第3章 点、直线、平面的投影

1、教学大纲规教学大纲规定的知识点定的知识点（1） 投影法基本知识（2） 物体的投影和视图（3） 物体上的点、直线和平面的投影（4） 平面内的点和直线（5） 投影变换6学时教学目的和教学目的和要求要求 本章通过介绍点、直线和平面的投影特点，使学生熟悉和掌握绘制、阅读工程图样以及图解空间几何问题所需的理论基础。 重点难点重点难点本章的重点就是三视图的形成及其投影规律，点、直线和平面的投影特点，难点是绘制物体的三视图。学习指导学习指导 在学习点、直线和平面的投影时，要和立体的投影结合起来，要用“长对正、高平齐、宽相等”的规律研究几何元素的投影，反过来用几何元素的投影规律研究立体的投影。可结合生产上的管

2、道图研究直线的投影及其应用，生产上的板金图研究平面的投影及其应用。 教学安排教学安排教学内容习题第一讲（1） 投影法基本知识（2） 物体的投影和视图习题集3-1第二讲（3） 物体上的点、直线和平面的投影（4） 平面内的点和直线习题集3-2、3-3第三讲（5） 投影变换习题集3-4习题集3-5、3-6第第3章章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影【本章的总体教学设计】【本章的总体教学设计】 首先在第一讲介绍三视图的形成及其投影规律，并介绍三视图的画法，在介绍三视图画法时，紧紧抓住“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律和“形体分析法”绘制三视图的步骤，在这儿介绍“形体分析法”目的是从开始就培养

3、学生正确的分析、观察物体的方法，此时的作业模型上不宜出现过多的斜面。然后第二讲介绍点、直线和平面的投影规律，可结合生产上的管道图研究直线的投影及其应用，生产上的板金图研究平面的投影及其应用，一定要将点、线、面的投影和立体的投影结合起来，不宜单纯介绍点、线、面的投影，要用三视图的投影规律分析点、线、面的投影；第三讲介绍绘制三视图综合举例，目的是在研究点、线、面的投影后，利用“线面分析法”研究带斜面的平面立体的投影，可选一些斜面比较多的模型，在绘制三视图时，要将“形体分析法”和“线面分析法”结合起来。第三章重点介绍曲面立体，但在讲曲面立体之前可进一步归纳平面基本体的投影。第一讲第一讲 投影法及三视

4、图的形成投影法及三视图的形成 【知识要点】（1） 中心投影的概念（2） 斜投影的概念（3） 正投影的概念（4） 三视图的形成及其投影规律（5）画三视图的方法和步骤 【教学方法】用动画和电子挂图介绍三视图的形成及其投影规律，然后介绍三视图的画法，在介绍三视图的画法时，要紧紧抓住形体分析法，从一开始就要同学养成正确观察方法和正确的画图习惯，千万不能看到一条棱就画一条线，不作形体分析。在介绍三视图的画图步骤时，对具体模型可将“形体分析法”和“线面分析法”结合起来，不能等到在组合体中才介绍形体分析法和线面分析法，那样学生如养成了不正确的观察方法和绘图习惯，该就困难了。这样讲为第三章的相贯线和截交线也打

5、下了基础。 【课前准备】准备好上课用的模型和往届学生的作业，教师要画一些示范作业，收集一些生产上用的简单物体的图纸，让同学看一看三视图在生产上的应用。 投影法的分类中心投影法平行投影法斜投影法正投影法3.1 投影法及三视图的形成一、投影法的分类（2）中心投影法中心投影法的投射线自一点发出，物体投影的大小取决于到投影面的距离d和物体相对于投影面的距离L，当d一定时，物体离光源越近，投影越大。（3）斜投影和正投影投射线为平行线时的投影称为平行投影。若投射线与投影面倾斜，则为斜投影；若投射线与投影面垂直，则为正投影。正投影的特性如下：实形性：当物体上的平面图形（或棱线）与投影面平行时，其投影反映实形

6、（或实长）；积聚性：当物体上的平面图形（或棱线）与投影面垂直时，其投影积聚为一条直线（或一个点）；类似性：当物体上的平面图形（或棱线）与投影面倾斜时，其投影与原形状类似，但平面图形变小了，线段变短了。（4）三视图的形成【一个视图的不定性】物体的一个视图只能反映出两个方向的尺寸情况，不同形状物体的某一视图可能会相同。所以，一个视图不能准确的表达物体的形状。在机械图样上有时也采用一个视图表达机械零件的形状，但是，这是必须附加说明，圆柱的直径标注“”，球体的直径标注“S”，板的厚度标注“t”等。在装配图上大家都非常熟悉的标准件，如螺栓、轴承等也只画一个视图。（4）三视图的形成【两个视图的不定性】 用

7、互相垂直的两个平面作投影面，得到的两个正投影能表达物体长、宽、高三个方向的尺寸，所以，一般情况下两个视图能表达清楚物体的形状，但有些物体用两个视图也不能准确的表达其形状，这时要用三个视图来表达物体的形状。（4）三视图的形成将物体放入由V、H、W面组成的投影体系中，用正投影的方法分别得到物体的三个投影，在V面上的投影称为主视图，在H面上的投影称为俯视图，在W面上的投影称为左视图。将三个视图面展平到一个平面内，并调整三个视图的相对位置，即得到物体的三视图。（5）三视图的投影规律因为主视图反映了物体长度方向（方向）和高度方向（Z方向）的尺寸；俯视图反映了宽度方向（Y方向）和长度方向的尺寸；左视图反映

8、了高度方向和宽度方向的尺寸。又因为俯视图绕X轴向下旋转90左视图绕Z轴向后旋转90，所以三个视图存在如下规律：(1)主、俯视图长度相等-长对正；(2)主、左视图高度相等-高平齐；(3)俯、左视图宽度相等-宽相等。“长对正、高平齐、宽相等长对正、高平齐、宽相等”反映了三个视图的内在联系，不仅物体的总体尺寸要符合上述规律,物体上的每一个形体、平面、直线、点都遵从上述规律。（6）三视图中图线的含义(1) 粗实线：表示物体的可见轮廓线；虚线：表示物体的不见轮廓线。(2) 视图中的细点画线主要用来表示：回转面的轴线；圆的对称中心线；物体的对称中心线。例1 三视图画图步骤三视图的画图方法：首先对物体作形体

9、分析，然后根据物体的生成过程从基础形体入手，由大到小逐步完成。画图时要注意两个顺序：（1）组成物体的基本形体的画图顺序；（2）同一个形体三个视图的画图顺序。三个视图中要先画形状特征最明显的那个视图。【形体分析】此物体的基础形体是一个长方体，然后叠加一个侧板，侧板和长方体的右面对齐，再叠加一个后板，后板和长方体的后面对齐，最后在侧板上切去一角。【画图步骤】（1）画地板。注意布图，先画俯视图，后画主、左视图；（2）画右侧板。它与地板的前、后、右三面都共面，此三处无交线；（3）画后侧板。它与地板的后面共面，和侧板不等高。（4）画右侧板切角。要先画左视图，再画主、俯视图。（5）检查，擦去多余图线，加深

10、完成全图。例 2 三视图画图举例【形体分析】此物体的基础形体是一个“L”形立体，在左侧和下部各切去一个矩形通槽，再叠加两个三棱柱板。【画图步骤】（1）先画“L”形基础形体，高度和长度尺寸和主视图对齐，宽度尺寸从立体图上量取；（2）画左、下切槽，左侧切槽先画俯视图，下部切槽先画主视图。主视图上有的尺寸，不 要从立体图上测量；（3）画三棱柱板，注意从立体图上测量尺寸时，必须沿X、Y、Z三个坐标轴方向测量，立体图上和三个坐标轴不平行的线段不反映实长。（7）利用AutoCAD绘制三视图绘制右图用到的命令有： Polyline、line、linetype、trim等第二讲第二讲 点、直线、平面的投影点、

11、直线、平面的投影 【知识要点】（1） 点的投影（2） 直线对投影面的相对位置及其投影规律（3）平面对投影面的相对位置及其投影规律 【教学方法】（1） 点：重点讲三个点，三个坐标均不为0的点、一个坐标为0的点、两个坐标为0的点。（2） 直线：先讲投影面垂直线，再讲投影面平行线，最后讲一般位置直线。（3）平面：先讲投影面平行面，再讲投影面垂直面，最后讲一般位置平面。 在介绍直线、平面的投影规律时可以和管道图、板金图联系起来讲。 【课前准备】生产上用的图纸：管道图和直线的投影联系，板金图和平面的投影联系。 3.2 点的投影空间点对于由V、H和W面组成的投影体系有三种位置关系：（1）当点的x、y、z坐

12、标均不为零时，点的三面投影均落在投影面内；（2）当点的x、y、z坐标有一个为零时，空间点在投影面上，其两个投影落在投影轴上，特别值得注意的是，当点在H面上时，其W面的投影落在Y轴上，当按三视图的形成方法展开投影体系时，其W面投影随Y轴一起绕Z轴向后旋转落在YW轴上。（3）当点的x、y、z坐标均有两个为零时，空间点在投影轴上，其一个投影与原点重合。3.3 直线的投影一、投影面垂直线空间直线对投影面有三种位置关系：平行、垂直和倾斜。若空间直线垂直于一个投影面，则必平行于其他两个投影面，这样的直线称之为投影面垂直线，对于垂直于V、H、W面的直线分别称之为正垂线、铅垂线和侧垂线。投影面垂直线在其垂直的

13、投影面上的投影积聚为一个点。二、投影面平行线 若空间直线平行于一个投影面，倾斜于其他两个投影面，这样的直线称之为投影面平行线，按其平行于V、H、W面分别称之为正平线、水平线和侧平线。投影面平行线在其平行的投影面上的投影反映实长，其他两个投影面上投影平行（或垂直）于投影轴，且投影线段的长小于空间线段的实长。三、一般位置直线 一般位置直线和三个投影面均处于倾斜位置，其三个投影和投影轴倾斜，且投影线段的长小于空间线段的实长。从投影图上也不能直接反映出空间直线和投影平面的夹角。3.4 平面的投影一、投影面平行面空间平面对投影面有三种位置关系：平行、垂直和一般位置。若空间平面平行于一个投影面，则必垂直于

14、其他两个投影面，这样的平面称之为投影面平行，对平行于V、H、W面的平面分别称之为正平面、水平面和侧平面。投影面平行面在其平行的投影面上的投影反映实形，其他两个投影面上投影积聚成一条直线。二、投影面垂直面若空间平面垂直于一个投影面，而倾斜于其他两个投影面，这样的平面称之为投影面垂直面，按垂直于V、H、W面的平面分别称之为正垂面、铅垂面和侧垂面。投影面垂直面在其垂直的投影面上的投影积聚成一条直线，该直线和投影轴的夹角反映了空间平面和其他两个投影面所成的二面角，其他两个投影面上的投影为类似形。三、一般位置平面若空间平面和三个投影面均处于倾斜位置，称之为一般位置平面。一般位置平面在三个投影面上的投影均

15、为类似形，在投影图上不能直接放映空间平面的实形和投影面所成的二面角。3.5 平面内的点和直线 点和平面的位置关系有两种：点在平面上和点不在平面上。若点在平面内的一条已知直线上，则点必在平面内。如右图（a）所示，已知平面ABC的两投影，且K点在平面ABC上，K的V面投影k已知，求作K点的H面投影。这个基本作图非常有用，图（b）所示的三棱锥，当钻出一个三棱柱孔时，三棱柱孔的两端面三角形在三棱锥的前后侧面上，可利用点在平面上的基本作图求出其H面投影和W面投影。平面内的直线直线和平面的位置关系有平行、相交和直线在平面内三种位置关系。 若直线上的两点在平面内，则直线在平面内；过平面内的一个已知点，作平面

16、内的一条已知直线的平行线，则直线在平面内。上图（a）为基本作图过程，图（b）中，三棱柱孔的端面三角形在四棱锥的前后侧面上，三棱柱孔的主视图已知，可用上述基本作图求出三棱柱孔的俯视图和左视图。第三讲第三讲 投影变换投影变换 【知识要点】（1） 直角三角形法（2） 直线的投影变换（3）平面的投影变换 【教学方法】 利用多媒体教学系统中的动画素材研究点、直线和平面的投影变换，要和第7章的斜视图联系起来讲，利用求直线的实长和平面的实形这个问题，启发学生研究求实长和实形的方法。可以和画展开图相联系，使学生感到投影变换是有用的工具。避免纯几何的研究。 【课前准备】熟悉多媒体教学系统中的动画素材。 一、直角

17、三角形法 直角三角形法的原理如右图所示，在直角三角形ABC中，AD=ab，BD=Z（B和A点的Z坐标差），AB为空间直线AB的实长，BAD为直线AB和H面的夹角，从投影图可知ab和B、A点的Z坐标差Z，所以可画出直角abE,使abEABD，则aE为空间直线AB的实长，baE为直线AB和H面的夹角。若求AB和V面的夹角，可用ab和B、A点的Y坐标差Y为直角边作直角abF，则Fab为直线AB和V面的夹角。二、直线的一次换面 一般位置直线可经过一次换面将其换成新投影面的平行线，在新投影面上的投影将反映空间直线对保留下来的旧投影面的夹角。例如若要求空间直线对H面的夹角和实长AB，可在由V、H面组成的投

18、影体系中添加新投影面V1，使V1和H面垂直，和直线AB平行，则在由V1、H面组成的新投影体系中AB为正平线，且线段AB端点的Z坐标不变，所以可由原投影求出直线在V1面上的投影。投影变换的原理如图所示。若要求直线对V面的夹角，可在由V、H面组成的投影体系中添加新投影面H1，使H1和V面垂直，和直线AB平行，则在由H1、V面组成的新投影体系中AB为水平线，且线段AB端点的Y坐标不变，所以可由原投影求出直线在H1面上的投影。投影变换的原理如图所示。三、平面的一次换面一般位置直线经过一次换面可以变换为投影面的垂直线，所以可经过一次换面求出其和投影面所成的角。若要求平面和H面所成的角可换掉V面保留H面，将平面变换为新投影体系的正垂面，如图所示。为了将一般位置直线变换为投影面垂直面，要先在平面内作一条水平线，X1轴和水平线的水平投影垂直，这样就可将这条水平线积聚为一个点，从而将平面积聚为一条直线。同理，若要求角，则换掉H面保留V面，需在平面内作一条正平线，将正平线积聚成一个点。投影面垂直面经一次换面可将其换成投影面平行，从而求出其实形，换面原理如图所示。一般位置直线可经过两次换面求出其实形，第一步先将一般位置直线换成投影面垂直线，第二次换面求出实形，。补充案例1 正垂面的实形【分析】“凸”字形断面是