第4讲 全概率与贝叶斯公式

1、第四讲第四讲应用概率统计应用概率统计 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 几何概型几何概型 全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。式和乘法公式的综合运用。 综合运用综合运用加法公式加法公式P(AB)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)0 1. 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式 引例引例 有三个箱子有三个箱子, 分别编号分别编号1, 2, 3。1号号箱装有箱装有1红球红球, 4白球白球; 2

2、号箱装有号箱装有2红球红球, 3白球白球; 3号箱装有号箱装有3红球。某人从三箱中任取一箱红球。某人从三箱中任取一箱, 再再从这箱中任取一球，求取到红球的概率。从这箱中任取一球，求取到红球的概率。解：记解：记 B=取得红球取得红球 , Ai=球取自球取自 i 号箱号箱, i =1,2,3。即即 B= A1BA2BA3B，且，且 其中其中A1B、A2B、A3B两两互斥。两两互斥。B发生总是伴随着发生总是伴随着A1, ,A2, ,A3 之一同时发生，之一同时发生，于是，于是，P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式运用加法公式将此例中解答思路方法推广到一般的情形，将此例中解

3、答思路方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的就得到在概率计算中常用的全概率公式全概率公式。对和式中的对和式中的各项运用乘各项运用乘法公式得法公式得15813152315131)|()(31iiiABPAP31)()(iiBAPBP具体计算具体计算:1) 1) 关于样本空间的划分关于样本空间的划分SA1A2An.BA1BA2.BAn =21nBABABAB;, 2 , 1,=) 1 (njijiAAji.) 2 (21SAAAn 定义定义 设 S 为试验 E 的样本空间， 为 E 的一组事件。若满足nAAA,21则称这一组事件为样本空间 S 的一个划分。 也称满足上述条件的事件组也称满足

4、上述条件的事件组A1,A2,An为为完备事件组完备事件组. 设A1,A2,An是样本空间的一个划分，且P(Ai)0( i =1,2,n), 另有试验的一事件B, 则 niiiABPAPBP1)()()(2) 全概率公式全概率公式:全概率公式还可叙述为： 设S为随机试验的样本空间，A1,A2,An是两两互斥的事件，且有P(Ai)0，i =1,2,n, ,1SAnii则对任一事件B，有niiiABPAPBP1)()()( 在较复杂情况下，直接计算在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易不容易, 但总可以适当地构造一组两两互斥的但总可以适当地构造一组两两互斥的Ai , 使使B伴随着某个伴随着某个Ai

5、的出现而出现，且每个的出现而出现，且每个 P( Ai B) 容易计算。可用所有容易计算。可用所有 P( Ai B) 之和计算之和计算 P(B)。 niiiABPAPBP1)()()(由由全概率公式全概率公式公式公式“全部概率全部概率” P(B)，可分成多，可分成多个个“部分概率部分概率” P( Ai B) 之和。之和。可知可知: 某一事件某一事件B B的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因A Ai i ( (i i=1,2,=1,2,n n) )，如果，如果B B是由原因是由原因A Ai i所引起，则所引起，则B B发生的概率是发生的概率是 P P( (A Ai iB B)=)=P P(

6、 (A Ai i) )P P( (B B | |A Ai i).).每一原每一原因都可能导致因都可能导致B B 发生，故发生，故B B 发生的概率是各原发生的概率是各原因引起因引起B B 发生概率的总和，即全概率公式。发生概率的总和，即全概率公式。我们还可以从另一个角度去理解全概率公式。我们还可以从另一个角度去理解全概率公式。 由此可以形象地把全概率公式看成是：由此可以形象地把全概率公式看成是：由由原因推结果原因推结果，每个原因对结果的发生有一定的，每个原因对结果的发生有一定的“作用作用”，即结果发生的可能性与各种原因的，即结果发生的可能性与各种原因的“作用作用”大小有关。全概率公式表达了因果

7、之大小有关。全概率公式表达了因果之间的关系间的关系 。 例例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7。飞 机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。解：设解：设B=飞机被击落飞机被击落， Ai=飞机被飞机被i人击中人击中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)则则 B=A1B+A2B+A3B依题意，依题意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1 下面求P(

8、Ai ) ： 设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3可得可得: )()(3213213211HHHHHHHHHPAP)()(3213213212HHHHHHHHHPAP)()(3213HHHPAP将数据代入计算得：P(A1)=0.36；P(A2)=0.41； P(A3)=0.14。于是 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B |A3) =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1 =0.458即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458. Ai=飞机被飞机被i人击中人击中练习练习 某小组有某小组有2020名射手，其中一、二、名射手，其

9、中一、二、三、四级射手分别为三、四级射手分别为2 2、6 6、9 9、3 3名若选一、名若选一、二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射二、三、四级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为中目标的概率分别为0.850.85、0.640.64、0.450.45、0.320.32，今随机选一人参赛，试求该小组在比，今随机选一人参赛，试求该小组在比赛中射中目标的概率赛中射中目标的概率由全概率公式， 5275. 041iiABPiAPBP实际中还有相反一类问题：实际中还有相反一类问题： “已知结果求原因已知结果求原因” 这一类问题在实际中常见，它所求的是这一类问题在实际中常见，它所求的是条件概率，是

10、某结果发生条件下，求各原因条件概率，是某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小。发生的可能性大小。接引例，考虑如下问题：接引例，考虑如下问题： 某人从任意一箱中任意摸出一球，发现某人从任意一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自是红球，求该球是取自1 1号箱的概率。或者号箱的概率。或者问：问：“该球取自各箱的可能性大小该球取自各箱的可能性大小” ” 。)()()|(11BPBAPBAP考虑这类新问题：考虑这类新问题：记记 B = 取得红球取得红球， Ai = 球取自球取自 i 号箱号箱，i =1, 2, 3; 。所求为所求为 P(A1|B)。3111kkkABPAPABPAP)()()|

11、()(运用全概率公式运用全概率公式 计算计算P(B)将上述公式一般化，就得贝叶斯公式。将上述公式一般化，就得贝叶斯公式。. , 2 , 1 , )()()()()|(1 niABPAPABPAPBAPnjjjiii 该公式于该公式于17631763年由贝叶斯年由贝叶斯 (BayesBayes) 给出。给出。 它是在观察到事件它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导已发生的条件下，寻找导致致B发生的每个原因的概率。发生的每个原因的概率。3) 贝叶斯公式贝叶斯公式 设设A1, A2, An是两两互斥的事件，且是两两互斥的事件，且P(Ai)0，i=1, 2, , n; 另有一事件另有一事件B, 它总

12、是与它总是与A1, A2, , An 之一同时发生，则之一同时发生，则 例例 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者，患者对一种试验反应是阳性的概率为对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人，正常人对这种试验反应是阳性的概率为对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”。 A解：解：设设A = 抽查的人患癌症抽查的人患癌症, B = 试验结果阳性试验结果阳性， 已知已知:。 04.0)|( ,95.0)

13、|(, 995.0)( ,005.0)(ABPABPAPAP0.1066 )|()()|()()|()()|( ABPAPABPAPABPAPBAP 由由贝叶斯公式贝叶斯公式 如果不做试验，抽查一人如果不做试验，抽查一人, 他是癌症患者他是癌症患者的概率的概率 P(A)=0.005 。 患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.950.95，若试验后，若试验后呈阳性反应，则根据试验得到的信息：此人呈阳性反应，则根据试验得到的信息：此人是癌症患者的概率为是癌症患者的概率为 P(A|B)= 0.1066 。 说明试验对于诊断一个人是否患癌症有意义。说明试验对于诊断一个人是否患癌症有意义。 概率从

14、概率从0.005增加到增加到0.1066, 约增加了约增加了2121倍。倍。(1) 该试验对于诊断一个人是否患癌有无意义该试验对于诊断一个人是否患癌有无意义现在来分析一下结果的意义：现在来分析一下结果的意义：(2) 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为 P(A|B)=0.1066。 即使检出阳性，不必过早下结论，这种可即使检出阳性，不必过早下结论，这种可能性只有能性只有10.66% (平均来说，平均来说，1000个人中大约个人中大约只有只有107人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要通过其他，此时医生常要通过

15、其他试验来确认试验来确认。 在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai |B)分别称分别称为原因的为原因的验前概率验前概率和和验后概率验后概率。 P(Ai) ( i =1, 2, n ) 是在没有进一步的是在没有进一步的信息信息(不知道事件不知道事件B是否发生是否发生) 的情况下，人的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识。们对诸事件发生可能性大小的认识。 当有了新的信息当有了新的信息(知道知道B发生发生)，人们对诸，人们对诸事件发生可能性大小事件发生可能性大小 P(Ai | B) 有了新的认识。有了新的认识。 P(Ai)和和P(Ai |B)分别称为原因的分别称为原因的验前概率验

16、前概率和和验后概率验后概率。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。 练习练习 8 8支步枪中有支步枪中有5 5支已校准过支已校准过,3,3支未校支未校准。一名射手用校准过的枪射击时，中靶概准。一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为率为0.8；用未校准的枪射击时，中靶概率为；用未校准的枪射击时，中靶概率为0.3。现从。现从8 8支枪中任取一支用于射击，结果支枪中任取一支用于射击，结果中靶。中靶。 求：所用的枪是校准过的概率。求：所用的枪是校准过的概率。解：解：设设 A=射击时中靶射击时中靶 ， B1 1=枪校准过枪校准过,B2 2=枪未校准枪未校准 ，则则 B1 1

17、, ,B2 2 是是一个划分，由贝叶斯公式，得一个划分，由贝叶斯公式，得)()|()()|()()|()|(2211111BPBAPBPBAPBPBAPABP4940) 8/3(3 . 0) 8/5(8 . 0) 8/5(8 . 0 练习练习 一批同型号的螺钉由甲，乙，丙三台一批同型号的螺钉由甲，乙，丙三台机器共同生产。各台机器生产量占总量的比机器共同生产。各台机器生产量占总量的比例分别为例分别为35%,40%, 25%35%,40%, 25%。各台机器的次品率。各台机器的次品率分别为分别为3%, 2%3%, 2%和和1%1%。现从该批螺钉中抽到一。现从该批螺钉中抽到一颗次品。求颗次品。求:

18、:这颗螺钉由这颗螺钉由甲，乙，丙甲，乙，丙机器生产机器生产的概率各为多少的概率各为多少? ?由贝叶斯公式，得由贝叶斯公式，得)()|()()|()|(31111jjjBPBAPBPBAPABP. 5 . 001. 025. 002. 040. 003. 035. 003. 035. 0. 425)|( 218)|(,32ABPABP，同理P(B1)=0.35，P(B2)=0.40，P(B3)=0.25, P(A|B1)=0.03，P(A|B2)=0.02，P(A|B3)=0.01。解：设解：设 A A=钉是次品钉是次品,B B1 1=钉由甲机器生产钉由甲机器生产, B B2 2=钉由乙机器生产

19、钉由乙机器生产,B B3 3=钉由丙机器生产钉由丙机器生产 。练习练习 对以往的数据分析结果表明：当机器调整得良好时，产品合格率为 90% , 而当机器发生某一故障时，其合格率为 30% 。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 75% 。已知某天早上第一件产品是合格品，试求机器调整得良好的概率是多少？ 机器调整得良好 产品合格 机器发生某一故障 BBAP A B( | ) 90%P A B( |) 30%9 .0)()|()()|()()|()|(BPBAPBPBAPBPBAPABP 早在概率论发展初期，人们就认识到，早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不

20、只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的够的. 把等可能推广到无限个样本点场合把等可能推广到无限个样本点场合,人们人们引入了几何概型引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另由此形成了确定概率的另一方法一方法几何方法几何方法. 2. 几何概型几何概型 例例 (会面问题）甲、乙二人约定在 12 点到 5 点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去，设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且互不影响。求二人能会面的概率。解：解： 以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻，于是. 50, 50YX54321y-x=-10 1 2 3 4 5yxy-x =1所有的点构成一个正方形，即有无穷多个结果

21、。由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形内各点是等可能的。二人会面的条件是： |,X Y 1.259254212252正方形的面积阴影部分的面积p54321y-x=-10 1 2 3 4 5yxy-x =1 一般，设某个区域 D (线段，平面区域，空间区域），具有测 度 mD(长度，面积，体积)。如果随机实验 E 相当于向区域内任意地取点，且取到每一点都是等可能的，则称此类试验为 几何概型。 如果试验 E 是向区域内任意取点，事件 A 对应于点落在 D 内的某区域 A，则.)(DAmmAP 例例 (蒲丰投针问题）平面上有一族平行线。其中任何相邻的两线距离都是 a (a0) 。向平面任意投一长为 l (la) 的针，试求针与一条平行线相交的概率。解解 ：设 x 是针的中点 M 到最近的平行线的距离， 是针与此平行线的交角，投针问题就相当于向平面区域 D 取点的几何概型。Dxxa( , )|,002lMxMAxxl( , )|,sin 002xl2sinxa2DAAxxl( , )|,sin 002pADldala的面积的面积2220sin. Dxxa