第13课时51数学证明概说

1、 第第13课时课时第第5章章 数学证明数学证明第一节第一节 数学证明概说数学证明概说引子：胸中有圣人引子：胸中有圣人 有一天王守仁先生对大家说：“每个人心中都有个圣人，只是因为自信心不足，圣人就给埋没了.”然后，他回过头告诉于中说：“你胸中原来就有个圣人.”于中慌忙起来推辞.王守仁说：“这是你自家有的，为什么要推辞掉？”于中还是回答说：“不敢当.”王守仁说：“众人胸中都有个圣人，何况你于中？为什么要谦虚起来呢？靠谦虚是得不到的.”于中便笑着接受了.于是王守仁便笑着对大家说：“你们看，于中心中有圣人了吧，可见每个人心中都有圣人.哈哈哈！” 评注评注：在这里，王守仁以在这里，王守仁以“每个人心中都

2、有圣人每个人心中都有圣人”来证明来证明“于中心中有于中心中有圣人圣人”；然后又以；然后又以“于中心中有圣人于中心中有圣人”来证明来证明“每个人心中都有圣人每个人心中都有圣人”. .按照按照逻辑的术语，就是论题和论据互换着使用，因此，什么结论都没有得到逻辑的术语，就是论题和论据互换着使用，因此，什么结论都没有得到. .在日在日常生活中，人们经常不知不觉地犯这种常生活中，人们经常不知不觉地犯这种“循环论证循环论证”的逻辑错误的逻辑错误. .在数学与逻辑中，谈论证明是一件很困难的工作在数学与逻辑中，谈论证明是一件很困难的工作数学证明概述数学证明概述 数学证明界定数学证明界定 指根据某些已知真实的命题

3、来断定某一新命题指根据某些已知真实的命题来断定某一新命题真实性的思维过程（或思维形式）真实性的思维过程（或思维形式） 指根据已经确实其真实性的公理、定理、定义、指根据已经确实其真实性的公理、定理、定义、公式、性质等真实性数学命题（判断）来论证某一数公式、性质等真实性数学命题（判断）来论证某一数学命题（判断）的真实性的推理过程学命题（判断）的真实性的推理过程 逻辑学逻辑学数学数学数学证明概述数学证明概述 证明与推理的关系证明与推理的关系 （i）它们都是以判断为其组成要素的思维形式）它们都是以判断为其组成要素的思维形式 （ii）一个命题的证明往往包含一个或一连串的推理）一个命题的证明往往包含一个或

4、一连串的推理 （iii）它们的组成部分有相关性）它们的组成部分有相关性.论题相当于推理的结论，论题相当于推理的结论，论据相当于推理的前提，论证相当于推理方式论据相当于推理的前提，论证相当于推理方式.（iv）证明与推理的结构不同证明与推理的结构不同:证明必然包含推理，而且往往是多证明必然包含推理，而且往往是多种推理的复杂组合；推理不必然包含证明种推理的复杂组合；推理不必然包含证明.（ii）证明与推理的进程不同：证明与推理的进程不同：推理的进程是由前提出发得出结论，证明推理的进程是由前提出发得出结论，证明则是由论题出发，进而找出证明该论题的论据，然后论证论题的真实性则是由论题出发，进而找出证明该论

5、题的论据，然后论证论题的真实性 （iii）证明与推理对各自组成部分之间的逻辑联系的要求不同：证明与推理对各自组成部分之间的逻辑联系的要求不同：推理对推理对前提与结论之间的联系没有特殊要求，可以是必然的，也可以是或然的；前提与结论之间的联系没有特殊要求，可以是必然的，也可以是或然的；证明则不然，论证具有必然联系证明则不然，论证具有必然联系 （i）证明与推理的任务不同：证明与推理的任务不同：推理的任务是由已知判断推出一个新推理的任务是由已知判断推出一个新判断，证明的任务是用已知为真的判断去确定某一判断的真实性判断，证明的任务是用已知为真的判断去确定某一判断的真实性 关系关系差别差别数学证明概述数学

6、证明概述 数学证明源头数学证明源头 数学证明最早可追溯到公元前数学证明最早可追溯到公元前6 6世纪世纪. .传说，几何学的证传说，几何学的证明是从来自米利都的古希腊哲学家泰勒斯开创的明是从来自米利都的古希腊哲学家泰勒斯开创的 。 （i）圆被任一直径等分；）圆被任一直径等分；（ii）等腰三角形的两底角相等；）等腰三角形的两底角相等；（iii）两条直线相交，对顶角相等；）两条直线相交，对顶角相等；（iv）两个三角形，有两个角和一条边对应相等，则两个三角形全等；）两个三角形，有两个角和一条边对应相等，则两个三角形全等；（v）内接于半圆的角必为直角）内接于半圆的角必为直角.数学证明规则数学证明规则 （

7、1）论题要明确）论题要明确 （2）论题应始终如一）论题应始终如一（3）论据要真实、可靠要明确）论据要真实、可靠要明确 （4）论据的真实性不能依靠论题来证明，论题的真）论据的真实性不能依靠论题来证明，论题的真 实性是靠论据来证明的实性是靠论据来证明的 （5）论据必须能推出论题）论据必须能推出论题数学证明与其他学科的关系数学证明与其他学科的关系 一般说来，每门科学（特别是与数学很接近的物理学）都强调证一般说来，每门科学（特别是与数学很接近的物理学）都强调证明的重要性（有据可依），而且每门学科都有自己独特的证明方法明的重要性（有据可依），而且每门学科都有自己独特的证明方法. 但数学上的证明与科学上的

8、证明是有差异的但数学上的证明与科学上的证明是有差异的.科学的证明远不能达到科学的证明远不能达到数学证明所具有的数学证明所具有的“可靠程度可靠程度”。 从本质上科学的证明只能说，基于已得到的证据，所作的结论是正从本质上科学的证明只能说，基于已得到的证据，所作的结论是正确的确的.科学的证明依赖于科学家的观察、实验和理解力，由于这两者都是科学的证明依赖于科学家的观察、实验和理解力，由于这两者都是容易出错的，从而它只能提供近似真理的概念容易出错的，从而它只能提供近似真理的概念. 而对数学理论来说，它不依赖于来自容易出错的实验的证据，数学结论的而对数学理论来说，它不依赖于来自容易出错的实验的证据，数学结

9、论的严密性立足于不会出错的逻辑严密性立足于不会出错的逻辑.光凭试验是不行的，另一方面，数学证明的严光凭试验是不行的，另一方面，数学证明的严谨性，对其它以严格著称的科学或多或少是有影响的谨性，对其它以严格著称的科学或多或少是有影响的. 四色定理与数学证明的发展四色定理与数学证明的发展 1852年，毕业于英国伦敦大学并从事地图着色工作的佛朗西斯格里斯，发现了一个奇怪的现象：无论多么复杂的地图，只要用四种颜色，就可以区分有公共边界的国家和地区.佛朗西斯觉得这中间一定有着什么奥妙，于是写信向其胞兄佛德雷克询问.佛德雷克对数学造诣颇深，但绞尽脑汁依然不得要领，只好求教于自己的老师，著名的英国数学家摩根.

10、摩根教授怀着浓厚的兴趣，对此苦苦思索了几个昼夜，觉得无法判定佛德雷克所提的问题是对还是错.于是便写信给挚友，著名的数学家哈密尔顿（Hamilton，1805-1865）探讨.哈密尔顿才华横溢，当时以发现“四元数”（一种在复数基础上扩展的新数）而饮誉欧洲. 然而，智慧超人的哈密尔顿两者都没能做到.他耗费了整整年心血，终于一筹莫展，抱恨逝去！哈密尔顿死后，又过了年，一位颇有名望的英国数学家凯莱（Cayley，1821-1895）在一次数学年会上把这个问题归纳为“四色猜想”.并于次年，即公元1879年，在英国皇家地理会刊的创刊号上，公开征求对“四色猜想”的解答.从此，“四色问题”不胫而走，成为街谈巷

11、议的热题.四色定理与数学证明的发展四色定理与数学证明的发展 但上述状态并没有持续很久.在征解消息发出的同年，一位半路出家的数学家肯普，发表了一个关于四色定理的证明.这使曾经出现的一时轰动很快平息下来.人们普遍以为“四色猜想”已经成为历史.不料过了年，即公元1890年，一个名叫赫伍德的青年，指出了肯普在证明中的错误.从而使这一沉熄了十年之久的问题，又重新燃起了熊熊烈火！与此同时，赫伍德匠心独运，利用肯普提供的方法，成功地证明了用五种颜色能够区分地图上相邻的国家.这算是在向“四色猜想”进军中第一个重大的突破！赫伍德关于“五色定理”的证明其实并不难，赫伍德正是运用数学归纳法证明“五色定理”的，其证明

12、不是很难（这里略）. 正因为五色定理的证明不很难，所以与费尔马猜想及哥德巴赫猜想不同，有不少数学家小看了四色猜想.相对论的创始人，伟大物理学家爱因斯坦的数学导师闵可夫斯基（Minkowski，1864-1909）教授，就是其中最为典型的一个.他认为四色猜想之所以没有解决，是因为世界上第一流的数学家还没有空去研究它.四色定理与数学证明的发展四色定理与数学证明的发展 有一次，教授给学生上课，他偶然间提到这个问题随之即兴推演，似乎成竹在胸，写了满满一个黑板，但命题仍未得证.第二次上课，闵可夫斯基又继续推演，结果仍旧是满怀信心进教室，垂头丧气下讲台.如此这般折腾了几个星期之后，教授终于精疲力竭.一天，

13、他走进教室，疲惫地注视着依旧挂着“证明”的黑板.此时适逢雷电交加，他终于醒悟，并愧疚地承认：“上帝在责备我，四色问题我无能为力！”这以后，全世界数学家都掂出了“四色猜想”的沉重份量. 人类智慧面对着又一个世界难题的挑战.在正面失利之后，数学家们决定从侧面进军！ 1922年，有人证明了国家数时四色猜想成立；1938年，国家数推进到；1969年又推进到.个春秋，仅仅使国家数推进了.这确是一条布满荆棘、令人生畏的路！主要困难是构形的可能性太多，需要做两百亿次的逻辑判定，这远不是一个人的力量所能做到的！人们对此望而生畏了！四色定理与数学证明的发展四色定理与数学证明的发展 就在这时，科学的地平线上出现了

14、一道曙光！电子计算机的运用，使四色猜想的证实有了希望.然而在七十年代初，即使是电子计算机，也要连续算上十一年半！这是何等艰难的目标，但人类并没有放弃这种机会，进军的号角吹响了！科学家们能力合作，一面不断改进方法减少判断次数，一面继续提高计算机的计算速度，使问题的解决终于有了眉目.公元1976年9月，美国伊利诺斯大学的数学家阿沛尔和哈肯教授，运用每秒计算万次的电子计算机，在运转小时后，终于成功地完成了“四色定理”的证明工作. 电波传来，寰宇震动！数学史上的三大难题之一，在人与计算机的“合作”下，终于被征服了！这是亘古未有的奇迹！为纪念这一历史性的时刻与史诗般的功绩，在宣布四色定理得证的当天，伊利

15、诺斯大学邮局加盖了以下邮戳： “Four colors suffice!”（四种颜色足够了！）（四种颜色足够了！） 故事趣说证明故事趣说证明 欧拉用数学证明神存在欧拉用数学证明神存在 数学家欧拉热衷于哲学辩论，但是由于失误，常常成为哲学数学家欧拉热衷于哲学辩论，但是由于失误，常常成为哲学家的笑柄。相反，法国哲学家狄德罗对于数学知之甚少。俄罗斯家的笑柄。相反，法国哲学家狄德罗对于数学知之甚少。俄罗斯凯瑟琳女王非常讨厌狄德罗的无神论，她吩咐欧拉教训一下狄德凯瑟琳女王非常讨厌狄德罗的无神论，她吩咐欧拉教训一下狄德罗，于是欧拉对狄德罗说，有人用数学证明神的存在，要狄德罗罗，于是欧拉对狄德罗说，有人用数

16、学证明神的存在，要狄德罗和自己公开讨论。欧拉向狄德罗走去，给他看了一个式子，然后和自己公开讨论。欧拉向狄德罗走去，给他看了一个式子，然后说道：说道：“所以神是存在的，不是吗？所以神是存在的，不是吗？”狄德罗无法理解式子而惶狄德罗无法理解式子而惶恐不堪，于是众人一阵哄笑恐不堪，于是众人一阵哄笑. 原来欧拉列出的那个式子是什么意义都没有的，不懂数学的狄原来欧拉列出的那个式子是什么意义都没有的，不懂数学的狄德罗在那里只能是呆若木鸡了德罗在那里只能是呆若木鸡了.故事趣说证明故事趣说证明 数学证明会让人饿肚子数学证明会让人饿肚子 有一名古怪的科学家扣押了他的同事，他们分别是工程师、物理学有一名古怪的科学

17、家扣押了他的同事，他们分别是工程师、物理学家、数学家，他把这三个人分别关在不同的房间里，并在房间里留下充家、数学家，他把这三个人分别关在不同的房间里，并在房间里留下充足的不同种类的罐头，然而没有提供开启罐头的工具。这样关押了足的不同种类的罐头，然而没有提供开启罐头的工具。这样关押了1年后，年后，这名古怪的科学家来到了关押三名同事的房子这名古怪的科学家来到了关押三名同事的房子. 首先，他来到了关押工程师的房间，可是工程师已不在房间首先，他来到了关押工程师的房间，可是工程师已不在房间.工程师工程师利用房间内已有的东西制作了罐头起子，利用罐头盒和食物做成炸弹，利用房间内已有的东西制作了罐头起子，利用

18、罐头盒和食物做成炸弹，逃出了房间逃出了房间. 然后，他去了关押物理学家的房间，看到物理学家用把罐头抛向墙然后，他去了关押物理学家的房间，看到物理学家用把罐头抛向墙壁的方法打开罐头，正在吃罐头。再仔细观察，发现物理学家正在通过壁的方法打开罐头，正在吃罐头。再仔细观察，发现物理学家正在通过计算把罐头抛向墙壁时最容易打开罐头的角度和速度，研究新的力学。计算把罐头抛向墙壁时最容易打开罐头的角度和速度，研究新的力学。 最后，他去了关押数学家的房间，看到数学家一个罐头都没打开，最后，他去了关押数学家的房间，看到数学家一个罐头都没打开，已经饿死了已经饿死了.但是数学家已经解决了如何排列罐头能看起来舒服而且便

19、于但是数学家已经解决了如何排列罐头能看起来舒服而且便于拿取的问题，还算出了罐头的体积、表面积等等。另外，他在证明下面拿取的问题，还算出了罐头的体积、表面积等等。另外，他在证明下面的理论过程中死去的理论过程中死去. 定理：如果打不开罐头，我就会死去定理：如果打不开罐头，我就会死去. 证明：如果我能打开任一罐头证明：如果我能打开任一罐头故事趣说证明故事趣说证明 一个鸡蛋的家当一个鸡蛋的家当 有一户贫民，穷得叮当响.一天，丈夫突然把他妻子送到官府，向官府告状说：“我的全部家当都给这个恶妇败坏了，请老爷狠狠治她的罪！”县官问：“你的家当在哪里？怎么给她败坏的？” 丈夫就有板有眼地说了起来： 今天早上，他在路上捡到一只鸡蛋，赶快跑回家，高兴地对妻子说：“我有家当了！我有家当了！” 妻子忙问家当在哪里？他拿出鸡蛋一晃说：“这就是！” 于是他就扳起手指头给妻子细细计算起来：“我拿这个鸡蛋，放到邻居家的鸡窝里去卵小鸡.等小鸡卵出来，我就把它抱回来下蛋.两天一个鸡蛋，一个月就可以得到个鸡蛋.然后再卵成小鸡.两年内，鸡再生鸡，就可以发展到只，能卖两金子.用这两金子，买头母牛，母牛生母牛，年可得头牛.牛生牛，又过年，就能发展到头，可以卖两金子.我用这些