第5章电磁场讲义

1、1第五章第五章 时变电磁场时变电磁场静电场：由静止的且其电量不随时间变化的电荷所产生的电场称为静电场；静电场与时间无关，仅是空间位置的函数。o 恒定磁场：由恒定电流所产生的磁场称为恒定磁场；恒定磁场与时间无关，仅是空间位置的函数。o 静电场和恒定磁场都不随时间变化，统称为静电场和恒定磁场都不随时间变化，统称为静态场。静态场。o静态场的突出特点：电场和磁场各自独立，即：在静电场静态场的突出特点：电场和磁场各自独立，即：在静电场的区域中可以没有恒定磁场，反之亦然。的区域中可以没有恒定磁场，反之亦然。2时变电磁场由q(x,y,z,t)产生的电场-E(x,y,z,t)o由J(x,y,z,t)产生的磁场

2、H(x,y,z,t)o随时间变化的电磁场称为随时间变化的电磁场称为时变电磁场时变电磁场o时变电磁场时变电磁场特点：特点：随时间变化的电场可以产生磁场，随随时间变化的电场可以产生磁场，随时间变化的磁场也可以产生电场，电场和磁场成为不可时间变化的磁场也可以产生电场，电场和磁场成为不可分割的、统一的整体。分割的、统一的整体。3本章内容本章内容5.1节节 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律5.2节节 位移电流位移电流5.3节节 麦克斯韦方程麦克斯韦方程5.4节节 坡印廷定理与坡印廷矢量坡印廷定理与坡印廷矢量5.5节节 电磁场的位函数及其方程电磁场的位函数及其方程 5.6节节 时谐电磁场时谐电磁场 5

3、.7节节 波动方程波动方程 4B-+5.1 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律 当穿过线圈所包围面积的磁通发生变化时，线圈回路中当穿过线圈所包围面积的磁通发生变化时，线圈回路中将会感应一个电动势将会感应一个电动势(法拉第定律法拉第定律)。感应电动势在闭合回路中引起的感应电动势在闭合回路中引起的感应电流的方向是使它所产生的感应电流的方向是使它所产生的磁场阻止回路中磁通的变化磁场阻止回路中磁通的变化( (楞楞次定律次定律) )。当通过线圈回路的磁通量减少，当通过线圈回路的磁通量减少，则闭合回路中的电流的方向？则闭合回路中的电流的方向？51.法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律SttSB dddd

4、dn法拉第定律和法拉第定律和楞次定律楞次定律的结合就是的结合就是法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律.n由第由第2章知道，感应电动势由导体内的感应电场来维持章知道，感应电动势由导体内的感应电场来维持ClEind感应电动势感应电动势62. 定律的物理意义定律的物理意义SCSBlEddttBEn如果空间中同时存在由静止电荷产生的保守电场如果空间中同时存在由静止电荷产生的保守电场Ec，则总电场则总电场E=Ein+Ec。SCtSBlEdddd电场沿闭合路径的积分为电场沿闭合路径的积分为n如果线圈是静止的，则如果线圈是静止的，则n其微分形式其微分形式时变场中，电场不再是无时变场中，电场不再是无旋场，且变

5、化的磁场激发旋场，且变化的磁场激发电场电场. 引起回路磁通的引起回路磁通的变化的原因？变化的原因？1. B随时间变化随时间变化2. 闭合路径所包围的闭合路径所包围的面积随时间变化面积随时间变化3. 两者的组合两者的组合7结论结论Faladay 电磁感应定律说明了随时间电磁感应定律说明了随时间变化的磁变化的磁场可以激发电场，场可以激发电场，或者说变化的磁场也是电场或者说变化的磁场也是电场的源。的源。那么反过来，随时间变化的电场能否激发磁场那么反过来，随时间变化的电场能否激发磁场呢？呢？8S S5.2位移电流位移电流 tiCSSJlHdd但若考虑同一路径但若考虑同一路径C所包围的包含电容器极板的另

6、一个开所包围的包含电容器极板的另一个开曲面曲面S ，由于电容器内传导电流等于零，故由于电容器内传导电流等于零，故CSSJlH0dd由安培定律得由安培定律得i(t)C一个电容器与时变电源相连一个电容器与时变电源相连如果选择一个如果选择一个闭合路径闭合路径C所包围所包围的电容器外的开曲面的电容器外的开曲面S 显然，上两式相矛显然，上两式相矛盾。电容器中必然盾。电容器中必然有电流存在有电流存在! !91.位移电流位移电流(displacement current) S SJS dqddtqdSSSDS SS SS SDJSSJSddddttdDJn再对上式应用再对上式应用高斯定理高斯定理n位移电流密

7、度位移电流密度单位为单位为A/m2对于对于S和和S 构成的闭合面，应用构成的闭合面，应用电电流连续性方程流连续性方程 ，有，有S S i(t)n由于这电流不能由传导产生，在电容器的两极板间存在由于这电流不能由传导产生，在电容器的两极板间存在着另一种电流着另一种电流位移电流位移电流。102.安培定律的修正安培定律的修正(全电流定律全电流定律)SDJlHCSdd ttDJHn一般来说，空间同时存在一般来说，空间同时存在传导电流传导电流和和位移电流位移电流n安培定律的修正形式为安培定律的修正形式为n其微分形式为其微分形式为位移电流产生磁效应代表了随时位移电流产生磁效应代表了随时间变化的电场能够产生磁

8、场。间变化的电场能够产生磁场。 正是由于这一项的存在，使麦克斯韦能够预言电磁场将在空间以正是由于这一项的存在，使麦克斯韦能够预言电磁场将在空间以波的形式传播。在波的形式传播。在1880年，赫兹年，赫兹(Hertz)用实验证明了电磁波的存在。用实验证明了电磁波的存在。自此为人类无线通信技术打开了大门。自此为人类无线通信技术打开了大门。11结论时变电场和电流均可以产生磁场；时变电场和电流均可以产生磁场；时变磁场和电荷均可以产生电场；时变磁场和电荷均可以产生电场；12例5-1n海水的电导率为海水的电导率为4S/m，相对介电常数为，相对介电常数为81，求频率为，求频率为1MHz时位移时位移电流与传导电

9、流的比值。设电场是正弦变化电流与传导电流的比值。设电场是正弦变化tExcos0aE tEtxdsin0aDJ3910125. 1410361812fJJcmdmn解：解： 根据位移电流的定义根据位移电流的定义0EJdm位移电流的幅值为位移电流的幅值为0EJcm而传导电流的幅值为而传导电流的幅值为n位移电流与传导电流的比值为位移电流与传导电流的比值为如果频率为1GHz?10GHz?135.3 麦克斯韦方程及边界条件麦克斯韦方程及边界条件 本节要点本节要点n麦克斯韦方程麦克斯韦方程n边界条件边界条件积分形式微分形式物理意义电介质电介质电介质理想导体标量边界条件矢量边界条件141.麦克斯韦方程麦克斯

10、韦方程(Maxwell equations) n麦克斯韦方程是麦克斯韦方程是经典电磁理论的核心，经典电磁理论的核心，它包括四个方程它包括四个方程n习惯上把上述四个方程依次称为麦克斯韦第一、二、三、四方程。习惯上把上述四个方程依次称为麦克斯韦第一、二、三、四方程。 n上式称为麦克斯韦方程的非限定形式，适用于任意媒质上式称为麦克斯韦方程的非限定形式，适用于任意媒质。SDJlHCSdd tSCtSBlEdd0dSSBqSSD dt DJHt BE0 BVD15t DJHt BE0 BVD2.麦克斯韦方程的物理意义麦克斯韦方程的物理意义第一方程，表明传导电流和变化的第一方程，表明传导电流和变化的电场都

11、能产生磁场电场都能产生磁场第二方程，表明变化的磁第二方程，表明变化的磁场产生电场场产生电场第三方程表明磁场是无源第三方程表明磁场是无源场，磁感线总是闭合曲线场，磁感线总是闭合曲线麦克斯韦第四方程，表麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场明电荷产生电场163.时变电磁场的边界条件时变电磁场的边界条件 021EEn021BBnSDDn21两种不同媒质的分界面上各场量所满足的方程称为两种不同媒质的分界面上各场量所满足的方程称为边界条件。边界条件。222,111,n推导过程静推导过程静态场相似态场相似SJHHn21174.边界条件边界条件(boundary conditions)01111BnDnJHnE

12、nSS0n若媒质若媒质1为理想介质，媒质为理想介质，媒质2为理想导体，为理想导体，则边界条件为则边界条件为n对于时变场中的理想导体，电场总是对于时变场中的理想导体，电场总是与理想导体相垂直，而磁场总是与理与理想导体相垂直，而磁场总是与理想导体相切。想导体相切。n导体内部既没有电场也没有磁场导体内部既没有电场也没有磁场。EH导体导体18边界条件边界条件若媒质若媒质1、2均为理想介质均为理想介质021EEn021BBn021DDn021HHn19例5-2 xktzdExycossin0aEttHBE0n在两导体平板在两导体平板(z=0和和z=d)之间的空气中传播的电磁波，之间的空气中传播的电磁波，

13、已知其电场强度已知其电场强度试求试求n磁场强度磁场强度H；n这个电磁场满足的边界条件如何？这个电磁场满足的边界条件如何？n求两导体表面的电流密度求两导体表面的电流密度JS。n解：解： 由麦克斯韦第二方程由麦克斯韦第二方程zxz=0z=d20例5-2xktEdxyzzsin000aHaJSxktEdxydzzsin00aHaJSxktzdEdxktzdEkxxx0 xzsincoscossin000aaH得得由在两理想导体表面切向电场和法向磁场均等于零的边界条件得由在两理想导体表面切向电场和法向磁场均等于零的边界条件得n两导体表面的电流密度分别为两导体表面的电流密度分别为结论：电磁波结论：电磁波

14、可被限制在一可被限制在一定的区域内传定的区域内传输，这就是平输，这就是平行板波导的原行板波导的原理。理。zxz=0z=d215.4 坡印廷定理与坡印廷矢量坡印廷定理与坡印廷矢量本节要点本节要点n电磁场能量电磁场能量n坡印廷定理和坡印廷矢量坡印廷定理和坡印廷矢量n时变电磁场的唯一性定理时变电磁场的唯一性定理221.坡印廷定理坡印廷定理(Poyntings theorem) n设设V内既没有电荷也没有电流，充满线性、各向同性的导内既没有电荷也没有电流，充满线性、各向同性的导电媒质，区域内的电场和磁场分别为电媒质，区域内的电场和磁场分别为E和和H，电场在其中引，电场在其中引起的传导电流为起的传导电流

15、为J= EVE，H,此为适合任意媒此为适合任意媒质的坡印廷定理质的坡印廷定理 tttBABABA利用恒等式BHDE2121wVttddVSEJDEBHSHEtwttDEBH实质上，实质上，坡印廷定理是能量守恒定律在电磁问题中的具体表现。坡印廷定理是能量守恒定律在电磁问题中的具体表现。d11() d()ddd22SVVVVtE HSE DH BE J23VE，H,其中其中： 单位时间内体积单位时间内体积V 中所增加中所增加 的电磁能量。的电磁能量。 单位时间内电场对体积单位时间内电场对体积V中的电流所做的功；中的电流所做的功； 在导电媒质中，即为体积在导电媒质中，即为体积V内总的损耗功率。内总的

16、损耗功率。 通过曲面通过曲面S 进入体积进入体积V 的电磁功率。的电磁功率。积分形式积分形式：d11() d()ddd22SVVVVtE HSE DH BE JdVVE Jd11()dd22VVtE DH B() dSE HS 坡坡印廷定理各项物理意义印廷定理各项物理意义244.坡印廷矢量坡印廷矢量HESn单位为单位为W/m2，它的方向表示该点功率流的方向。，它的方向表示该点功率流的方向。n其方向总是与考察点处的电场其方向总是与考察点处的电场E和和H磁场相垂直，且磁场相垂直，且E、H、 S三者成右手螺旋关系；三者成右手螺旋关系；n时变电磁场中，时变电磁场中，S=E H代表瞬时功率流密度，它在任

17、意代表瞬时功率流密度，它在任意截面积上积分代表瞬时功率。截面积上积分代表瞬时功率。坡印廷矢量坡印廷矢量(Poynting vector)EHS它的数值表示单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单它的数值表示单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位面积的能量。位面积的能量。25 例例4.3.1 同轴线的内导体半径为同轴线的内导体半径为a 、外导体的内半径为、外导体的内半径为b，其间，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U ，导体中流过的电，导体中流过的电流为流为I 。（。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的）在导体为理想导体的情况下，计算同

18、轴线中传输的功率；（功率；（2）当导体的电导率）当导体的电导率为有限值时，计算通过内导体表面为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。进入每单位长度内导体的功率。同轴线同轴线26 解：解：（1）理想导体的情况下，电场和磁场只存在于内外导体）理想导体的情况下，电场和磁场只存在于内外导体之间的理想介质中，导体表面电场无切向分量，只有电场的径向之间的理想介质中，导体表面电场无切向分量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内外导体之间的分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内外导体之间的电场和磁场分别为电场和磁场分别为,ln()UEeb a()ab2IHe2 (

19、)ln()22ln()zUIUISEHeeeb ab a内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（理想导体情况）同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（理想导体情况）272d2 d2ln()bzSaUIPS eSUIb a 穿过任意横截面的功率为穿过任意横截面的功率为（1）结论沿同轴线传输的功率等于电压和电流的乘积，沿同轴线传输的功率等于电压和电流的乘积，这与电路理论中的结果是一致的。这与电路理论中的结果是一致的。值得注意的是：这个结果是在不包括导体本身值得注意的是：这个结果是在不包括导体本身在内的横截面上积分得到的。可见，由理想导在内

20、的横截面上积分得到的。可见，由理想导体构成的同轴线在传输能量时，功率全部是从体构成的同轴线在传输能量时，功率全部是从内外导体之间的绝缘空间中通过的，导体本身内外导体之间的绝缘空间中通过的，导体本身并不传输能量。并不传输能量。28 （2）当导体的电导率）当导体的电导率为有限值时，导体内部存在沿电流方为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场向的电场内内2zJIEea根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即因此，在内导体表面外侧的电场为因此，在内导体表面外侧的电场为zzEE外 内2ln()zaUIEeeab aa外2aIHea外磁场则仍为磁

21、场则仍为内导体表面外侧的坡印廷矢量为内导体表面外侧的坡印廷矢量为2223()2ln()2外外外zaaUIISEHeeab aa同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）（非理想导体情况）2922122320()d2 d2SaIIPSSa zRIaa e外21Ra式中式中 是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。由此可见，内导体表面外由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如分量，也有径向分量，如

22、图所示。图所示。进入每单位长度进入每单位长度内导体的功率为内导体的功率为 以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）（非理想导体情况）305 惟一性定理惟一性定理 在以闭曲面在以闭曲面S为边界的有界区域为边界的有界区域V 内，内，如果给定如

23、果给定t0 时刻的电场强度和磁场强度时刻的电场强度和磁场强度的初始值，并且在的初始值，并且在 t 0 时，给定边界面时，给定边界面S上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在 t 0 时，区域时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。 惟一性定理的表述惟一性定理的表述 在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界

24、区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。克斯韦方程的解的惟一问题。 惟一性问题惟一性问题VS315.6 时谐电磁场时谐电磁场本节要点本节要点n时谐电磁场的相时谐电磁场的相 量表示法量表示法 n麦克斯韦方程的相量形式麦克斯韦方程的相量形式 n复坡印廷矢量复坡印廷矢量n平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量321.时谐电磁场的相量表示法时谐电磁场的相量表示法 tz,y,x,Etz,y,x,Etz,y,x,Etz,y,x,zzyyxxaaaEzy,x,tzy,x,Etz,y,x,Ezy,x,tzy,x,Etz,y,x,Ez

25、y,x,tzy,x,Etz,y,x,Ezzmzyymyxxmxcoscoscosn时间简谐时间简谐(时谐时谐)场场(time-harmonic field)n时谐电磁场可以用时谐电磁场可以用相量分析法相量分析法。n在直角坐标系中，任意时谐电场强度在直角坐标系中，任意时谐电场强度E可表示为可表示为n式中激励源以单一频率随时间作正弦变化激励源以单一频率随时间作正弦变化332.电场强度的相量表达式电场强度的相量表达式zy,x,txmxxzy,x,Etz,y,x,EjeRetymyEtz,y,x,EjeRetzmzEtz,y,x,EjeRetmzy,x,tz,y,x,jeRe EEn每一坐标分量都可以

26、写成每一坐标分量都可以写成txmtxmEExjjjeReeeRe它只是空间坐标的函数，与时间无关。它只是空间坐标的函数，与时间无关。tz,y,x,Etz,y,x,Etz,y,x,Etz,y,x,zzyyxxaaaEzmzymyxmxmEEEaaaE电场强度的复振幅矢量电场强度的复振幅矢量电场强度的相量表达式时间因子，反映了电场强度随时间变化的规律jexxmE34相量表达式相量表达式其它场分量也写成相量形式其它场分量也写成相量形式tVmtmtmtmtmzy,x,tz,y,x,zy,x,tz,y,x,zy,x,tz,y,x,zy,x,tz,y,x,zy,x,tz,y,x,jjjjje )(Re)(

27、e )(Re)(e )(Re)(e )(Re)(e )(Re)(VJJBBHHDD可见：只要已知场量的复振幅矢量，将其乘以时间因子可见：只要已知场量的复振幅矢量，将其乘以时间因子ej t，再取实部就可，再取实部就可得到场量的瞬时值表达式。因此，以后一般只研究场量的复振幅。得到场量的瞬时值表达式。因此，以后一般只研究场量的复振幅。这样做的好处是这样做的好处是: :将一个四维变量将一个四维变量变成了三维变量变成了三维变量! ! 35例5-4 zx2jje2eaE zkxEj0ej aEkztEkztEyxsin2cos00aaEtzxtzyxj2jjeee2Re,aEtkzxEtzyxj2j0ee

28、Re,aEkzyxEj0ej2aaEn将下列用相量形式表示的场矢量变换成瞬时值，或作相反的变换。将下列用相量形式表示的场矢量变换成瞬时值，或作相反的变换。n解解ztx2cos2a2cos0kztExa363.麦克斯韦方程的相量形式麦克斯韦方程的相量形式 jj0mmmmmmmmHJDEBBD n不难看出：当用相量形式表示后，麦克斯韦方程中的场量和场源都不难看出：当用相量形式表示后，麦克斯韦方程中的场量和场源都由由四维变成了三维，偏微分方程变成了代数方程，使问题简化了。四维变成了三维，偏微分方程变成了代数方程，使问题简化了。t DJHt BE0 BD从形式上讲，只要把微分算子从形式上讲，只要把微分

29、算子 用用 代替，就可以把时谐电磁代替，就可以把时谐电磁场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量的麦克斯韦方程的麦克斯韦方程jtjj0HJDEBBD 为了方便，表示复数的为了方便，表示复数的符号符号“”和和下标下标m均省均省去去tj( , )( )mf r tfr374. 复坡印廷矢量复坡印廷矢量 ttttttttj*jjj*jjee21eReee21eReHHHHEEEEn 为为复坡印廷矢量复坡印廷矢量，它与时间无关，代表复功，它与时间无关，代表复功率流密度。率流密度。*21HES tttHESn对于时谐电磁场，其电场强

30、度和磁场强度用相量表示为对于时谐电磁场，其电场强度和磁场强度用相量表示为n将其代入坡印廷矢量的瞬时表达式，有将其代入坡印廷矢量的瞬时表达式，有tHEHE2j*eRe21Re21复振幅而不是有效值复振幅而不是有效值385.平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量 SHESSavRe21Red1*0TttTn例例5-5已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度复已知无源的自由空间中，时变电磁场的电场强度复矢量为矢量为 kzyEzj0e aEHE0jn将坡印廷矢量在一个周期内求平均值，得平均坡印廷矢量将坡印廷矢量在一个周期内求平均值，得平均坡印廷矢量n磁场强度复矢量；磁场强度复矢量；n坡印廷矢量的瞬时值；坡印廷

31、矢量的瞬时值；n平均坡印廷矢量。平均坡印廷矢量。n解：解： 由由39例5-5（续）EH0j1kztEktztztzz2200cos,aHES zzav*HESRe21kzxEkj00eakzyzEzj00ej1aan坡印廷矢量的瞬时值为坡印廷矢量的瞬时值为n平均坡印廷矢量为平均坡印廷矢量为20021Ekza40小结时谐电磁场的定义及其表达相量表达与时间表达之间的转换麦克斯韦方程的相量表达复坡印廷矢量坡印廷矢量平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量415.7 波动方程波动方程 本节要点本节要点n一般波动方程一般波动方程n亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 421.一般波动方程一般波动方程(general wave equation)设媒质为线性设媒质为线性(linear)、均匀、均匀(homogeneous)和各向同性和各向同性(isotropic)的无源媒质，其介电常数为的无源媒质，其介电常数为 、磁导率为、磁导率为 、电导率、电导率 ，则麦克斯韦，则麦克斯韦方程组为方程组为 00DBHEEEHtt0 E0 H02EEEE和利用t HE222ttEEE222ttHHH类似的推导可得类似的推导可得 在二阶微分方程中，一阶项的在二阶微分方程中，一阶项的存在表明电磁场在导