，则此弦中点到所对的劣弧中点的距离为_规律-方法探索一、垂径定理【例1】 如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD6 cm，求直径AB的长则根据ABCD且P是OB的中点，得OCBCOCOB，OCOBBCBOC为等边三角形BOC60°.由垂径定理得CPCD×63 cm.在RtPOC中，t

4、anCOP，OP cm.AB2OB4OP4 cm.有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是上一点，OCAB，垂足为D，AB=300 m，CD=50 m，则这段弯路的半径是_m. (1)求证：DB平分ADC；(2)若BE3，ED6，求AB的长(1)证明：ABBC，.ADBBDC，DB平分ADC(2)解：由(1)知，BAEADBABEABD，ABEDBA.BE3，ED6，BD9.AB2BE·BD3×927.AB3.圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到

5、弧到弦的转化方式，为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用三、圆周角定理及推论【例3】 如图，半圆的直径AB10，点C在半圆上，BC6. (1)求弦AC的长；(2)若P为AB的中点，PEAB交AC于点E，求PE的长解：(1)AB是半圆的直径，点C在半圆上，ACB90°.在RtABC中，AC8.(2)PEAB，APE90°.又ACB90°，APEACB又PAECAB，AEPABC.PE.由于直径所对的圆周角是直角，所以在圆中，有直径时常作直径所对的圆周角，构造直角三角形，利用解直角三角形的知识解决问题这是圆中最常用的辅助线知能

6、优化训练1(2012重庆)已知：如图，OA，OB是O的两条半径，且OAOB，点C在O上，则ACB的度数为()A45°B35°C25° D20°2(2011安徽芜湖)如图，直径为10的A经过点C(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧A优弧上一点，则OBC的余弦值为()A BC D3(2011福建三明)如图，AB是O的直径，C，D两点在O上，若C40°，则ABD的度数为()A40°B50°C80°D90°4(2012四川成都)如图，AB是O的弦，OCAB于C若AB2，OC1，则半径OB的长为_5(2011江

7、苏盐城)如图，在平面直角坐标系中，A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交A于M，N两点，若点M的坐标是(4，2)，则弦MN的长为_6(2011湖北宜宾)已知，在ABC中，以AC边为直径的O交BC于点D，在劣弧上取一点E使EBCDEC，延长BE依次交AC于G，交O于H. (1)求证：ACBH；(2)若ABC45°，O的直径等于10，BD8，求CE的长1有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有()A4个 B3个 C2个 D1个2如图，AB是O的直径，C，D为圆上两点，AOC130°，则D等于

8、()A25°B30°C35°D50°3如图，AB是O的弦，半径OA2，AOB120°，则弦AB的长是()A2B2CD34如图，MN是半径为1的O的直径，点A在O上，AMN30°，B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，则PAPB的最小值为()A2 BC1 D25如图，AB是O的直径，点C在O上，ODAC，若BD1，则BC的长为_6如图，ABC是O的内接三角形，点D是弧BC的中点，已知AOB98°，COB120°.则ABD的度数是_7如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标是

9、(3,5)，则该圆弧所在圆的圆心坐标是_8如图，ABC是O的内接三角形，ADBC于D点，且AC5，DC3，AB4，则O的直径等于_9如图，在O中，弦AB与CD相交于点M. (1)若ADCB，求证：ADMCBM.(2)若ABCD，ADM与CBM是否全等？为什么？参考答案基础自主导学自主测试1D2.50°3.25°4.1规律方法探究变式训练250知能优化训练中考回顾1A2.C3.B4.2 536解：(1)证明：连接AD(如图)，DACDEC，EBCDEC，DACEBC.又AC是O的直径，ADC90°.DCADAC90°.EBCDCA90°.BGC180°(EBCDCA)180°90°90°.ACBH.(2)BDA180°ADC90°，ABC45°，BAD45°.BDAD.BD8，AD8.又ADC90°，AC10，DC6.BCBDDC8614.又BGCADC90°，BCGACD.BCGACD.CG.连接AE.AC是直径，AEC90°.又EGAC，CEGCAE.CE