第1章 矢量分析

1、第一章 矢量分析 第一章 矢量分析与场论 分析场问题的必要的数学基础量分析（数学工具）电场和磁场都是一种场场分析法场的概念：物理量数值的无穷集合。例如：在教室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布确定了一个电位场。分类：标量场和矢量场、静态场和动态场（时变场）。属性：占有一个空间，且在该空间域内，除有限个点 和表面外它是处处连续的。第一章 矢量分析 1.1 矢量及其代数运算矢量及其代数运算 1.2 圆柱坐标与球坐标圆柱坐标与球坐标 1.3 矢量场矢量场* 1.4 标量场标量场* 1.5亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 第一章 矢量分析 1.1 矢量及其代数运算矢量及其代数运算 1.1.1. 标

2、量（Scalar）与矢量(Vector) 1. 标量：实数域内任一代数量，只表示该代数量大小。 矢量：既表示大小（模），又表示方向。 物理学中，赋予单位，具有物理意义，称为物理量。 例如： 标量有电压、电流、温度、时间、质量、电荷等； 矢量有电场、磁场、力、速度、力矩等。 2. 矢量的表示：矢量 可以表示为 其中， A是矢量 的大小; 代表矢量 的单位矢量。AaAAAaA第一章 矢量分析 零矢(Zero Vector)：大小为零的矢量，又称空矢(Null Vector) 。 单位矢量（Unit Vector)：大小为1的矢量。3. 位置矢量：从原点指向点P的矢量，用 表示。 即空间中点P(X,

3、Y,Z)能够由它在三个相互垂直的轴线上的投 影唯一地被确定。4. 直角坐标系中，矢量 可以表示为222zyxAAAAArzzyyxxaAaAaAA)211 (zyxaZaYaXr第一章 矢量分析 1.1.2 矢量的代数运算 设两个矢量为 ， ，则zzyyxxBABABAABBAcosxxyyzzAe Ae Ae A xxyyzzBe Be Be B 1.标量积(Scalar Product) ： 标量 标量积服从交换律和分配律，即CABACBAABBA)(,第一章 矢量分析 （右手螺旋）)()()(sinxyyxzzxxzyyzzyxzyxzyxzyxnBABAaBABAaBABAaBBBAA

4、AaaaABaBAC2.矢量积(Vector Product) ：又称矢量的叉积(Cross Product)。BAnaaa矢量的叉积不服从交换律，但服从分配律，即 CABACBAABBA)(,第一章 矢量分析 xxxyyyzzzABe (AB )e (AB )e (A +B ) xxxyyyzzzABe (AB )e (AB )e (AB ) 3.矢量和：4.矢量差：5. 直角坐标系中的单位矢量有下列关系式： 0zxzyyxeeeeee1zzyyxxeeeeeeyxzxzyzyxeeeeeeeee,0zzyyxxeeeeee第一章 矢量分析 1.3 矢量场矢量场 本节要点：本节要点：考察矢量

5、场在空间的分布及变化规律。l 矢量线矢量线l 通量和散度通量和散度l 环量与旋度环量与旋度第一章 矢量分析 1.3.1 矢量场的矢量线矢量场的矢量线(Vector Line) 例如：静电场的电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线。图 1-10 力线图 )(rArdro所谓矢量线就是这样一些曲线：在曲线的每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上。第一章 矢量分析 矢量线方程：)531 (zzyyxAdAdAdx0 rdA定义式直角坐标系中， 结论： 矢量线可以使我们直观、形象地了解矢量场在空间的分布状况。第一章 矢量分析 例例1-1 求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量线方程。解：解

6、： 矢量线应满足的微分方程为 zydzyxdyxydx222zydzxydxyxdyxydx22222221cyxxcz从而有 解之即得矢量方程 c1和c2是积分常数。 第一章 矢量分析 例例1-2 设点电荷q位于坐标原点，它在空间任一点P（x, y, z)处所产生的电场强度矢量为求 的矢量线方程画出矢量线图。解：解：zdzydyxdxyczxcy21由式（135）得矢量线方程为 c1和c2是积分常数。 rrqE304EzzyyxxzyxEaEaEazayaxarqrrqE)(443030此方程解为 第一章 矢量分析 zyx 由图可见，电力线是一簇从点电荷出发向空间发散的径向辐射线，它形象地描

7、述点电荷的电场在空间的分布状况。第一章 矢量分析 1.3.2 矢量场的通量及散度矢量场的通量及散度 1. 矢量场的通量矢量场的通量(Flux)面元矢量：dSnSd单位矢量 是面元外法线方向。nnASd)731 (cosdSASdA标量积称为矢量 穿过 的通量。SdA第一章 矢量分析 )831 (SSdSnASdA)931 (SdAS矢量场 穿过整个曲面 的通量为：AS如果 是一个闭合曲面，则其通量为：S 通量的物理意义：（假设矢量场 为流体的速度） 通量表示在单位时间内流体从闭合曲面内流出曲面 的正流量与流入闭合曲面 内部的负流量代数和，即净流量。ASS第一章 矢量分析 若 ，表示有净通量流出

8、，说明封闭曲面 内必定有产生流体的正源（Source）； 若 ，表示有净通量流入，说明封闭曲面 内有吸收流体的负源（Sink,称之为沟）； 若 ，表示流入等于流出，此时 内正源与负源的代数和为零，即没有源。SSS00 0 (有正源) 0 (有负源) = 0 (无源)0第一章 矢量分析 结论：结论： 矢量场在闭合面上的通量是由面内的源决定的，它是一个积分量。它描绘闭合面内较大范围内的源的分布情况。 描述场中每一个点上源的性质，必须引入新的矢量，故引入矢量场的散度的概念。第一章 矢量分析 称此极限为矢量场 在点P处的散度。 设有矢量场 ，在场中任一点P处作一个包含P点在内的任一闭合曲面 ， 设 所

9、限定的体积为V， 当体积V以任意方式缩向P点（ ）时， 取下列极限: 2.矢量场的散度矢量场的散度 （divergence ）1) 散度定义0VSSAVSdASV0limAPSAVn记作VSdAAdivSV0lim定义式第一章 矢量分析 2) 哈密尔顿（Hamilton)算子 哈密顿算子是一个矢性微分算子，在直角坐标系中有： AdivA故在直角坐标系中，散度的表达式可写为)1431 ()(zAyAxAeAeAeAezeyexAzyxzzyyxxzyx)1331 (zayaxazyx计算式即第一章 矢量分析 在圆柱坐标系和球坐标系中，散度的表达式分别为)1531 (1)(1zAAAAz)1631

10、 (sin1)sin(sin1)(122ArArArrrAr第一章 矢量分析 结论： 散度表示场中一点处的通量对体积的变化率。也就是说在该点处对一个单位体积来说所穿出的通量，称为该点处源的强度。 散度是一个标量，它描述的是场分量沿各自方向上的变沿各自方向上的变化规律化规律。故散度用于研究矢量场标量源在空间的分布状况。 在P点处， ，表明 在该点有散发通量之正源，称为源点； ，表明 在该点有吸收通量之负源，称为汇点； ，表明 在该点无通量源，称为连续或无散的。A0Adiv0Adiv0AdivAA第一章 矢量分析 3) 高斯散度定理（Divergence Theorem） )221 ( VSSdA

11、dVA 即矢量场 散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭曲面的总通量A第一章 矢量分析 【例1-3】在矢量场 中，有一个边长为1的立方体，它的一个顶点在坐标原点上，如图示。试求： (1) 矢量场 的散度； (2) 从六面体内穿出的通量，并验证高斯散度定理。 解：(1) 根据散度计算公式得， (2) 从单位立方体穿出的通量：yzaxyaxaAzyx2Axxy11zo1yxzyzyxyxxA3)()()(2下上右左后前SdASdASdASdASdASdASdAS第一章 矢量分析 21210)10（右左右左yyyydxdzaAdxdzaASdASdAxy11zo1101)(01后前后前xxxxd

12、ydzaAdydzaASdASdA21021)(01下上下上zzzzdxdyaAdxdyaASdASdA VdxdydzyxdVA1010102)3(VSSdAdVA 故从单位立方体内穿出的通量为2，且高斯散度定理成立，即第一章 矢量分析 1.3.3 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 )1931 (cosdlAldAcc 1.环量定义(Circulation) 设有矢量场 ， 为场中的一条封闭的有向曲线，则定义矢量场 环绕闭合路径 的线 积分为该矢量的环量环量，记作AAll图 1-14矢量场的环量 lldAPoxyz第一章 矢量分析 环量是矢量 在大范围闭合曲线上的线积分，反映了闭合曲线内

13、旋涡场的分布情况。要分析每个点附近旋涡源的分布情况，引入旋度。 矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是描绘矢量场 性质的重要物理量，同样都是积分量。AA 矢量的环量也是一标量，如果 ，则表示闭合曲线 内有产生这种场的旋涡源；如果 ，则表示该封闭曲线内无涡旋源。0l0l第一章 矢量分析 1) 环量密度2. 矢量场的旋度(curl)2031 (lim0SldAcSnlPS图1-15 闭合曲线方向与 面元方向示意图此极限值就是环量的面密度（即环量对面积的变化率）。第一章 矢量分析 环量面密度与 所围成的面元 的方向有关： 如果 围成的面元矢量与旋涡面的方向重合，则环量面密度最大；如果所取面元矢量

14、与旋涡面的方向之间有一夹角，则环量面密度总小于最大值；如果面元矢量与旋涡面的方向相垂直，则环量面密度为零。 即在给定点上，不同路径，环量面密度不同。故引入旋度来限制给定点上的环量面密度。S2）旋度的定义llnlArot旋涡面P第一章 矢量分析 )2231 (limmax0SldAnRArotcS 矢量场 的旋度描述了矢量 在该点的旋涡源强度，若在某区域中各点 则称矢量场无无旋场或者保守场。0ArotAA0)(A旋度的一个重要性质是任意矢量的旋度的散度恒等于零。即 旋度是一个矢量，模值等于矢量 在给定点处的最大环量面密度；方向就是当面元的取向使环量面密度最大时，该面元的方向 ,它描述的是场分量沿

15、着与它相垂直方向上的变化规场分量沿着与它相垂直方向上的变化规律。律。An第一章 矢量分析 xxyyxzxyzzzyyxxzyxayAxAazAxAaxAyAaAaAaAazayaxAArot)()2431(zyxxyxAAAzyxaaa直角坐标系中，旋度的表达式为注：矢量 在圆柱坐标系和球坐标系中的旋度表达式见附录1 （P237）。A第一章 矢量分析 3)斯托克斯定理（Stokes Theorem） )381 ()(cSldASdA 斯托克斯定理完成矢量旋度的面积分与该矢量的线积分之间的互换。式中 的方向与 的方向成右手螺旋关系（证明略）。 Sdld 矢量场在闭合曲线 上的环量等于闭合曲线 所

16、包围曲面 上旋度的总和。Sll第一章 矢量分析 【例【例1-4】 已知一矢量场 试求： (1) 该矢量场的旋度； (2) 该矢量场沿半径为3的四分之一圆盘边界的线积分，如图示，验证斯托克斯定理。 解：(1) ,2xaxyaFyx)2(02xaxxyzyxaaaFrotzxyx(2) 矢量沿四分之一圆盘边界的线积分：BAAOOBBAlldFldFldFldFldFoAB3rxy第一章 矢量分析 由极坐标与直角坐标的关系得：,cosrx sinry drarardaldyx)cos()sin()21 (9)cos2cossin(202223drrldFBA)21 (9)cos2()cos2()(3

17、020 rdrdrrdrdaraSdFSSzzlSldFSdF)(可见，斯托克斯定理 成立。第一章 矢量分析 例例1-5 在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为 ),(4002rrrrrazayaxrrrqDzyx求：1) 穿过原点为球心、R为半径的球面的电通量(见下图)。 2)电位移矢量 的散度。 解：解：1) SSdD 由于球面的法线方向与 的方向一致，所以 DD第一章 矢量分析 0)( 33434,34,344,4,44)252222522522522333333rzyxrqzDyDxDDDdivrxrqzDrxrqyDrxrqxDrqzDrqyDrqxDarzar

18、yarxqDxxxzyxzyxzyxqRRqdSRqDdSSdDSSS222444第一章 矢量分析 1.4 标量场标量场 本节要点：本节要点：考察标量场在空间的分布及变化规律。l 等值面等值面l 方向导数方向导数l 梯度梯度第一章 矢量分析 1.4.1 标量场的等值面标量场的等值面 指在标量场u(x, y, z)中，使其函数取相同数值的所有点组成的曲面，称等值面。等值面方程表示为 c为任意常数czyxu),(等值线（面） 标量场的等值面可以直观地帮助我们了解标量场在空间的分布情况。第一章 矢量分析 1.4.2 方向导数方向导数(Directional Derivative) 1. 方向导数的定

19、义 设P0是标量场=(M)中的一个已知点，从M0出发沿某一方向引一条射线l, 在l上P0的邻近取一点P， ，如图1-19所示。图 1-19 u沿不同方向的变化率 grad uuP0Plu ulPP0 如果当P趋于P0时， 的极限存在，则称此极限为函数u(P)在点P0处沿l方向的方向导数，记为 lPuPulu)()(0第一章 矢量分析 )341 ()()(lim000lPuPuluPPP 方向导数是函数 在点P0处沿l方向对距离的变化率。当 时表示在点p0处沿l方向是增加的，反之就减小。)(Pu00Plu 2. 方向导数的 计算公式 在直角坐标系中，若函数u=u(x, y, z)在点P0(x0,

20、 y0, z0)处可微，则有第一章 矢量分析 式中，cos、cos、cos为l方向的方向余弦。）（541coscoscos0zuyuxuluP1.4.3 标量场的梯度标量场的梯度（Gradient）变化率最大的方向 1. 梯度的定义zyxazuayuaxuGugrad 矢量 的方向为函数u在点P处变化率为最大的方向其大小就是这个最大变化率的值。G第一章 矢量分析 在直角坐标系中， 梯度用哈密顿微分算子又可以表示为 zyxazuayuaxugraduu注： 拉普拉斯算子，即 直角系、圆柱坐标系、球坐标系中的梯度和拉普拉斯表达式见附录1（P237）。2第一章 矢量分析 2. 梯度的性质 (1) 方

21、向导数等于梯度在该方向上的投影，即 )1641 (iaulu (2) 标量场u中每一点P处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数u(P)增大的方向，也就是说，梯度就是该等值面的法向矢量。 (3) )1741 (0u梯度的旋度为零。 表明：如果一个矢量场 满足 ，即 是一个无旋场，则矢量场 可以用一个标量函数u的梯度来表示，即0FFF第一章 矢量分析 uFuF该标量函数称为势函数，对应的矢量场称有势场。 例如，静电场中的电场强度就可以用一个标量函数的梯度来表示。3. 梯度的积分0)(SlSduldu标量场的梯度是一个无旋场，有斯托克斯定理知，无旋场沿闭合路径的积分必然为零。第一章 矢量分析 0

22、122211PCPPCPll dul dul du1P2P1C2C221211PCPPCPlduldu即，)()(122121PuPudldldulduPPPP)1841 ()()(212112CldFPulduPuPPPP积分与路径无关，仅与始点P1和终点P2的位置有关。如果一直一个无旋场，选定一个参考点(P1)，可求出标量场u。 总之，一个标量场，其梯度矢量一定为无旋场，无旋场沿闭合路径的积分一定为零，故称无旋场为保守场。第一章 矢量分析 例例1 求数量场 =(x+y)2-z通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。 解：解：点M的坐标是x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场值为=

23、(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为 22)(0)(yxzzyx或 第一章 矢量分析 例例2 求数量场 在点M(1, 1, 2)处沿l=ex+2ey+2ez方向的方向导数。 解：解：l方向的方向余弦为 zyxu22322212cos322212cos312211cos222222222第一章 矢量分析 而 222)(,2,2zyxzuzyyuzxxu数量场在l方向的方向导数为 22232232231coscoscoszyxzyzxzuyuxulu在点M处沿l方向的方向导数 324232132131Ml第一章 矢量分析 证：证： rxzyxxzyxxxrezreyrexrrgradrzyx222222因为 例例3 设标量函数r是动点M(x, y, z)的矢量 的 模，证明： 222zyxr.0rrrgradrzyxezeyexr第一章 矢量分析 rzzyxzzyxxzrr