第4章连续时间信号与系统的复频域分析

1、第第4章章 连续时间信号与系统的复频域分析连续时间信号与系统的复频域分析n4.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换LTn4.2 连续系统复频域分析连续系统复频域分析n4.3 连续系统的信号流图及模拟连续系统的信号流图及模拟 n4.4 系统零极图分析系统零极图分析n4.5 系统的稳定性系统的稳定性1 频域分析频域分析以以虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，任意信号为基本信号，任意信号可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求可分解为众多不同频率的虚指数分量之和。使响应的求解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：解得到简化。物理意义清楚。但也有不足：(1)有些重要信号不存在傅里叶变换，如有些重要信号

2、不存在傅里叶变换，如e2tu(t);(2)对于给定初始状态的系统难于利用频域分析；对于给定初始状态的系统难于利用频域分析；(3)求傅里叶反变换比较麻烦。求傅里叶反变换比较麻烦。 在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频在这一章将通过把频域中的傅里叶变换推广到复频域来解决这些问题。域来解决这些问题。 本章引入本章引入复频率复频率 s = +j,以复指数函数以复指数函数est为基本信为基本信号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。号，任意信号可分解为不同复频率的复指数分量之和。这里用于系统分析的独立变量是这里用于系统分析的独立变量是复频率复频率 s ，故称为，故称为s域分域分析析。所采

3、用的数学工具为拉普拉斯变换。所采用的数学工具为拉普拉斯变换。2一、从傅里叶到拉普拉斯变换一、从傅里叶到拉普拉斯变换有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。为此，可用一衰减因子为此，可用一衰减因子e- t（ 为实常数）乘信号为实常数）乘信号f(t) ，适当选取适当选取 的值，使乘积信号的值，使乘积信号f(t) e- t当当t时信号幅度时信号幅度趋近于趋近于0 ，从而使，从而使f(t) e- t的傅里叶变换存在。的傅里叶变换存在。 相应的傅里叶逆变换为相应的傅里叶逆变换为()() ( )( )eed( )edttj tjtFjf t ef t

4、tf ttF()1( )()ed2jtf tFj令令s = + j ,d =ds/j，有有1( )()ed2tj tf t eFj34.1.1 双边拉式变换双边拉式变换( )( )d ( )stF sf t etf tLj1j1( )( )e d ( )2jstf tF ssF s L双边拉普拉斯双边拉普拉斯变换对变换对F(s)称为称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为称为F(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。的双边拉氏逆变换（或原函数）。 4二、双边拉式变换的收敛域二、双边拉式变换的收敛域 使连续时间信号使连续时间信号f(t)的双边的双边LT F(

5、s)为无穷大的点为为无穷大的点为F(s)的极点，显然在收敛域中一定没有极点存在的极点，显然在收敛域中一定没有极点存在下面举例说明下面举例说明F(s)收敛域的问题。收敛域的问题。 在以在以 为实轴，为实轴， 为虚轴的复平面中，凡能使变为虚轴的复平面中，凡能使变换换 存在的存在的s值范围称为双边拉氏变换的收敛域，值范围称为双边拉氏变换的收敛域，记为记为 ，在，在S平面上用阴影表示。平面上用阴影表示。j( )F s:( ,)( 、 为实常数)5 (1)因果信号的收敛域是因果信号的收敛域是S平面的某一右半开平面的某一右半开平面平面：(，) ，全部极点均为区左极点，全部极点均为区左极点j，收敛边界，收敛

6、边界=Re( j)max图图 因果信号的因果信号的LT的收敛域的收敛域j0aj61.部分部分S平面收敛平面收敛收敛域收敛域收敛边界收敛边界例例 因果信号因果信号f1(t)= e t u(t) ，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。 解解 ()()j100e1( )e ed1 limee()()sttsttttF stss ，无界，不定Re,1ss可见，对于因果信号，仅当可见，对于因果信号，仅当Res= 时，其拉氏变换存时，其拉氏变换存在。在。 收敛域如图所示。收敛域如图所示。j0收敛域收敛域收敛边界收敛边界7 (2)反因果信号的收敛域是反因果信号的收敛域是S平面上的一个左平面上的一个左半开平

7、面半开平面:(-,)。全部极点均为全部极点均为区右极点区右极点j 。收敛边界。收敛边界= =Re(j )min图图 反因果信号的反因果信号的LT的收敛域的收敛域0j j8收敛边界收敛边界收敛域收敛域例例 反因果信号反因果信号f2(t)= e tu(-t) ，求其拉普拉斯变换。，求其拉普拉斯变换。 解解 ()00()j2e1( )eed1limee()()sttsttttF stss ，不定无界)(1.Re,ss可见，对于反因果信号，仅当可见，对于反因果信号，仅当Res= 时，其拉氏变换存在。时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。收敛域如图所示。j09收敛边界收敛边界收敛域收敛域 (3)连续时间

8、信号连续时间信号f(t)的双边的双边LT的收敛域的收敛域是是S平面上的一个带平面上的一个带:(，)。F(s)既既有区左极点有区左极点j (位于收敛域左方位于收敛域左方)，又又有区右极点有区右极点j 。 收敛边界：收敛边界： =Re(j)max， = =Re(j )min10图图 双边信号的双边信号的LT的收敛域的收敛域j0 jj 例例 求函数求函数 的双边拉氏变换及其收敛域。的双边拉氏变换及其收敛域。 210( )0ttetf tet解：解：2100( )( )ttstststBF sf t e d tee d tee d t210()()21011ststeess 当当 时，上式第一项存在；

9、当时，上式第一项存在；当 时，上时，上式第二项存在，式第二项存在，2Re s1Re s1212211211( )()()BF sssss 11j121( )f t01( )teu t2()teut210j2101201( )f t01( )teu t2()teut12, 1( )f t01( )teu t2()teut1( )teu tj012122.整个整个S平面收敛平面收敛13(4)时限信号的收敛域是全时限信号的收敛域是全S平面平面：(-，)f (t)乘指数增长或指数衰减信号，因为时间有限乘指数增长或指数衰减信号，因为时间有限，总是绝对可积的。故在整个，总是绝对可积的。故在整个S平面内，平

10、面内，f (t)e- t绝对可积。绝对可积。1T2T)(tf14( )( )f ttLT例计算信号的双边及其收敛域0( )( )|1ststtF st edt e上述积分过程与上述积分过程与的取值无关，所以的取值无关，所以可以任意取值，可以任意取值，即即s可位于全复平面，记为可位于全复平面，记为：(-,）3.整个整个S平面均不收敛平面均不收敛15例例 求函数求函数 的双边拉氏变换及其的双边拉氏变换及其收敛域。收敛域。 0,0( )0,0ttetf tet解：解：00( )( )sttsttstF sf t e d te e d te e d t0()()011ststeess 当当 时，上式第

11、一项存在；当时，上式第一项存在；当 时，上时，上式第二项存在，但式第二项存在，但 ，所以这个函数在整个，所以这个函数在整个S平面均不平面均不收敛收敛Re sRe s当当 时时，若：若： 0 0lim ttetf 则称则称 为收敛区为收敛区(满足上面极限的满足上面极限的 的取值范围的取值范围)。 0 j 0 0 s收敛区收敛区收敛轴收敛轴收敛坐标收敛坐标 判断收敛域的方法判断收敛域的方法16例：例：求下列信号求下列信号f(t)的的Laplace变换的收敛域变换的收敛域 tftf(t)是时限信号是时限信号 0 tft即即 取任何值都可以满足取任何值都可以满足: 0 0lim ttetf 所以收敛域

12、为所以收敛域为s全平面。全平面。17例：例：求下列信号的求下列信号的Laplace变换的收敛域变换的收敛域 203123 sin4,56,ntttu tu tu ttu ttu tt u te u tt u te u t(1) 为为 时间范围内的脉冲信号，时间范围内的脉冲信号， 取取任何值都可以满足任何值都可以满足 ，故收敛域为，故收敛域为s 全平面。全平面。 u tu t t00 0lim ttetf (2) 当当 时，时， ，故收敛域为，故收敛域为s平面平面 区域。即区域。即s右半平面。右半平面。0 tu 0lim ttetu 0 18(3) 当当 时，时， ，故收敛域为，故收敛域为s右半

13、平面右半平面0 0limsin0tttu t e(4) 当当 时，时， 故收敛域为故收敛域为s右半平面。右半平面。 0 lim0,lim0tnttttu t et u t e(5) 当当 时，时， 故收敛域为故收敛域为s平面平面 的区域。的区域。 3 33limlim0ttttte u t eu t e3 (6) 增长比指数函数要快，不存在合适的增长比指数函数要快，不存在合适的 值使值使得，得， 时式时式 存在，所以它们的存在，所以它们的Laplace变换不变换不存在。存在。 tuetuttt2,0 0 lim0ttf t e19结论结论凡是定义在有限区间上（有始有终）的能量信号，凡是定义在有

14、限区间上（有始有终）的能量信号，如例题中的矩形脉冲信号，不管如例题中的矩形脉冲信号，不管 取何值，都能使信号的取何值，都能使信号的Laplace变换存在，其收敛域为变换存在，其收敛域为s全平面。即有界的非周期信全平面。即有界的非周期信号的拉氏变换一定存在；号的拉氏变换一定存在；0 如果信号是等幅信号或等幅振荡信号，如例题中的阶跃信如果信号是等幅信号或等幅振荡信号，如例题中的阶跃信号，正弦信号，只要乘以衰减因子号，正弦信号，只要乘以衰减因子 也可以收敛，也可以收敛，收敛坐标落在原点，收敛域为收敛坐标落在原点，收敛域为s右半平面。即对任何周期信右半平面。即对任何周期信号只要稍加衰减就可收敛；号只要

15、稍加衰减就可收敛；0te对于一些比指数函数增长更快的函数，不能找到它的收敛对于一些比指数函数增长更快的函数，不能找到它的收敛坐标，拉氏变换不存在。坐标，拉氏变换不存在。20三、双边三、双边LT与与FT的关系的关系FT: 时域函数时域函数f(t)频域函数频域函数( )F变量变量 t变量变量 LT: 时域函数时域函数f(t)复频域函数复频域函数)(sF（变量（变量 t、 都是实数）都是实数）变量变量 t变量变量s (复频率复频率) t(实数实数)(复数复数) js即：即：傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系；傅里叶变换建立了时域与频域之间的联系；拉普拉斯变换建立了时域与复频域之间的联系。拉普拉斯变

16、换建立了时域与复频域之间的联系。2122 在在Fourier中用频谱图来描述：中用频谱图来描述： 在在Laplace变换中不能描述变换中不能描述 的关系。的关系。 在在Laplace变换中一般不画频谱图。变换中一般不画频谱图。 F ssF23=0LTFTFTLT双边是的推广，是双边在时的特殊情形。1( )()( )( )(),FTLTf tF jf tF sF jj （）若，则，且收敛域 :()包含轴（即 0）( )( ),( )( )( )|;( )LTFTsjf tF sjf tFF sjf tFT （2）若， :(),当收敛域包含轴，即满足 0时，则否则（即收敛域不包含轴），连续时间信号

17、的不存在（无穷大）2421( )( ),( )( )()56FTjf tFf tLT F sjj例 若求信号的双边2211( )( )()|()5656LTjsjsf tF sF jjjss解：1221( )2356:(- ,-3), :(-3,-2), :(-2,)(-2,)sF sppsssssj有极点 =- 、=- ，可能对应的收敛域为其中仅收敛域 :包含轴。所以21( )( ):( 2,)56LTsf tF sss252( )( ),:(, 2)( )32LTsf tF sf tFTss 例 若，求的( )( )F sjf tFT解：由于的收敛域 :(- ,-2)不包含轴，所以信号的不

18、存在（无穷大）2( )( ),:(,1)( )32LTsf tF sf tFTss例 若，求的22( ),1( )( )( )|32()32FTsjsjF sjsjf tFF sssjj解：由于的收敛域 :(-)包含轴，所以例例 求下列求下列信号的双边拉氏变换。信号的双边拉氏变换。 f1(t)= e-3t u(t) + e-2t u(t) f2(t)= -e -3t u(-t) e-2t u(-t) f3(t)= e -3t u(t) e-2t u(-t) 解解 2131)()(11sssFtfRes= 22131)()(22sssFtfRes= 32131)()(33sssFtf 3 2可见

19、，象函数相同，但收敛域不同。可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必双边拉氏变换必须标出收敛域。须标出收敛域。26一切物理可实现信号和系统都是因果的，即一切物理可实现信号和系统都是因果的，即t 0 ( )( )jtFf t edt要讨论其关系，要讨论其关系，f(t)必须为因果信号。必须为因果信号。 根据收敛坐标根据收敛坐标 0的值可分为以下三种情况：的值可分为以下三种情况： (1) 0-2；则则 F( )=1/( j +2)28(2) 0 =0，即即F(s)的收敛边界为的收敛边界为j 轴，轴， 0()lim( )F jF s如如f(t)= u(t)F(s)=1/s 22220001()l

20、imlimlimjF jj= ( ) + 1/j 29(3) 0 0，F( )不存在。不存在。 例例f(t)=e2tu(t) F(s)=1/(s 2) , 2；其傅里叶变；其傅里叶变换不存在。换不存在。双边拉氏变换双边拉氏变换 js t单边拉氏变换单边拉氏变换 js t0傅氏变换傅氏变换 js t atf tf t u t eLF js 0 00 tft30联系联系区别区别傅氏变换是傅氏变换是 的双边拉氏变换，或虚轴的双边拉氏变换，或虚轴上的双边拉氏变换，是双边拉氏变换的特例。上的双边拉氏变换，是双边拉氏变换的特例。0 双边拉氏变换是傅氏变换在双边拉氏变换是傅氏变换在s平面上的推广，是复平面上

21、的推广，是复平面上的傅氏变换。平面上的傅氏变换。单边拉氏变换是单边拉氏变换是 时的双边拉氏变换时的双边拉氏变换,是是 的傅氏变换。的傅氏变换。 0, 0 tft tetutf 31说明几点说明几点nf(t)的拉普拉斯变换仅在收敛域内存在，故求的拉普拉斯变换仅在收敛域内存在，故求F(s)时时应指明其收敛域。应指明其收敛域。n在实际存在的有始信号，只要在实际存在的有始信号，只要 取得足够大，总是取得足够大，总是满足绝对可积条件的。故单边拉普拉斯变换一定存满足绝对可积条件的。故单边拉普拉斯变换一定存在。在。n两个函数的拉普拉斯变换可能一样，但时间函数两个函数的拉普拉斯变换可能一样，但时间函数(原原函

22、数函数)相差很大。这主要区别在于收敛域。如果拉普相差很大。这主要区别在于收敛域。如果拉普拉斯变换的收敛域不包括拉斯变换的收敛域不包括j 轴，那么傅里叶变换也轴，那么傅里叶变换也不收敛。不收敛。nf(t)的拉普拉斯变换存在多个收敛域时，取其公共部的拉普拉斯变换存在多个收敛域时，取其公共部分（重叠部分）为其收敛域。分（重叠部分）为其收敛域。32三、常见函数的拉普拉斯变换三、常见函数的拉普拉斯变换 1、单位冲击函数、单位冲击函数2、单位阶跃函数单位阶跃函数3、指数函数、指数函数33(1)单位冲激信号单位冲激信号34 nnts推广：L0( ) ( )( )1( )1:(,)stF stt edtt 即

23、L00 ( )( )()|( ):(,)ststtdtt edtesdsts 即L(2)单位阶跃信号单位阶跃信号即：即：-001( ) ( )-0ststeF su te dtssL351( )(0,)u ts：(3)指数信号指数信号36 f (t)=es0tu(t) s0为复常数。为复常数。00)(01)(00ssdtedteesFtsststs即即 ResRes0令令 s0 = 实数实数， 则则 ,Res令令 s0 = j 虚数虚数， 则则 , Res0001( )s te u tss1( )teu ts1( )j teu tsj常用信号的单边拉氏变换常用信号的单边拉氏变换 374.1.3

24、 拉氏变换的性质拉氏变换的性质n(1)线性性质线性性质 为常数）、（公共部分则：若212211221122221111),( :),()()()(),( :),()(),( :),()(aasFasFatfatfasFtfsFtf38一、双边拉式变换的性质一、双边拉式变换的性质1122:(,):(,)( )f tLT 若收敛域和无公共部分，则信号的不存在(s)(s)FF如果中出现零点与极点相抵消的情况，则的收敛域还可能扩大n(2)时移（延时）特性时移（延时）特性n此性质说明，若波形延迟了t0，则它的拉氏变换应乘以 ，反之亦然。0ste0000000000()( )( ),:( ,), ()(

25、),:( ,) ()()( )( )( ),:( ,)ststs x tststsxf tF stf ttF s ef ttf tt edtxtttxtdtdxf x edxef x edxeF s L若则：对于任意实常数 ，有证明：令：，则，于是上式可以改写为：3940例例 求如图信号的单边拉氏变换。求如图信号的单边拉氏变换。011f1(t)t01-11tf2(t)解：解：f1(t) = u(t) u(t-1)，f2(t) = u(t+1) u(t-1)F1(s)=)e1 (1ssF2(s)= F1(s)1( ):(0,)1(1):(0,)su tsu tes:(,) (s)(s)FF如果中

26、出现零点与极点相抵消的情况，则的收敛域还可能扩大由于由于f(t)是时限信号，所以收敛域为全是时限信号，所以收敛域为全s平面平面例 求图示波形的拉氏变换TE0t)(tf:( ) ( )() ( )( )()Ef tt u tu tTTEEf ttu ttu tTTT解LLL22221 ( )() ()()1111 (1)sTsTsTEEf ttT u tTTu tTT sTEEeEeT sTssETseTsLL41n（3）尺度变换特性）尺度变换特性n则：则：(,),0(,),0( )( ),:( ,),1 ()( ),: ()(),:(,) ()()0111 ()( )( )( )aaaaaas

27、txxssaaf tF ssf atFaaaftFsf atf at edtxatdxadtasf atf x edxf x edxFaaaa LL若， 为常数。推论：证明：令：，则，当时：,0a同理可得，时。42例：如图信号例：如图信号f(t)的拉氏变换的拉氏变换F(s) =)ee1 (e2sssss求图中信号求图中信号y(t)的拉氏变换的拉氏变换Y(s)。0121f(t)t0424y(t)t解：解：y(t)= 4f(0.5t)Y(s) = 42 F(2s) )e2e1 (2e82222sssss)e2e1 (e22222sssss43例例 已知已知f1(t) F1(s),求求f2(t) F

28、2(s)解：解： f2(t) = f1(0.5t) f1 0.5(t-2)011f1(t)t0241tf2(t)-1f1(0.5t) 2F1(2s)f1 0.5(t-2) 2F1(2s)e-2sf2(t) 2F1(2s)(1 e-2s)44n（4）复频移特性）复频移特性0000( )( ),:( ,), ( )(),:(Re(),Re()s tf tF sf t eF ssss 若则4546cos( )tu t例 求L221cos( ) () ( )211( )( )22111122j tj tj tj ttu teeu teu teu tssjsjs解：LLLL12max,cos( ),:(

29、 ,),Re0kpjpjtu tp 该象函数有极点因为信号是因果信号极点均为区左极点，所以收敛域为复平面上的某一右半开平面其收敛边界22cos( ):(0,)stu ts47sin( )tu t例 求L221sin( )() ( )211( )( )22111122j tj tj tj ttu teeu tjeu teu tjjj sjj sjs解：LLLL12max,sin( ),:( ,),Re0kpjpjtu tp 该象函数有极点因为信号是因果信号极点均为区左极点，所以收敛域为复平面上的某一右半开平面其收敛边界22sin( ):(0,)tu ts4822cos( ): (,)tsetu

30、ts解 Lcos( )tetu t例 求 L2222sin( )sin( ):(,)ttu tsetu ts解：得Lsin( )tetu t例 求 L12,cos( ),:(,)tpjpjetu t 该象函数有极点因为信号是因果信号 极点均为区左极点，所以收敛域为复平面上的某一右半开平面49例例 已知连续时间信号已知连续时间信号求求e-tf(3-4t)的双边的双边LT解解1： ( )( ),:( ,)f tF s ( )( ):( ,)f tF s 311( )(3)( )( ):( ,)sf tf tF sF s e 213421( )( 4 )( 43)11( )()():( 4 , 4

31、)| 4|444sf tftftssF sFFe23(1)42( )(34 )( )11( )(1)():( 41, 41)44ttsy teftef tsY sF sFe50解解2： ( )( ):( ,)f tF s 1( 4 )():( 4 , 4 )44sftF341(34 )():( 4 , 4 )44ssftFe3(1)411(34 )():( 41, 41)44stseftFen（5）时域卷积定理时域卷积定理)( :),()()()(),( :),()(),( :),()(212122221111公共部分则若sFsFtftfsFtfsFtf 51)()(:),()(),( :,)

32、()()()()()()()(21212221212121证毕公共部分交换积分次序证明：sFsFsFdefdesFfddtetffdtedtfftftfssstst L 525324( )( )*( )tty teu teu t例：计算解：解：21( ):( 2,)2teu ts41( ):( 4,)4teu ts1111( )( ):( 2,)242(2)2(4)y tY sssss由双边由双边LT的时域卷积特性得：的时域卷积特性得：取反取反242411( )( )*( )( )( )22tttty teu teu teu teu t543(1)4( )(2)*(1)tty teu teu

33、t例：计算解：首先在时域将信号配成全时移解：首先在时域将信号配成全时移3(1)33(2)1( )(2)(2)ttf teu te eu t31( ):( 3,)3teu ts3(2)21(2):( 3,)3tseu tes 33(2)32111( )(2)( ):( 3,)3tsf te eu tF sees444(1)4221( )(1)(1)( ):( 4,)4ttsf teu te eu tF sees552341237732( )( )( )()():( 3,)3411()71234sssseeY sF s F seesseeeessss 取反取反FT得：得：73(3)4(3)3245

34、( ) (3)() (3)tttty teeeu teeu tn（6）双边）双边LT的时域微分特性的时域微分特性( )( ),:( ,), ( )( )( ),:( ,)kkkf tF sftF ss F s （ ）若则通常56( )( )( )( )( )( )NNNLTf tLT F sf tftftLT Fs（ ）（ ）上式提供了一种可以简化求双边的方法。若直接计算信号的 比较困难，可以对信号多次求导，直到成为冲激、冲激的导数和阶跃信号，此时计算信号的双边就比较容易了,),)j0.,)00.( )(s)( )( )NNssjsftLT Ff tLT F s （ ）收敛域 ：(是 平面上的

35、一个带，假如 ：(不包含轴，肯定而如果 ：(包含了轴，其中除一个点外，剩下的无穷多个点均不为因此，可以用的直接计算出信号的双边( )( ),)NNFsF ss 即可得到=：( 442231124242112 tuttuttuttututtututtf例：求图所示三角脉冲信号的例：求图所示三角脉冲信号的Laplace变换变换 tft01242 21Re0tu tssL 24223, Re0ssseeef tssL解解157 sFtf tf t012421 tf t0124 2 3 1 tft01242 22 (1)3 (2)(4)fttttFs stRe, 1 224223sssF ss F s

36、eee sseeesFsssRe,32242解解258n（7）双边）双边LT的时域积分特性的时域积分特性( )( ),:( ,),1 ( )( ),:( ,)(0,)NNf tF sftF s Ns （）若则为正整数，59当当N=1时，时，( 1)( 1)( )( )( )( )* ( )ftf ttf tu t1( )( ):( ,),( ):(0,)f tF su ts 根据双边根据双边LT的时域卷积特性得：的时域卷积特性得：( 1)1( )( ):( ,):(0,)ftF ss 依次类推依次类推60例例 t2u(t)? 0( )d( )tu xxtu t2000( )d )( )d( )

37、2txttu xx dxxu xxu t 232( )t u ts( )tu t例 求L2011( )( )( )tu ttu tu t dtssLL解：1!( )nnnt u ts依次类推：依次类推：n（8）复频域卷积定理）复频域卷积定理)( :),()(21)()(),( :),()(),( :),()(212122221111公共部分则若sFsFjtftfsFtfsFtf 61二、单边二、单边LT的性质的性质n除具双边除具双边LT的全部性质外，还具有如下性质：的全部性质外，还具有如下性质：62(1)复频域微分复频域微分(时域乘时域乘t)特性特性0000( )( ),:( ,), ( )(

38、 ),:( ,) ( )( )s( )( )( )( )( )ststststf tF sd tf tF sdsF sf t edtdddF sf t edtf tedttf tedttf tdsdsds 若则证明： 因为上式两边对 取导数，得：证毕L63nnnndssFdtft)()1()( 推广推广 例：已知例：已知 1( ), Re0u tssL求求2( ) ,( ) ,( ) ,( )nnttu tt u tt u tt eu tLLLL 211( )( ), Re0tu tsss L 22312( )(), Re0t u tsss L 334123!( )(), Re0.(1)!(

39、), Re0nnnt u tsssnnt u tsss LL 1!( ), Rentnnt eu tss L64653( )( )*( )y tt u ttu t例：计算1!( ),:(0,)nnnt u ts343!( ),:(0,)t u ts21( ),:(0,)tu ts解：解：根据根据LT的时域卷积特性：的时域卷积特性：34265 13!13!3!( )( )*( )( )()():(0,)y tt u ttu tY sssss55 15!( ),:(0,)t u ts55 111( ),:(0,)5!t u ts553!1( )( )( ),:(0,)5!20y tt u tt u

40、 t6622( )( )*( )tty teu teu t例：计算解：解：21( ):( 2,)2teu ts2221( )( )*( ):( 2,)(2)tty teu teu ts1!( ),:(,)ntnnt eu ts L221( ),:( 2,)2tteu ts222( )( )*( )( )ttty teu teu tteu t（2）单边）单边LT时域微分特性时域微分特性 2( )12(1)110( ) ( )( ),:( ,), ( ) ( )( )(0 ),:( ,)( ) ( )( )(0 )(0 )( ) ( )( )(0 )(0 )(0 )0nnnnnnpnnppf t

41、u tF s ft u tsF sfft u ts F ssffft u ts F ssfsffs F ssf 若则67() ( ) ( )( ),:( ,)()NNf t u ts F sN为正整数双边双边LT时域微分特性：时域微分特性：68( )()2( ),1( )2( )3 ( ) ( )4( )ttf te ute u tf tLTf tLTf t u tLTLTftLT例 信号波形图如下图所示。试计算：（）信号的双边；（ ）信号的单边；（ ）的（因果信号的双、单边全同）；（ ）信号的单边1( ):(,)teu ts解解(1)已知已知1():(, )te uts2123( )()2(

42、 )( ):( 1,1)111ttsf te ute u tF ssssf(t)21t()te ut-2( )te u t692( ) ( )2( ):( 1,)1tf t u te u ts （2）计算信号）计算信号f(t) u(t)的的LT即为求信号即为求信号f(t)的单边的单边LT F(s)f(t)u(t)2t-2( )te u t70f(t)u(t)-2t-2( )te u t(2)(3)方法方法1：直接用双边：直接用双边LT的时域微分特性的时域微分特性2 ( ) ( )( ):( 1,)1sf t u tsF ss 方法方法2：f(t)u(t)的波形图如下图的波形图如下图所示，计算所

43、示，计算f(t)u(t)的的LT ( ) ( )2 ( )2( )222:( 1,)11tf t u tte u tsss 71f(t)-21t()te ut-2( )te u t(1) 4( )0( )( ) (0 )( )2( )tftftLTttft u tte u tLT方法1:作信号波形图如下图所示，在计算的单边时,由于在时刻有冲激，因此，是对信号求得：( ) (0 )( )2( )211:( 1,)11tft u tte u tsss 方法2：直接用单边LT的时域微分特性( ) (0 )( )(0 )211:( 1,)11ft u tsF sfssss （3）复频域积分特性）复频域

44、积分特性)()()()()()()()()(),( :),()(001101101111证毕上式两边求积分，得：因为证明：则若 ttfdtettfdtdsetfdsdtetfdssFdtetfsFdssFttf sFtfststsstssstsL 72例例sin( )?tu tt21sin( )1tu ts2sin1( )darctanarctan12sstu tst例例21 e?tt211e12sst2111111112()dlnln22tsssesstssss73(4)初值定理和终值定理初值定理和终值定理740( )( ),:( ,),( ) (0 )lim( )lim( )stf tF

45、sF s ff tsF s初值定理：若若是真分式则应用条件：应用条件： F(s)必须是真分式。必须是真分式。若若F(s)不是真分式，则可利用长除法使不是真分式，则可利用长除法使F(s)中出现真中出现真分式项分式项F0(s),则则)(lim)0()0(00ssFffs750( )( ),:( ,),( )( )lim( )lim( )( )( )( )tsf tF ssF sjff tsF ssF sjf tf 终值定理：若若的收敛域含轴，则，否则（即的收敛域不含轴，信号的终值不存在)(lim)(lim0ssFtfst即：当且仅当即：当且仅当F(s)的全部极点的全部极点在左半在左半s平面，或在平

46、面，或在s=0处处只有一阶极点时，终值定理才可应用。只有一阶极点时，终值定理才可应用。7626( )( ),:( 2,),( )68(0 )( )sf tF sf tssff例：已知试计算信号的始值和终值2261( ),68(6)(0 )lim( )168ssF ssss sfsF sss解：（）因为是真分式所以(2)( )(-2,)( )( )sF sjf tf因为的收敛域 :含轴,所以信号的终值为200(6)( )lim( )lim068sss sfsF sss 77例例 已知已知32221( ),21sssF sss求求(0 )f解：因为解：因为F(s)是假分式，不能直接使用初值定理，是

47、假分式，不能直接使用初值定理，先长除先长除232( )121sF ssss )(lim)0()0(00ssFffs,12231)(2sssssF31223lim)0()0(20ssssffs 如果不用长除法，而直接用如果不用长除法，而直接用 则将得则将得到到 的错误结论。的错误结论。),(lim)0(ssFfs)0(f787922( )( ),:(4,)( )( )34sf tF sf tfss例：，试计算信号的终值。2(2)( ),:(4,)j34( )( )s ssF sssf tf解：因为不包含轴，所以计算信号的终值不存在。(5)周期信号的单边周期信号的单边LT), 0( :,1)()(

48、)(),( :),()(, 00),()()()(0sTLTkesXsFtfsXtxTttftxkTtxtf 则：若：其它其中：设：8081例例 求冲激序列的拉普拉斯变换求冲激序列的拉普拉斯变换 ，其中，其中f 1(t)= (t)11( )1,( )1sTF sF se解：)(tf0(1)T2T 例：求下图所示单边周期方波的例：求下图所示单边周期方波的Laplace变换。变换。 tft1230451.82 11 tututf 111sftu tu tesLL 0Re,111112 sesesesFsss拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质序号时域 f(t)复频域 F(s)1线性性a f1 (t

49、)+b f2 (t)aF1 (s)+bF2 (s)2尺度性f (at) a03时移性f (t-t0) (t-t0) t004频移性f (t) e-a tF(s+a)5时域微分sF(s)f (0-)6时域积分7复频域微分(-1)n t n f(t)8复频域积分9时域卷积f1 (t)* f2 (t)F1(s)F2(s)10复频域卷积f1 (t) f2 (t)11初值定理12终值定理asFa1)(0sFet stdtfd)(ssF)(tdf0)(nndssFd)(ttf)(sdssF)()()(2121sFsFj)(lim)(lim)0(0ssFtffst)(lim)(lim)(0ssFtffst8

50、3例例 锯齿波锯齿波 )(tf0( ) ( )()Af tt u tu tTT方法一：用复频域微分性质：方法一：用复频域微分性质：1( )()(1)sTttTes)(tf T0方法二：用时域微分性质：方法二：用时域微分性质：0)0(f1( )(1)sTsTAF seAeTs8412( )/( )(1)sTsTF sA TAF seesss2/( )(1)sTsTA TAF seessATAT()AtT1 ( )() (1)sTtttTes 例例方法二：方法二：(2)( )(1)tf tteu t 方法一：方法一：因为因为 用频域微分性质：用频域微分性质：1(1)Su tes21(1)Sstu

51、tes2122(1)(1)tsse e tu tes 应用频移性质：应用频移性质：(1)( )(1)tf te t eu t 1( )1te u ts(1)1(1)1tSeu tes 应用时移性质：应用时移性质：应用频域微分性质：应用频域微分性质：(1)2111(1)()1(1)1tsssdt eu teeeds sss 85122( )(1)ssF ses 方法三：方法三：应用频移性质：应用频移性质：应用时移性质：应用时移性质：122( )(1)ssF ses 2( )(1) (1)(1)tf te etu tu t211( )( )u ttu tss211(1)(1) (1)ssu tet

52、u tess22111(1) (1)(1)sssstu tu teeesss86求下列函数的拉普拉斯变换。求下列函数的拉普拉斯变换。3( )( )tf tte u t(1)21( )stu t 231(3)( )tse tu t方法一：方法一：方法二：方法二：8723113(3)( )()tssteu t313( )tseu t2( )(1)f tt u t(2)1( )su t 1(1)ssu te方法一：方法一：22321221(1)( 1) ()sst u teessss 方法二：方法二：22( )(1 1)(1)(1)(1)2(1) (1)(1)f ttu ttu ttu tu t 3

53、2221( )()ssssF se直接利用定义式求反变换直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。复变函数积分，比较困难。通常的方法通常的方法 （1）查表）查表 （2）利用性质）利用性质 （3） 部分分式展开部分分式展开 -结合结合 4.1.4 拉普拉斯逆变换拉普拉斯逆变换89部分分式展开法部分分式展开法若若F(s)是是s的实系数有理真分式的实系数有理真分式(mn)，则可写为，则可写为 01110111.)()()(bsbsbsasasasasAsBsFnnnmmmm式中式中A(s)称为称为F(s)的的特征多项式特征多项式，方程，方程A(s)=0称为称为特特征方程征方程，它的根称为，它的

54、根称为特征根特征根，也称为，也称为F(s)的的固有频率固有频率（或自然频率）。（或自然频率）。n个特征根个特征根pi称为称为F(s)的的极点极点90若象函数若象函数F(s)是是s的有理分式，可写为的有理分式，可写为 01110111.)(asasasbsbsbsbsFnnnmmmm若若mn (假分式假分式)，可用多项式除法将象函数，可用多项式除法将象函数F(s)分分解为有理多项式解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。与有理真分式之和。 )()()()(0sAsBsPsF由于由于L-11= (t)， L -1sn= (n)(t)，故多项式，故多项式P(s)的拉的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。普

55、拉斯逆变换由冲激函数构成。11011011012.( )( )( ).()()()mmmmnnnnmmmmnna sasaA sF sB sb sbsba sasab spspsp(1)极点为实数，无重根极点为实数，无重根 (mn)nnpsKpsKpsKsF2211)(式中，系数式中，系数ai和和bi都为实数，都为实数，m和和n是正整数是正整数 ， pi为为 的极点的极点( )F s() ( ),iiispKsp F s1,2,in91例例 求下列函数的逆变换求下列函数的逆变换)3)(1()5)(2(10)(ssssssF解：解：将将F(s)展开成展开成部分分式形式部分分式形式312( )13

56、KKKF ssss分别求分别求K1,K2,K33100)(01sssFK21(1) ( )20sKsF s 3310(3) ( )3sKsF s ) 3( 3101203100)(ssssF)()310203100()(3tueetftt92 例：已知例：已知 求其拉氏反变换。求其拉氏反变换。841892)(22sssssF22222122( )2(2)222 ( )2cos2( )(2)2( )( )2 ( )cos2( )ttsF sstsetu tsf tF stetu tL93解：对解：对F(s)进行长除运算，进行长除运算，(2)包含共轭复数极点包含共轭复数极点)()()(22ssDs

57、AsF设：设： )()()(21mpspspssD其中：其中： mmpsKpsKpsKsBAssF221122)()(则则 其中：其中：() ( ),iiispKsp F s1,2,im,A B 由待定系数法求出。由待定系数法求出。94例：求下列函数的逆变换例：求下列函数的逆变换)2)(52(3)(22sssssF解解：4) 1(24) 1)(2(3)(2122sBAssKssssF57)()2(21ssFsK4) 1)(2()(2()52(574) 1(257)(222ssBAsssssBAsssF954) 1)(2(27)2514()57()(22ssBsABsAsF)2)(52(3)(2

58、2sssssF上两式的分子应相等，即上两式的分子应相等，即22714()(2 )72355A sBA sBs969771514205723ABAB2,52BA解之得：解之得：)()2sin542cos5257)(2tuteteetfttt4) 1(2522574) 1(257)(22ssssBAsssF4) 1(254) 1(522572sss984.2 LTI连续时间系统的复频域分析连续时间系统的复频域分析n4.2.1 系统函数系统函数n4.2.2 LTI连续时间系统对输入信号连续时间系统对输入信号 的响应的响应n4.2.3 LTI连续时间系统零状态响应的复频域连续时间系统零状态响应的复频域

59、分析分析n4.2.4 用单边拉氏变换解微分方程用单边拉氏变换解微分方程n4.2.5 用拉氏变换分析电路用拉氏变换分析电路990( )s tf te4.2.1 系统函数系统函数n1、系统函数的定义、系统函数的定义设设LTI连续系统输入连续系统输入f(t)时系统的零状态响应为时系统的零状态响应为yf(t)，则定义系统函数则定义系统函数H(s)为：为：( )( )( ),:(,)( )( )ffhhytYsH sf tF sLL100它只与系统的结构、元件参数有关，由系统唯一描述，它只与系统的结构、元件参数有关，由系统唯一描述，而与激励、初始状态无关。而与激励、初始状态无关。2.h(t)与与H(s)

60、是一对是一对LT101( )( ):(,)hhh tH s( )( )* ( )fytf th t( )( ):(,)fff tF s( )( ):(,)ffyyytYs fYsF sh tL fF sh tYsL3、 系统函数的求解方法：系统函数的求解方法：n(1)根据根据H(s)的定义，对系统微分方程取拉氏变换，的定义，对系统微分方程取拉氏变换，并求得并求得n(2)根据系统时域冲激响应根据系统时域冲激响应h(t)，求其拉氏变换，即，求其拉氏变换，即n(3)根据电路的根据电路的S域模型域模型，应用电路分析的理论方法，应用电路分析的理论方法，求出响应象函数和激励象函数的比。求出响应象函数和激励