第2-3章 杆件的内力和内力图及应力变形

1、例例 图示杆的图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为点分别作用着大小为FA = 5 F、 FB = 8 F、 FC = 4 F、 FD= F 的力，方向如图，试求各段内力并画出杆的力，方向如图，试求各段内力并画出杆的轴力图。的轴力图。FN1ABCDFAFBFCFDO解解： 求求OA段内力段内力FN1：设截面如图：设截面如图0 X01NABCDFFFFF 05841NFFFFFFFN21ABCDFAFBFCFDFN2FN3DFDFN4ABCDFAFBFCFDO求求CD段内力：段内力： 求求BC段内力段内力： 求求AB 段内力：段内力：0 X02DCBNFFFF0 X03DCNFFF04DNFF

2、0 XFN3= 5F，FN4= FFN2= 3F，BCDFBFCFDCDFCFD,21FFNFN2= 3F，FN3= 5F，FN4= F轴力图如下图示FNx2F3F5FFABCDFAFBFCFDOFN3= 5F，FN4= FFN2= 3F，,21FFN例例 等直杆等直杆BC BC , , 横截面面积为横截面面积为A A , , 材料密度为材料密度为r r , , 画画杆的轴力图，求最大轴力杆的轴力图，求最大轴力解解：1. 轴力计算 00N F glAlF N2. 轴力图与最大轴力 gxAxF N轴力图为直线glAF maxN, l2.2 2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压

3、缩时横截面上的内力和应力例题例题2.22.2 图示结构，试求杆件图示结构，试求杆件ABAB、CBCB的的应力。已知应力。已知 F F=20kN=20kN；斜杆；斜杆ABAB为直为直径径20mm20mm的圆截面杆，水平杆的圆截面杆，水平杆CBCB为为15151515的方截面杆。的方截面杆。F FA AB BC C 0yFkN3 .281NF解：解：1 1、计算各杆件的轴力。、计算各杆件的轴力。（设斜杆为（设斜杆为1 1杆，水平杆为杆，水平杆为2 2杆）杆）用截面法取节点用截面法取节点B B为研究对象为研究对象kN202NF 0 xF4545045cos21NNFF045sin1 FFN1 12

4、2F FB BF F1NF2NFxy4545l2.2 2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力kN3 .281NFkN202NF2 2、计算各杆件的应力。、计算各杆件的应力。MPa90Pa109010204103 .286623111AFNMPa89Pa1089101510206623222AFNF FA AB BC C45451 12 2F FB BF F1NF2NFxy4545例例 已知简单构架：杆已知简单构架：杆1 1、2 2截面积截面积 A1=A2=100 mm2，材料的许材料的许用拉应力用拉应力 t =200 MPa，许用压应力，许用压应力 c

5、 =150 MPa 试求：载荷试求：载荷F F的许用值的许用值 F解：解：1. 轴力分析轴力分析0 , 0 yxFF由由)( 2N1拉伸拉伸FF)( N2压缩压缩FF2,t1t11AFAFNkN 14.142t1 AFkN 0 .15c2 AFc2AFkN 14.14 F2. 利用强度条件确定利用强度条件确定F（A1=A2=100 mm2，许用拉应力，许用拉应力 t =200 MPa，许用压应力，许用压应力 c =150 MPa）例例 已知已知：l, h, F（0 x a时时lbMMemax lMxFeS发生在发生在C截面右侧截面右侧FslxMe lMxMealMeb* 集中力偶作用点处剪力图

6、无影响，弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小。BlACab xlMxMe xllMxMelxaax 0解解：1、支反力2、写出内力方程),(2)(:1kNFxFACAYs1kN/m2kNABC D1m1m2mx1x3x2FAYFBY)( 2);( 20432121, 00212, 0kNFkNFFMFFYBYAYAYBBYAY 例例 画出梁的内力图。),.(2)(111mkNxxFxMAY, 0222)(:2AYsFxFCD,21)(:333xxFxFBCBYs),.(2) 1(2)(222mkNxxFxMAY,2221)(2333333xxxxxFxMBY3、根据方程画内力图1kN/

7、m2kNABC DFAYFBYxFs(x)x2kN2kN)20(22)()20(2)(:)21 (2)()21 (0)(:) 10(2)() 10(, 2)(:32333333222211111xxxxMxxxFBCxxMxxFCDxxxMxxFACsss，2kN.m2kN.mM(x)2-7 2-7 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用一、一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系1 1、支反力：、支反力：2qlFFBYAYLqFAyFBy2 2、内力方程、内力方程qxqlxFs21)()0(lx 22121)(qxqlxxM)0(lx 3

8、3、讨论如下、讨论如下qxqldxxdM21)(qdxxdFs)(x),(xFs)(xqsFMARA对对dx 段进行平衡分析，有：段进行平衡分析，有：0)(d)(d)()(0 xFxFxxqxFYsss)(dd)(sxFxxqdxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+dFs (x)Fs(x)M(x)dxAy xqxxFdds 剪力图上某点处的切线剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大斜率等于该点处荷载集度的大小。小。 q(x)M(x)+d M(x)Fs(x)M(x)dxAy, 0)(iAFm)(d)(dxFxxMs 弯矩图上某点处的切弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力

9、的线斜率等于该点处剪力的大小。大小。)(d)(d22xqxxM0)(d(21)()d(-)(d)(2xxqxMxxFxMxMsFs(x)+dFs (x) xqxxFdds)(d)(dxFxxMs)(d)(d22xqxxMq、Fs和和M三者三者的微分关系的微分关系二、微分关系的应用二、微分关系的应用-作作Fs 图和图和 M 图（用于定形）图（用于定形）2 2、分布力、分布力q(x) = = 常数时常数时1 1、分布力、分布力q(x)=0)=0时时 （无分布载荷）（无分布载荷）Fs 图：图：M图：图： CxFxqxxFs)(0ddsDCxxMCxFxxMs)()(d)(d CqxxFqxqxxFs

10、)(ddsDCxqxxMCqxxFxxMs221)()(d)(d xqxxFdds)(d)(dxFxxMs)(d)(d22xqxxM 剪力图为一条剪力图为一条水平线水平线； 弯矩图为一条弯矩图为一条斜直线斜直线。剪力图为一条剪力图为一条斜直线斜直线； 弯矩图为一条弯矩图为一条二次曲线二次曲线。（1 1）当分布力的方向向上时）当分布力的方向向上时, 0q剪力图为剪力图为斜向上斜向上的斜直线；的斜直线； 弯矩图为弯矩图为上凸上凸的二次曲线。的二次曲线。 CqxxFqxqxxFs)(ddsDCxqxxMCqxxFxxMs221)()(d)(d（2 2）当分布力的方向向下时）当分布力的方向向下时Fs图

11、：图：M图：图：M(x), 0q剪力图为剪力图为斜向下斜向下的斜直线；的斜直线； 弯矩图为弯矩图为下凸下凸的二次曲线。的二次曲线。Fs图：图：M图：图：M(x)控制点控制点: :端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。三、简易法作内力图：三、简易法作内力图： 利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值利用微分关系定形，利用特殊点的内力值来定值 利用积分关系定值利用积分关系定值 基本步骤： 1、确定梁上所有外力（求支座反力）； 2、分段 3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状； 4、确定控制点内力的数值大小及正负； 5、画内力图。利用剪力、弯矩与

12、分布荷载间积分关系利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值定值 212121)()()()()(dd1s2ssssxxxxQQdxxqFFdxxqxdFdxxqxdFxqxxF 212121)()()()()(dd12xxsxxsMMssdxxFMMdxxFxdMdxxFxdMxFxxM 梁上任意两截面的剪力梁上任意两截面的剪力差等于两截面间载荷图所包差等于两截面间载荷图所包围的面积围的面积 梁上任意两截面的弯矩梁上任意两截面的弯矩差等于两截面间剪力图所包差等于两截面间剪力图所包围的面积围的面积积分关系积分关系: : 例例 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。用简易作图法画下列各图示梁的内力图。

13、左端点：剪力图有突变，突变值左端点：剪力图有突变，突变值 等于集中力的大小。等于集中力的大小。右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。右端点：弯矩图有突变，突变值等于集中力偶的大小。qaxaaqaq解解：1、确定支反力（可省略）、确定支反力（可省略）AB：BC：2、画内力图、画内力图Fym223; 0qamFYABCsFxsFsF, ,0qaqaFcs,qaFAs右右；, 0qq 0,；M,2qaMB, 0AM;5 . 12qaMC,qaFBsMqa2(Fs 0, 所以所以Fs图向正方向斜图向正方向斜)( 积分关系积分关系FsB=FsA+0)MC= MB+(-1/2qa a)= qa2

14、 1/2 qa2MB= MA+(-qa a)=0-qa2 )M;5 . 12qa例例画组合梁的剪力与弯矩图画组合梁的剪力与弯矩图组合梁组合梁, ,需拆开需拆开, ,以分析梁的受力以分析梁的受力2FFFCyAy 23FFDy 23FaMD 1. 受力分析受力分析特点特点：铰链传力不传力偶矩，：铰链传力不传力偶矩，与铰相连与铰相连的两横截面上的两横截面上, M = 0 , FS 不一定为零不一定为零2. 画画 FS 图图水平直线水平直线3. 画画 M 图图直线直线23maxSFF 23maxFaM MFa/2-Fa/23Fa/2例例: 试作图所示悬臂刚架的内力图。试作图所示悬臂刚架的内力图。5kN

15、20kNc)b)a)ABECD20kN20kNCCDBCD5kN20kNBCD20kN5kNd)e)MCBFQCBFNCBFQBCFNBCMBCFQCDMCDFNCDMBAFNBAFQBA1m3m2m2m悬臂刚架例题悬臂刚架例题20kNCDFNCDMCDFSCD20kNCMCEFsCEFNCEBCD5kN20kNFsBCFNBCMBCBCD20kN5kNMBAFNBAFSBA5kN20kNc)b)a)ABECD20kN20kNCCDBCD5kN20kNBCD20kN5kNd)e)MCBFQCBFNCBFQBCFNBCMBCFQCDMCDFNCDMBAFNBAFQBA1m3m2m2mABCD20

16、kN5kNFsABFNABMAB5kN20kNc)b)a)ABECD20kN20kNCCDBCD5kN20kNBCD20kN5kNd)e)MCBFQCBFNCBFQBCFNBCMBCFQCDMCDFNCDMBAFNBAFQBA1m3m2m2mM图(单位:kN.m)3050302020只有两杆汇交的刚结点，若结只有两杆汇交的刚结点，若结点上无外力偶作用，则两杆端点上无外力偶作用，则两杆端弯矩必大小相等，且同侧受拉。弯矩必大小相等，且同侧受拉。h)i)FQ图(单位:kN)FN图(单位:kN)20205205M图(单位:kN.m)3050302020简支刚架例题简支刚架例题例: 试作图示简支刚架试作

17、图示简支刚架的内力图。的内力图。2m3m3m6m10kN6kN20kN/mECDAFBFBxFByFAy然后取各杆段为隔离体，分别计算各杆端的内力。然后取各杆段为隔离体，分别计算各杆端的内力。最后，根据各杆端内力作出内力图。最后，根据各杆端内力作出内力图。解：简支刚架的内力简支刚架的内力计算一般先取整个计算一般先取整个刚架为隔离体，利刚架为隔离体，利用平衡条件求出支用平衡条件求出支座反力。座反力。（1）求支座反力）求支座反力取整个刚架为隔离取整个刚架为隔离体，利用平衡条体，利用平衡条件有件有 Fx0 ： FBx16 kN（）MB0： FAy47 kN（）MA0： FBy73 kN（）2m3m3

18、m6m10kN6kN20kN/mECDAFBFBxFByFAy（2）求杆端内力）求杆端内力CE段段MCE（62）kNm12kNm（左拉）（左拉）FSCE6kNFNCE0AC段段MCA（103）kNm30kNm（左拉）（左拉）FSCA10kNFNCA47kNFSCE6kNMCEFNCEECFNCAMCAFSCACA47kN10kNC结点结点由由M0、Fy0和和Fx0得得MCDMCAMCE18kN（上拉）（上拉）FSCDFNCA47kNFNCDFSCAFSCE16kN以此类推可以求得其余各杆端内力。以此类推可以求得其余各杆端内力。MCDFNCEMCEFNCAFNCDFSCDFSCAFSCEMCAC

19、FNDCFNCDFQDCFQCDMCDMDCC20kN/mD（3）根据杆件内力的变化规律与特点作出刚架）根据杆件内力的变化规律与特点作出刚架的内图。的内图。+647731610 FS图（单位 kN）471673 FN图（单位 kN）96961830 M图（单位 kNm）1290三铰刚架例题三铰刚架例题例例: 试作图所示三铰刚架的内力图。试作图所示三铰刚架的内力图。6m2m4m4m20kN/mABCDEa解：（：（1）求支座反力）求支座反力取刚架整体为隔离体取刚架整体为隔离体MA0 ： FBy=80kNFy0 ： FAy=80kNFx0 ： FAx=FBx取铰取铰C右边部分为隔离体右边部分为隔离

20、体MC0：FAx=FBx =20kN 6m2m4m4m20kN/mABCDEFAy=80kNFAx=20kNFBx=20kNFBy=80kNa（2）求杆端内力）求杆端内力取取AD段为隔离体段为隔离体MD0 ：MDA=120kNm （左拉）（左拉）Fx0：FSDA= 20kNFy0：FNDA= 80kNFNDAMDAFSDADA20kN80kN6m2m4m4m20kN/mABCDEFAy=80kNFAx=20kNFBx=20kNFBy=80kNa取结点取结点D为隔离体为隔离体6m2m4m4m20kN/mABCDEFAy=80kNFAx=20kNFBx=20kNFBy=80kNaDFNDAMDAF

21、SDAFNDCMDCFSDCMD0 ：MDC= 120kNm （外拉）（外拉）沿沿FNDC方向应用投影方程有方向应用投影方程有FNDC= 20cos 80sin = -53.6 kN沿沿FSDC方向应用投影方程有方向应用投影方程有 FSDC= 62.6 kN取取DC段为隔离体，沿段为隔离体，沿FNDC方向应用投影方程有方向应用投影方程有FNDC=（ 53.6+ 204sin）kN = 17.8kN沿沿FSDC方向应用投影方程有方向应用投影方程有FSDC= (62.6 204 cos) kN = 8.9kN6m2m4m4m20kN/mABCDEFAy=80kNFAx=20kNFBx=20kNFB

22、y=80kNa20kN/mDCMCDFNCDFSCDFsDCFNDCMDCa同理，另一半刚架的各杆端内力为同理，另一半刚架的各杆端内力为MEC =120kNm（外侧受拉）（外侧受拉） FNEC = 53.6kN FSEC= 62.6kNMEB = 120kNm（右侧受拉）（右侧受拉） FNEB = 80kN FSEB=20kN6m2m4m4m20kN/mABCDEFAy=80kNFAx=20kNFBx=20kNFBy=80kNa（3）作内力图）作内力图弯矩图弯矩图120120120-2.5120M图(单位:kN.m)-2.56m2m4m4m20kN/mABCDEFAy=80kNFAx=20kN

23、FBx=20kNFBy=80kNa剪力图剪力图轴力图轴力图20-+62.6-62.58.98.9-+20+FS图(单位:kN)-80-53.617.8-53.6FN图(单位:kN)80例: 试作图示组合刚架的内力图。试作图示组合刚架的内力图。6m4.5m1.5m20kN/m4.5m10kN/mABCDEFG组合刚架例题组合刚架例题解：（1）求附属部分的支座反力）求附属部分的支座反力取取FGC部分为隔离体，利用平衡条件有部分为隔离体，利用平衡条件有MF0：FCy=22.5kN （）Fx0：FFx= 45kN （）Fy0：FFy= 22.5kN （）10KN/mGCFCy=22.5kN=22.5k

24、NFFyFFx=45kN6m4.5m1.5m20kN/m4.5m10kN/mABCDEFG（2）求附属部分各杆端内力）求附属部分各杆端内力分别取分别取FG段、结点段、结点G和和GC段为隔离体段为隔离体MGF=101.25kNm（上拉）（上拉） FSGF = 22.5kN FNGF= 45kNMGC= 101.25kNm（右拉）（右拉）FSGC = 45kN FNGC= 22.5kNMGCFSGC G22.5kNC10kN/mFNGCFSGFFNGFMGFGF22.5kN45kNMGFFSGFFNGFFSGC MGCFNGCG10KN/mGCFCy=22.5kN=22.5kNFFyFFx=45k

25、N（3）分析基本部分）分析基本部分20KN/mDEFBAFAx=45kNFAy=93.75kN=3.75kNFByFFyFFx10KN/mGCFCy=22.5kN=22.5kNFFyFFx=45kN（4）作内力图）作内力图弯矩图弯矩图6m4.5m1.5m20kN/m4.5m10kN/mABCDEFG67.527027090101.25101.2567.5M图(单位:kN.m)剪力图和轴力图剪力图和轴力图67.527027090101.25101.2567.5M图(kN.m)4545-26.25-4522.5-+93.75+FS图(单位:kN)FN图(单位:kN)26.254593.75-3.7

26、5-22.545-计算题1.梁受力如图（a）所示，求1-1，2-2，3-3面上的剪力与弯距。其中1-1面与2-2面分别在紧靠外力偶m作用面C的左则与右则。112233（a）aa2aABC22mqaqBmBYqa1111 10( )0OMMOYqaqamFMqa a 1111现用设正法1）求1-1截面上Q、用截面截取梁左段为研究对象。如图（b）所示，设截面上作用有正向Q、， 为截面形心。由静力平衡条件 解： QQ21Mqa 1 Q 为负值，说明它实际方向向上。同时，按剪力+、-号规定也应为负值，说明它实际转向为顺时针，按弯距+、-号规定也应为负值。AO111Q1MaqAY( )b2222220(

27、 )201OMYqaqamFMqa aqaMqaM 22222)求2-2截面上Q 、取截面，设正后研究对象受力如图（c） QQ对Q 的说明同）；为正值，说明它实际转向与所设 相同，即逆时针，按弯距+、-号规定也应为正值。( ) ca2222qaqaAO2Q2M( )da3322qaqaA3Q3MqC/2a323233023( )2022 4382OMaYqaqqaaa amFMqaqqaMqaM 33333）求3-3截面上Q 、方法同上，由图（d）有 -QQ 对Q 、的说明同 ）。2. 列方程作图（a）所示梁的剪力图与弯距图（a）2axABCmPa3BmPaBYPP2axx 322BBxMYP

28、mPaxM xACxPxaM xPxxaCBxP 如图（a）建 轴，列方程作Q、 图的步骤如下：1）求支承约束力用整梁平衡条件求得、（图（a）。2）列Q、方程段Q（解：0）（0）段Q 2424axaM xPxPaa xa （）（ （b）（c）（d） (B)（b）（a）（d）（c）(C)（d）（c）（b）（a） (D)（d）（b）（c）（a）答案：DllllllllllllP( )a( ) c( )b( )dPPP四、计算31.1.540ABAlbhPcr压杆由钢制成，长度m,矩形截面mm60mm。试就（a）、（b）两种支承约束情况计算临界力 （设铰链均为球铰）。ABlPII（a）ABlII（b）PI-Ibhyzmaxminmax/yzyzPl iiI AAlIIIIOII mm c