第21讲 斜面应力状态分析

1、2022-3-71张贵杰张贵杰Tel-Mail： 河北联合大学金属材料及加工工程系河北联合大学金属材料及加工工程系金属塑性变形理论金属塑性变形理论第第21讲讲2022-3-72第十章 应力状态分析主要内容Main Content 应力状态基本概念应力状态基本概念 斜面上任一点应力状态分析斜面上任一点应力状态分析 求和约定和应力张量求和约定和应力张量 主应力及主切应力主应力及主切应力 球应力及偏差应力球应力及偏差应力 2022-3-7310.2 斜面上任一点应力状态分斜面上任一点应力状态分析析 要想了解一点的应力状态必须知道过该点要想了解一点的应力状态必须知道过该点任意

2、截面上的应力分布。但是过该点的截任意截面上的应力分布。但是过该点的截面有无穷多个，我们没有办法一一列举。面有无穷多个，我们没有办法一一列举。为此必须采用其他方式进行描述。为此必须采用其他方式进行描述。 2022-3-74 一点的应力向量不仅取决于该一点的应力向量不仅取决于该点的位置，还取决于截面的方位。点的位置，还取决于截面的方位。 2022-3-75 通过变形体内任意点垂直坐标轴截取三个相互垂直的通过变形体内任意点垂直坐标轴截取三个相互垂直的截面和与坐标轴成任意角度的倾斜截面，这四个截面截面和与坐标轴成任意角度的倾斜截面，这四个截面构成一个四面体素构成一个四面体素 2022-3-76zxyo

3、s sxs s ys szt txyt tyzt tyxt txzt tzyt tzxSnnSnxSnySnzs snt t nBACdsExAoE2009-11-11-32022-3-77 该微分斜面面积为该微分斜面面积为ds，外法线方向的方向余弦，外法线方向的方向余弦为：为： cos(n,x)=l 、cos(n,y)=m 、cos(n,z)=n 三个垂直坐标面的面积可以表示为：三个垂直坐标面的面积可以表示为：ldsxnSSABCOBC,cosmdsynSSABCOAC,cosndsznSSABCOBA,cos xza ag gn1222nml方向余弦有：方向余弦有：2022-3-78 由于

4、变形体处于平衡状态，对于任意体素都由于变形体处于平衡状态，对于任意体素都有三个方向的受力平衡，即有三个方向的受力平衡，即 0X 0Y 0Z 在在x方向：方向： 在在y方向：方向： 在在z方向：方向： 0ndsmdsldsdsSzxyxxnxtts0ndsmdsldsdsSzyyxynytst0ndsmdsldsdsSzyzxznzstt2022-3-79 整理后可得方程整理后可得方程 用矩阵表示为用矩阵表示为nmlSnmlSnmlSzyzxznzzyyxynyzxyxxnxstttstttsnmlSSSzyzxzzyyxyzxyxxnznynxstttsttts（）2022-3-710 把微分

5、斜面上的合应力把微分斜面上的合应力Sn，向法线，向法线n方向投影，便可方向投影，便可求出微分斜面上的正应力，或将求出微分斜面上的正应力，或将Snx、Sny、Snz分别投分别投影到法线影到法线n上，也同样得到微分斜面上的正应力，即上，也同样得到微分斜面上的正应力，即 将将Snx、Sny、Snz带入上式得带入上式得 微分面上的剪应力为微分面上的剪应力为nSmSlSnznynxnsnlmnlmnmlzxyzxyzyxntttssss222222222nnnSst2022-3-711 若坐标轴为主轴，则与坐标轴垂直的截面上的切若坐标轴为主轴，则与坐标轴垂直的截面上的切应力为零，则由应力为零，则由可得可

6、得而而所以所以nlmnlmnmlzxyzxyzyxntttssss222222232221nmlnssss223222221nmlSnsss2221322232222212lnnmmlnsssssst2022-3-712 综上可知，变形体内任意点的应力状态可以综上可知，变形体内任意点的应力状态可以通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的通过该点且平行于坐标面的三个微分面上的九个应力分量来表示。九个应力分量来表示。 或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴或者说，通过变形体内任意点垂直于坐标轴所截取的三个相互垂直的微分面上各应力所截取的三个相互垂直的微分面上各应力 已已知时，便可确定该点的应力状态。

7、知时，便可确定该点的应力状态。 xsyszsyxxyttzyyzttxzzxtt ijs2022-3-713应力边界条件方程 如果该四面体素的斜面如果该四面体素的斜面恰好为变形体的外表面恰好为变形体的外表面上的微面素，并假定此上的微面素，并假定此面素单位面积上的作用面素单位面积上的作用力在坐标轴方向的分力力在坐标轴方向的分力分别为分别为px、py、pz，则，则nmlpnmlpnmlpzyzxzzzyyxyyzxyxxxstttsttts2022-3-714 应力边界条件方程的物理意义：应力边界条件方程的物理意义： 建立了过外表面上任意点，单位表面力与建立了过外表面上任意点，单位表面力与过该点垂

8、直坐标轴截面上应力分量的关系。过该点垂直坐标轴截面上应力分量的关系。2022-3-715课堂练习 已知变形体某点应力状态如图所示，当斜面已知变形体某点应力状态如图所示，当斜面法线方向与三个坐标轴夹角余弦法线方向与三个坐标轴夹角余弦 时，求该斜面上的全应力时，求该斜面上的全应力S，全应力在坐标轴，全应力在坐标轴上的分量上的分量Sx、Sy、Sz， ，及斜面上的法线应力，及斜面上的法线应力s sn和切应力和切应力t tn。 31nml2022-3-716解：首先确定各应力分量解：首先确定各应力分量s sx=10、 s sy=10、 s sz=0、 t txy=t tyx= 5、 t txz=t tz

9、x=5、 t tyz=t tzy=0 （单位（单位MPa） 。由。由3531031031531531031103153203153153110nmlSnmlSnmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxxstttsttts3265222zyxSSSS2022-3-71734031) 52521010( 222222nlmnlmnmlzxyzxyzyxntttssss143593503403650222nnSst2022-3-718321321321333222111nnnmmmlllnmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxxzzyzxyzyyxxzxyxstttstttsstttsttts应力坐标变换公式应力坐标变换公式其中其中li、mi、ni为新坐标轴在原坐标系下