最小生成树算法详解-文档资料

1、1最小生成树算法-prim& Kruskal2生成树的概念q生成树一个连通图的生成树是一个极小连通子图，它含有图中全部顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。生成树不唯一V3V2V4V1V6V5V3V2V4V1V6V5V3V2V4V1V6V5V3V2V4V1V6V5生成树3最小代价生成树q生成树的代价等于其边上的权值之和。生成树的代价等于其边上的权值之和。V4V1V3V2V6V56512665534V4V1V3V2V6V561654V4V1V3V2V6V5125344最小代价生成树F两种常用的构造最小生成树的方法：普里姆算法（prim）克鲁斯卡尔算法（ Kruskal Kruskal）

2、5普里姆(Prim)算法q假设假设N=(VN=(V，E)E)是连通网，是连通网，TETE是是N N上最小生成树中边的集合。上最小生成树中边的集合。q算法从算法从U=uU=u0 0(u(u0 0V)V)，TE=TE=开始，重复执行下述操作：开始，重复执行下述操作：F在所有在所有uUuU，vV-UvV-U的边的边(u(u，v)v)中找一条代价最小的边中找一条代价最小的边(u(u0 0 ,v,v0 0),),将将其并入集合其并入集合TETE，同时将，同时将v v0 0并入并入U U集合。集合。F当当U=VU=V则结束，此时则结束，此时TETE中必有中必有n-1n-1条边，则条边，则T=(VT=(V，

3、TE)TE)为为N N的最小生的最小生成树。成树。q普里姆算法构造最小生成树的过程是从一个顶点普里姆算法构造最小生成树的过程是从一个顶点U=uU=u0 0 作初作初态，不断寻找与态，不断寻找与U U中顶点相邻且代价最小的边的另一个顶点，中顶点相邻且代价最小的边的另一个顶点，扩充到扩充到U U集合直至集合直至U=VU=V为止。为止。6V4V1V3V2V6V56512665534V4V1V3V2V6V512534UV-UV1 V2 ,V3 ,V4 , V5 ,V6 步骤(0)V1 ,V3 V2 ,V4 , V5 ,V6 (1)V1 ,V3 ,V6 V2 ,V4 , V5 (2)V1 ,V3 ,V6

4、 ,V4 V2, V5 (3)V1 ,V3 ,V6 ,V4 ,V2 V5 (4)V1 ,V3 ,V6 ,V4 ,V2 ,V5 (5)最小代价生成树q普里姆算法求最小生成树：从生成树中只有一个顶点开始，到顶点全部进入生成树为止7V4V1V3V2V6V5165V1V31V1 V2 ,V3 ,V4 , V5 ,V6 步骤(0)V1 ,V3 V2 ,V4 , V5 ,V6 (1)UV-Uq普里姆算法求最小生成树：从生成树中只有一个顶点开始，到顶点全部进入生成树为止最小代价生成树8V4V1V3V2V6V565V1V31V1 V2 ,V3 ,V4 , V5 ,V6 步骤(0)V1 ,V3 V2 ,V4 ,

5、 V5 ,V6 (1)V6V1 ,V3 ,V6 V2 ,V4 , V5 (2)46554UV-Uq普里姆算法求最小生成树：从生成树中只有一个顶点开始，到顶点全部进入生成树为止最小代价生成树9V4V1V3V2V6V565V4V1V31V1 V2 ,V3 ,V4 , V5 ,V6 步骤(0)V1 ,V3 V2 ,V4 , V5 ,V6 (1)V6V1 ,V3 ,V6 V2 ,V4 , V5 (2)4655V1 ,V3 ,V6 ,V4 V2, V5 (3)262UV-Uq普里姆算法求最小生成树：从生成树中只有一个顶点开始，到顶点全部进入生成树为止最小代价生成树10V4V1V3V2V6V56V4V1V

6、31V1 V2 ,V3 ,V4 , V5 ,V6 步骤(0)V1 ,V3 V2 ,V4 , V5 ,V6 (1)V2V6V1 ,V3 ,V6 V2 ,V4 , V5 (2)465V1 ,V3 ,V6 ,V4 V2, V5 (3)62V1 ,V3 ,V6 ,V4 ,V2 V5 (4)5UV-Uq普里姆算法求最小生成树：从生成树中只有一个顶点开始，到顶点全部进入生成树为止最小代价生成树11V4V1V3V2V6V5V4V1V31V1 V2 ,V3 ,V4 , V5 ,V6 步骤(0)V1 ,V3 V2 ,V4 , V5 ,V6 (1)V2V6V5V1 ,V3 ,V6 V2 ,V4 , V5 (2)4

7、6V1 ,V3 ,V6 ,V4 V2, V5 (3)62V1 ,V3 ,V6 ,V4 ,V2 V5 (4)5V1 ,V3 ,V6 ,V4 ,V2 ,V5 (5)33UV-Uq普里姆算法求最小生成树：从生成树中只有一个顶点开始，到顶点全部进入生成树为止最小代价生成树12q普里姆算法求最小生成树：从生成树中只有一个顶点开始，到顶点全部进入生成树为止V4V1V3V2V6V5V4V1V31V1 V2 ,V3 ,V4 , V5 ,V6 步骤(0)V1 ,V3 V2 ,V4 , V5 ,V6 (1)V2V6V5V1 ,V3 ,V6 V2 ,V4 , V5 (2)4V1 ,V3 ,V6 ,V4 V2, V5

8、 (3)2V1 ,V3 ,V6 ,V4 ,V2 V5 (4)5V1 ,V3 ,V6 ,V4 ,V2 ,V5 (5)3UV-U最小代价生成树13普里姆(Prim)算法生成树中只放置一个顶点在关联生成树顶点的边中（即边的一个顶点在生成树中，另一个顶点不在）取权值最小者将选中的边加入生成树，同时将该边的关联顶点加入生成树中生成树中顶点数小于n?是否结束开始14l从键盘（或数据文件）输入图的信息，用普里姆算法求解从键盘（或数据文件）输入图的信息，用普里姆算法求解给定无向连通图的最小生成树，最后输出最小生成树中的给定无向连通图的最小生成树，最后输出最小生成树中的权值和所有的边，图的存储结构自行设定。权值

9、和所有的边，图的存储结构自行设定。基本要求基本要求F例如 下图的输出为weight：15(v1, v3) (v3, v6) (v6, v4) (v3, v2) (v2, v5)或者(1, 3) (3, 6) (6, 4) (3, 2) (2, 5)15普里姆算法的实现q顶点集合如何表示？顶点集合如何表示？q最小边如何选择？最小边如何选择？q一个顶点加入一个顶点加入U U集合（生成树中）集合（生成树中） 如何表示？如何表示？struct int adjvex; double lowcost;closedgeMAX_VERTEX_NUM;closedgei.adjvex=kclosedgei.lo

10、wcost顶点i与顶点k邻接顶点k已经在U集合中顶点i加入U集合时= 016adjvexlowcostv16v11v15v1v2,v3,v4,v5,v63v2v3v4v5v6UV-Uk 顶点iclosedgeclosedge2.adjvex=1 .lowcost=6closedge3.adjvex=1 .lowcost=1closedge4.adjvex=1 .lowcost=5V4V1V3V2V6V5165F当当U U集合中加入一个新顶点时，集合中加入一个新顶点时，V-UV-U集合中的顶点到集合中的顶点到U U的最小代价边可能会更新的最小代价边可能会更新V4V1V3V2V6V56512665

11、534U集合的成员：V-U集合的成员：closedge5.adjvex=1 .lowcost=closedge6.adjvex=1 .lowcost=17adjvexlowcostv16v11v15v1v2,v3,v4,v5,v63adjvexlowcostv350v15v36v34v1,v3v2,v4,v5,v66v2v3v4v5v6UV-Uk 顶点iclosedgeV4V1V3V2V6V55564U集合的成员：V-U集合的成员：F当当U U集合中加入一个新顶点时，集合中加入一个新顶点时，V-UV-U集合中的顶点到集合中的顶点到U U的最小代价边可能会更新的最小代价边可能会更新V4V1V3V

12、2V6V56512665534closedge2.adjvex=3 .lowcost=5closedge4.adjvex=1 .lowcost=5closedge5.adjvex=3 .lowcost=6closedge6.adjvex=3 .lowcost=418adjvexlowcostv16v11v15v1v2,v3,v4,v5,v63adjvexlowcostv350v15v36v34v1,v3v2,v4,v5,v66adjvexlowcostv350v62v360v1,v3,v6v2,v4,v5 4v2v3v4v5v6UV-Uk 顶点iclosedgeV4V1V3V2V6V5562V

13、4V1V3V2V6V56512665534F当U集合中加入一个新顶点时，V-U集合中的顶点到U的最小代价边可能会更新U集合的成员：V-U集合的成员：closedge2.adjvex=3 .lowcost=5closedge4.adjvex=6 .lowcost=2closedge5.adjvex=3 .lowcost=619adjvexlowcostv16v11v15v1v2,v3,v4,v5,v63adjvexlowcostv350v15v36v34v1,v3v2,v4,v5,v66adjvexlowcostv350v62v360v1,v3,v6v2,v4,v5 4adjvexlowcost

14、v3500v360v1,v3,v6,v4v2,v5 v2v3v4v5v6UV-Uk 顶点iclosedge2V4V1V3V2V6V556F当U集合中加入一个新顶点时，V-U集合中的顶点到U的最小代价边可能会更新U集合的成员：V-U集合的成员：V4V1V3V2V6V56512665534closedge2.adjvex=3 .lowcost=5closedge5.adjvex=3 .lowcost=620adjvexlowcostv16v11v15v1v2,v3,v4,v5,v63adjvexlowcostv350v15v36v34v1,v3v2,v4,v5,v66adjvexlowcostv3

15、50v62v360v1,v3,v6v2,v4,v5 4adjvexlowcostv3500v360v1,v3,v6,v4v2,v5 2adjvexlowcost000v230v1,v3,v6,v4,v2v5 v2v3v4v5v6UV-Uk 顶点iclosedge5V4V1V3V2V6V53F当U集合中加入一个新顶点时，V-U集合中的顶点到U的最小代价边可能会更新V4V1V3V2V6V56512665534U集合的成员：V-U集合的成员：21adjvexlowcostv16v11v15v1v2,v3,v4,v5,v63adjvexlowcostv350v15v36v34v1,v3v2,v4,v5

16、,v66adjvexlowcostv350v62v360v1,v3,v6v2,v4,v5 4adjvexlowcostv3500v360v1,v3,v6,v4v2,v5 2v2v3v4v5v6UV-Uk 顶点iclosedgeV4V1V3V2V6V5adjvexlowcost00000v1,v3,v6,v4,v2,v5adjvexlowcost000v230v1,v3,v6,v4,v2v5 514253U集合的成员：V-U集合的成员：V4V1V3V2V6V5651266553422 图采用邻接矩阵表示普里姆算法求最小生成树普里姆算法求最小生成树 6 1 5 6 5 3 1 5 5 6 4 5

17、5 2 3 6 6 4 2 6 1234561 2 3 4 5 6graph. arac = 23 #include #include #include #define INIT 63355 #define NUM 20 using namespace std; typedef int Elemtype; typedef struct Tnode Elemtype vexNUM; int aracNUMNUM; int v,e; graph; void Init_Graph(graph &g) for(int i = 1;i=g.v;i+) for(int j = 1;j=g.v;j+

18、) g.aracij = INIT; void Create_Graph(graph &g) cout输入顶点,边数目:g.vg.e; Init_Graph(g); cout输入顶点信息:endl; for(int i = 1;ig.vexi; cout输入顶点间下标和权值:endl; int k,t,w; for(int i = 1;iktw; g.arackt = w; g.aractk = g.arackt; 24 void Prim(graph &g) int min_cost = 0; int lowcostNUM; /当前最短距离 int closestNUM; /

19、顶点的相邻顶点(closesti则为i的邻接点) int sNUM; /标志访问节点 for(int i = 1;i=g.v;i+) closesti = 1; /初始置各顶点得邻接点为1 lowcosti = g.arac1i; /初始置各顶点的最短距离为1到顶点的距离 si = 0; for(int i = 1;ig.v;i+) int min = INIT; /min初始化无穷大 int j = 1; for(int k = 2;k=g.v;k+) if(lowcostkmin&!sk) /找出与源点相连,且权值最小的顶点 min = lowcostk; j = k; min_c

20、ost+=min; coutclosestjjendl; /输出符合最小生成树的顶点 sj = 1; /已访问顶点置1 for(int t = 2;t=g.v;t+) if(g.aracjtlowcostt&!st) /从新添加的顶点j出发,将与j相邻的顶点间的权值 /与上一顶点的相邻顶点间的权值进行比较。选出最小权值和相应顶点. lowcostt = g.aracjt; closestt = j; cout最小生成树得最短路径为:min_costendl; 25KruskalKruskal最小生成树KruskalKruskal算法步骤：算法步骤：5642311653465265a.带权图此算法可以称为“加边法”，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里。1. 把图中的所有边按代价（权值）从小到大排序；2.将图中的所有边都去掉。 3.将边按权值从小到大的顺序添加到图中，保证添加的过程中不会形成环 （用并查集检测 ）4. 重复(3),直到所有顶点都在一颗树内或者有n-1条边为止。261KruskalKrus