数学常微分方程第三章

1、 Ordinary differential equation王高雄王高雄 周之铭周之铭 朱思铭朱思铭 王寿松编王寿松编（第三版）（第三版）第三章第三章 解的延拓定理解的延拓定理 3.2 3.2 解的延拓定理解的延拓定理/ Theorem on extension of solution/ 解的延拓的引入延拓方法局部利普希兹条件 解的延拓定理及其推论例子推论解的延拓定理内容提要内容提要/Constant Abstract/本节要求本节要求/Requirements/ 理解解的延拓方法。 会应用解的延拓性定理估计解的存在区间。 3.2 Extension Theorem问题提出对于初值问题,)(

2、),(00yxyyxfdxdy,:00byyaxxR,在一定条件下告诉我们上节解存在唯一性定理,0上存在唯一它的解在区间hxx),(),min(),(yxfMaxMMbahRyx这里,),(,区间也应越大解的存在唯一越大的定义域如果根据经验Ryxf.,),(,的这显然是我们不想看到缩小解的存在唯一区间反而的定义域的增大即随着可能出现这种情况但根据定理的结论yxf,0)0(22yyxdxdy例如 初值问题,11, 11:时当取定义域为yxR.2121, 1min hx解的存在唯一区间,22, 22:时当取定义域为yxR.4182, 2min hx解的存在唯一区间1 饱和解及饱和区间定义1上的微分

3、方程对定义在平面区域G) 1 . 3(),(yxfdxdy,),() 1 . 3()(11的连续解定义在区间为方程设xy 且满足有定义上它在区间的另一解若存在方程,),(),() 1 . 3(22xy ),(),(),(),() 1 (11221122但);()(,),()2(11xxx时当.),()()(,),(),(2211的一个延拓在是解并且称解是可延拓的则称解xyxyxxy.,),(),(),(11或饱和解解为方程的一个不可延拓则称解的解若不存在满足上述条件xxyxy.),(11称为一个饱和区间义区间此时把不可延拓解的定2 局部李普希茨(Lipschitz)条件定义2.),(),(),

4、(,),(条件满足局部于内关在则称可能不同大小和常数域对不同的点条件满足关于上在存在内的闭矩形为中心完全含于有以一点内的每且对内连续在区域若函数LipschitzyGyxfLRLipschitzyyxfRRGPPGGyxfPPP对定义2也可如下定义有使对有关与及常数矩形若对上函数对定义在平面区域1 111111111111),(),(),(,| ),(,),(),(RyxyxbayxLGbyyaxxyxRGyxyxfG1),(),(yyLyxfyxf.),(,条件满足局部内关于在则称恒成立LipschitzyGyxf.),(,),(),(条件满足局部内关于在则内连续在及若LipschitzyG

5、yxfGyxfyxfy注一一 、 解的延拓的引入解的延拓的引入1 1 局部利普希兹条件局部利普希兹条件),(yxfdxdy右端函数 f ( x, y ) 在某一有界区域G 中有意义。 如果称 f ( x, y )在G 内满足局部利普希兹条件，即对 区域G内的每一点，存在以其为中心的完全含于G 内的矩形域R，在 R 上 f ( (x, y) ) 满足利普希兹条件。（注意：点不同，域 R 大小和常数 L 可能不同） 3.2 Extension Theorem2 解的延拓解的延拓设, )(baxxy是)2 . 1 . 3.(.)() 1 . 1 . 3().,(00yxyxfdxdy的解，若也是初值

6、问题的解，, )(11baxxy,11baba，当 时，,bax )()(xx则称解 是解 )(x )(x在区间,ba上的延拓延拓。 3.2 Extension Theorem3 延拓方法延拓方法设方程),(yxfdxdy的解)(xy已定义在区间hxx0上， 现取hxx01然后以1Q作一小矩形，使它连同其边界01h使得在区间11hxx,方程),(yxfdxdy有过),(11yx的解)(xy且在1xx 处有)()(xx)()(011hxxy),(11yx中心，都含在区域 G 的内部，再用解的存在唯一性定理，存在由于唯一性，显然解)(xy和解)(xy都在定义的区间11xxhx上， )()(xx 3

7、.2 Extension Theorem区间11hxx上， ),(yxfdxdy有过),(11yx的解)(xy且在1xx 处有)()(xx由于唯一性，显然解)(xy和解)(xy 都在定义的区间11xxhx上， )()(xx但是在区间 11xxhx上， 解)(xy向右方的 延拓，延拓， 即将延拓要较大的区间 100hhxxhx。再令)(,1212hxyhxx如果，Gyx),(22我们又可以取 ),(22yx为中心，作一小矩形, 3.2 Extension Theorem)(,1212hxyhxx可以取 ),(22yx为中心，作一小矩形, 使它连同其边界 都含在区域G 内。仿前,又可以将解延拓到更

8、大的区间 210100hhhxhhxxhx上，其中2h是某一个正常数。对于 x 值减小的一边可以进行同样讨论, 使解向左方延拓。就是在原来的积分曲线)(xy左右端个接上一个积分的曲线段。上述解的延拓的方法还可继续进行。 那么, )(xy向两边延拓的最终情况如何呢? 3.2 Extension TheoremxyO 0 x0y 2xhxx 01112hxx 1hh1x1y2y)(01hxy )(112hxyy ),(00yxP,)(00hxhxxxy ),(11yxQ ,()(,)(10000hhxhxxxhxhxxxy 3 延拓方法 3.2 Extension Theorem二、二、 解的延拓

9、定理及其推论解的延拓定理及其推论1 1 解的延拓定理解的延拓定理如果方程(3.1)右端的函数),(yxf在有界区域 G中连续，且在 G 内满足局部利普希兹条件，那么 方程(3.1)通过G 内任何一点 ),(00yx 的解)(xy可以延拓。 直到点)(,(xx任意接近区域G 的边界。 以向 x 增大的一方的延拓来说，如果 )(xy只能延拓的区间mxx0上，则当mx 时， )(,(xx趋近于区域 G 的边界。 3.2 Extension Theorem2 2 推论推论如果 G 是无界区域，在上面解的延拓定理的条件下, 方程(3.1)的通过点),(00yx的解 )(xy以向 x 增大的一方的延拓来说

10、，有下面的两种情况: 可以延拓，(1) 解)(xy可以延拓到区间),0 x(2) 解)(xy只可以延拓到区间),0mx其中m 为有限数，则当 mx 时，或者 )(xy无界，或者)(,(xx 趋于区域 G 的边界。 3.2 Extension Theorem3 解的延拓定理定理.)(,(,)(),() 1 . 3(.),(,),() 1 . 3(00的边界任意接近直到点可以延拓的解内任一点通过那么方程件条满足局部关于内且在在中连续在有界区域右侧函数如果方程GxxxyyxGLipschitzyyxfGGyxf.)(,( ,)(,0边界的趋于区域时则当上间只延拓到区如果增大的一方来说以向Gxxmxm

11、xxxyx证明初值问题由解存在唯一性定理,),(00Gyx)2(,)(),(00yxyyxfdxdy.),(00hxxxy解的存在唯一区间为存在唯一解则初值问题为心作一小矩形以取,),(),(,11111001GRyxxyhxx)3(,)(),(11yxyyxfdxdy11( ),0.yxxxh存在唯一解解的存在唯一区间为),()(,),()(11xxxx应有在两区间的重叠部分由唯一性定理因),()(111xxxxhx时即当定义函数,),(),()(11000000*hxxhxxhxxhxxx.,),3()(2() 1 . 3()(,1100*上有定义的唯一解在或满足为方程那么hxhxxy.)

12、,()2() 1 . 3(一段在定义区间向右延长了的解满足这样我们已把方程xy,)()()2() 1 . 3(00*的向右方延拓区间在定义为解的解满足即方程hxxxyxy,10000上即将解延拓到较大区间hhxxhx.)( 向左方延拓同样方法可把解xy 以上这种把曲线向左右两方延拓的步骤可一次一次地进行下去.直到无法延拓为止. )()2() 1 . 3(xy的一个解满足即得到 它已经不能向左右两方继续延拓的,即得到了(3.1)的饱和解.最后得到一条长长的积分曲线,推论1上的初值问题对定义在平面区域G.),(,)(),(0000Gyxyxyyxfdxdy其中,),(条件满足局部内连续且关于在若L

13、ipschitzyGyxf则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.推论2为初值问题设)(xy.),(,)(),(0000Gyxyxyyxfdxdy其中.,一定是开区间则该饱和解的饱和区间一个饱和解I证明,不是开区间若饱和区间I,(I设G) )(,(则,)( 还可以向右延拓这样解xy矛盾从而它是非饱和解,同样讨论时对,),I.)(,( ,)(Gxxx时或即推论3有下面的两种情况一方的延拓来说减少增大向以可以延拓的解的通过点方程在上面延拓定理条件下是无界区域如果,)(,)(),() 1 . 3(,00 xxyyxG,)(,)() 1 (00 xxxy可以延拓到区间解Gxxmymxmxmmxxy)(,(

14、,)(,)(,)()2(00或者无界或者时当为有限数其中可以延拓到区间解 例例1 1讨论方程212ydxdy以及通过点 (ln2,-3) 的解的存在区间。解解的通过点(0,0)的解方程右端函数在整个 x y 平面上满足解的存在唯一 性定理及解的延拓定理的条件。xxcecey11方程的通解为通过点(0,0)的解为xxeey11其存在区间为),(通过点(ln2,-3)的解为xxeey11其存在区间为 x0 3.2 Extension Theorem-3(ln2,-3) -1 x y 1 ln2 但向左方只能延拓到 0, 过点(ln2,-3)的解向右可以延拓到xxeey11因为当 0 x时,y这相当

15、于解的延拓定理推论中(2)的第一种情况。注意注意：(无界) 3.2 Extension Theorem 例例2 2讨论方程xdxdyln1的解的存在区间。满足条件0) 1 (y方程右端函数右半平面 x 0 上定义且满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的条件。解解通过点(1,0)的解为xxyln其存在区间为), 0( ，但向左方只能延拓到 0, 向右可以延拓到因为当 0 x时,0lnxxy这相当于解的延拓定理推论中(2)的第二种情况。(趋于G的边界 y=0 ) 3.2 Extension Theorem例例3 用解的延拓定理证明如果 f (x, y)在整个 x y 平面上定义、连续和有界，存在关

16、于 y 的一阶连续偏导数，则方程),(yxfdxdy的任一解均可以延拓到区间 。),(00)(),(yxyyxfdxdy证明证明)(xyKyxf),(KxK)( 3.2 Extension Theorem)(xy所以值域在如图的阴影区内，否则)(xy将穿过直线)(00 xxKyy)(00 xxKyyxyo)(00 xxKyy)(00 xxKyyx0y0)(xyx1则会有Kx )(与Kyxf),(11矛盾。由解的延拓定理推论，方程的任一解均可以延拓到区间 。),( 3.2 Extension Theorem例2 2ydxdy.) 1 , 1 (),0 , 0(的解存在区间通过点中的方程研究定义于

17、带域32x解,),(2处处连续yyxf,条件满足局部且在带域中关于Lipschitzy方程通解为,1xcy. 0:y此外还有解.0, 0)0 , 0(的边界能达到的两端都积分曲线的解为方程过Gyy,21) 1 , 1 (xy的解为方程过, 2x它的左端达到;,2yx时但右端当. 3xG的边界故不能达到,( , )231,( 2,3).f x yx该例题说明 虽然在带形区域中满足定理 的要求 但方程的解都不能够延拓到整个区间上去注).,() 1 . 3(,),(以延拓到区间的解可则方程偏导数的一阶连续同时存在关于连续和有界平面上有定义在整个如果函数yxyyxf 2 设线性方程)()(xQyxpd

18、xdy当 P(x),Q(x) 在区间 上连续，则由任一初值),(),(00yx所确定的解在整个区间上都存在。 ),(0 x),(练习练习1 讨论方程2ydxdy的解的存在区间。上满足条件1) 1 (y31x1) 1 ( yand)3 , 0( ),2 , 1(在 3.2 Extension Theorem思考题思考题1）求方程22yxdxdy满足条件0)0(y的解的逐次逼近),( ),( ),(321xyxyxy以及 h 的最大值。2）设f(x, y)在整个 x y 平面上连续，证明从 两曲线 之间任一点 出发 的且满足方程 的解必xey),(00yx),()(22yxfeydxdyx可延拓到半无限区间 。),(0 x 3.2 Extension Theorem3） 求具有性质)()()()()(sxtxsxtxstx1的函数 x(t)，已知)(0 x存在。解解0 st)()()(010202xxx00 )(xstxstx