8状态变量与状态方程

1、第八章第八章 系统的状态变量分析系统的状态变量分析 前面几章的分析方法称为前面几章的分析方法称为外部法外部法，它强调用系统，它强调用系统的输入、输出之间的关系来描述系统的特性。的输入、输出之间的关系来描述系统的特性。其其特点特点：（1）适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系）适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出系统，将增加复杂性；统，将增加复杂性；（2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的内部情况一无所知，也无法控制。内部情况一无所知，也无法控制。 本章将介绍的本章将介绍的内部法内部法状态变量法状态变量法是用是用n个状态个状态变量的一阶

2、微分或差分方程组（状态方程）来描述系变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）来描述系统。统。优点优点有：有：（1）提供系统的内部特性以便研究。）提供系统的内部特性以便研究。（2）便于分析多输入多输出系统；）便于分析多输入多输出系统；（3）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用于时变系统和非线性系统。于时变系统和非线性系统。 内部法内部法状态变量法状态变量法8.1 状态变量与状态方程状态变量与状态方程一、状态与状态变量的概念一、状态与状态变量的概念从一个电路系统实例引入从一个电路系统实例引入R1R2L1L2iL1iL2iCuCus1us2au以以u(

3、t)和和iC(t)为输出为输出 若还想了解内部三个若还想了解内部三个变量变量uC(t), iL1(t), iL2(t)的变化情况。的变化情况。这时可列出方程这时可列出方程0dd12LLCiituCa0dd11111SCLLuutiLiR0dd22222CSLLuuiRtiL222222211111112111dd11dd11ddSLCLSLCLLLCuLiLRuLtiuLiLRuLtiiCiCtu 222222211111112111dd11dd11ddSLCLSLCLLLCuLiLRuLtiuLiLRuLtiiCiCtuR1R2L1L2iL1iL2iCuCus1us2au 这是由三个内部变量

4、这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和和iL2(t)构成的一构成的一阶微分方程组。阶微分方程组。 若初始值若初始值uC(t0)、iL1(t0)和和iL2(t0)已知，则根据已知，则根据tt0时时的给定激励的给定激励uS1(t)和和uS2(t)就可惟一地确定在就可惟一地确定在tt0时的解时的解uC(t)、iL1(t)和和iL2(t)。 )()()()()()(21222titititutiRtuLLCSL 系统的输出容易地由三系统的输出容易地由三个内部变量和激励求出：个内部变量和激励求出：一组代数方程一组代数方程 状态与状态变量的定义状态与状态变量的定义 系统在某一时刻系统在某一时刻t0的

5、的状态状态是指表示该系统所必需是指表示该系统所必需最最少的一组数值少的一组数值，已知这组数值和，已知这组数值和tt0时系统的激励，时系统的激励，就能完全确定就能完全确定tt0时系统的全部工作情况。时系统的全部工作情况。 状态变量状态变量是描述状态随时间是描述状态随时间t 变化的一组变量，变化的一组变量，它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态状态。222222211111112111dd11dd11ddSLCLSLCLLLCuLiLRuLtiuLiLRuLtiiCiCtu 对对n阶动态系统需有阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用个独立的状态变量，通常

6、用x1(t)、x2(t)、xn(t)表示。表示。 说明说明：（1）系统中任何响应均可表示成状态变量及输入）系统中任何响应均可表示成状态变量及输入的线性组合；的线性组合；（2）状态变量应线性独立；）状态变量应线性独立；（3）状态变量的选择并不是唯一的）状态变量的选择并不是唯一的 。在初始时刻的值称为在初始时刻的值称为初始状态初始状态。二、状态方程和输出方程二、状态方程和输出方程在选定状态变量的情况下在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时，用状态变量分析系统时，一般分一般分两步两步进行：进行：（1）第一步第一步是根据系统的初始状态求出状态变量；是根据系统的初始状态求出状态变量； （2）第二

7、步第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的是用这些状态变量来确定初始时刻以后的系统输出。系统输出。 状态变量状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方是通过求解由状态变量构成的一阶微分方程组来得到，该程组来得到，该一阶微分方程组一阶微分方程组称为称为状态方程状态方程。 状态方程状态方程描述了描述了状态变量的一阶导数状态变量的一阶导数与与状态变量和状态变量和激励激励之间的关系之间的关系 。 而描述而描述输出输出与状态变量和激励之与状态变量和激励之间关系的一组间关系的一组代数方程代数方程称为称为输出方程输出方程 。通常将状态方程和输出方程总称为通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程动

8、态方程或系统方程。 动态方程的一般形式 n阶多输入阶多输入-多输出多输出LTI连续系统，如图连续系统，如图 。xi(t0)f1(t)f2(t)fp(t)y1(t)y2(t)yq(t)其状态方程和输出方程为其状态方程和输出方程为 pnpnnnnnnnnppnnppnnfbfbfbxaxaxaxfbfbfbxaxaxaxfbfbfbxaxaxax22112211222212122221212121211112121111pqpqqnqnqqqppnnppnnfdfdfdxcxcxcyfdfdfdxcxcxcyfdfdfdxcxcxcy22112211222212122221212121211112121111矩阵形式矩阵形式状态方程状态方程)()()(tttBfAxx输出方程输出方程)()()(tttDfCxy其中其中A为为nn方阵，称为方阵，称为系统矩阵系统矩阵，B为为np矩阵，称为矩阵，称为控制矩阵控制矩阵，C为为qn矩阵，称为矩阵，称为输出矩阵输出