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文档简介

1、14.5 第一型曲面积分 (对面积的曲面积分) 2oxyz引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度),(zyx类似求平面薄板质量的思想, 采用kkkkS),(可得nk 10limM),(kkk求质 “分割, 近似和, 取极限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值. 一一. 第一型曲面积分的背景与性质第一型曲面积分的背景与性质Szyxd),( 3定理定理: 设有光滑曲面uvDvuvuzzvuyyvuxx ),(),(),(),(: Sd uvDdudvFEG2),(),(),(vuzvuyvuxr 二、曲面的面积二、曲面的面积 则则曲面的面积曲面的面积其中其中,| uvDvu

2、dudvrr,222uuuzyxrrEuu ,222vvvzyxrrGvv .vuvuvuvuzzyyxxrrF 曲面的曲面的Gauss系数系数4oxyz情形情形1: 光滑曲面光滑曲面yxDyxyxzz),(),(: yxDyxyxzyxzyxdd),(),(122yxD则则曲面的面积曲面的面积 Sd),(,(yxzyxr 特别地特别地, 若若曲面为曲面为,2222Rzyx 则在球坐标系下则在球坐标系下,.sin2ddRdS 5oxyz情形情形2: 光滑曲面光滑曲面, 0),(: zyxH yxDyxyxzyxzyxdd),(),(122 yxD则则曲面的面积曲面的面积 SdzyyzxxHHz

3、HHz ,.),(),(xyDyxyxzz dxdyHHyxDz |6定理定理: 设有光滑曲面设有光滑曲面uvDvuvuzzvuyyvuxx ),(),(),(),(: uvDdudvFEGvuzvuyvuxf2),(),(),(三、对面积的曲面积分的计算法三、对面积的曲面积分的计算法则则曲面积分曲面积分f (x, y, z) 在在 上连续上连续,Szyxfd),(存在, 且有Szyxfd),(7oxyz定理定理: 设有光滑曲面yxDyxyxzz),(),(:f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有Szyxfd),(yxDyxf),(Szyxfd),(),(yxzyxyxzyxzyxd

4、d),(),(122则曲面积分证明证明: 由定义知Szyxfd),(kkkkSf),(nk 10limyxD),(kkkyxk)(8kSyxyxzyxzyxkyxdd),(),(1)(22yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(1220limnk 1yxkkkykkxzz)(),(),(122yxyxzyxzyxfyxDyxdd),(),(1),(22),(yxz),(,(kkkkzf),(,(kkkkzfSzyxfd),(而( 光滑光滑)9说明说明:zyDzyzyxx),(),(zxDzxzxyy),(),(或可有类似的公式. 如果曲

5、面方程为10yxD例例1. 计算曲面积分,dzS其中是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:2222222:hayxDyx221yxzz 222yxaazSd20da0)ln(2122222haraahaaln2yxDyxayxa222dd22022dhararr2aoxzyha11思考思考:若 是球面2222azyx被平行平面 z =h 截出的上下两部分,) (dzS) (dzS0hln4aa则hhoxzy12例2:. 已知曲面壳)(322yxz,22zyx求此曲面壳在平面 z1以上部分 的的面密度质量 M . 解解: 在 xoy 面上的投影

6、为 ,2:22 yxDyx故SMdrrrd41d322020)41d(418162202rryxyxyxDdd)(413221313例3:设 是四面体的表0,0,0,1zyxzyx面, 计算.d)1 (12SyxI解解: 在四面体的四个面上yxz1yxdd3xyxDyx10,10:1zyx11o0 zyxdd0yxzddzxzDxz10,10:0 xzyddzyzDzy10,10:同上平面方程Sd投影域14yyzzd)1 (1d10210 xxzzd)1 (1d102102ln) 13(233yyxxIxd)1 (1d)13(102101zyx11o15xozy例例4. 设2222:azyx)

7、,(zyxf计算.d),(SzyxfI解解: 锥面22yxz的222yxaz.,2122122azayx1设,),(22122ayxyxDyx,22yx ,022yxz当22yxz当与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的投影域为1yxD则 1d)(22SyxI161d)(22SyxIyxDyx)(22rrraraadd202222021)258(614a222yxaayxddxozy1yxD思考思考: 若例4 中被积函数改为),(zyxf,22yx ,022yxz当22yxz当计算结果如何 ? 17例例5. 计算),(dRzSI.:2222Rzyx解解: 取球面坐标

8、系, 则,cos:Rz I0cos)cosd(2RRRRRRln2ddsind2RS 02dcossinRR20d18例例6. 设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度 h = 36000 km, 运行的角速度与地球自转角速度相同, 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比. (地球半径 R = 6400 km )解解: yzxohRR建立坐标系如图, 覆盖曲面 的半顶角为 , 利用球坐标系, 则ddsind2RS 卫星覆盖面积为SAd 0202dsindR)cos1 (22RhRRcoshRhR2219故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为24 RA)(2hRh6610)4 . 636(

9、21036%5 .40由以上结果可知, 卫星覆盖了地球 31以上的面积, 故使用三颗相隔32角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面. yzxohRR20zzd例例7. 计算,d222zyxSI其中 是介于平面之间的圆柱面.222Ryx分析分析: 若将曲面分为前后(或左右)zRSd2d则HzRzRI022d2RHarctan2Hzz,0oHxyz解解: 取曲面面积元素两片, 则计算较繁. 21xyoab四、旋转体的侧面积四、旋转体的侧面积设平面光滑曲线, ,)(1baCxfy求上的圆台的侧面积位于d,xxxsySd2d积分后得旋转体的侧面积xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它绕 x

10、轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .取侧面积元素:)(2xfxxfd)(12xyoab)(xfy abx22xyo)(xfy abxsySd2d侧面积元素xyd2sdxdxyd2因为的线性主部 .若光滑曲线由参数方程)()()(ttytx给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积S 的 )(2ttttd)()(22S注意注意:侧面积为23xRyo例例8. 计算圆上绕在,21222RRxxxRyxx 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .解解: 对曲线弧,2122xxxxRy应用公式得212xxS22xR 2 122xRxxd21d2xxxR)(212xxR当球台高 h2R 时,

11、得球的表面积公式24 RS1x2xozyx24例例9. 求由星形线一周所得的旋转体的表面积 S .解解: 利用对称性2022Sta3sin22 ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin5112022512attacossin32绕 x 轴旋转 taytax33sin,cos25星形线星形线taytax33sin,cosa星形线是内摆线的一种.t点击图片任意处点击图片任意处播放开始或暂停播放开始或暂停大圆半径 Ra小圆半径4ar 参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)26内容小结内容小结1. 定义:Szyxfd),(iiiiSf),(ni 10lim2. 计算: 设,),( , ),(:yxDyxyxzz则Szyxfd),(yxDyxf,(),(yxz)221yxzz yxdd(曲面的其他两种情况类似) 注意利

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