利用直角三角形画圆的算法

1、无另外一种画圆的算法：算法的数学原理：我们知道圆的内接三角形中，如果有一条边是直径，那么该边所对应的角度是直角。而在解析几何中，对任意两条斜率存在的直线，如果它们相互垂直，那么它们的斜率相乘为-1，而倘若是在园外（稍微在圆外一点） ，则夹角变小，斜率相乘小于-1（待会儿给出证明） ，倘若在园内一点，则夹角变大，斜率相乘大于-1，如图：证明：（由于只需要画出 1/8 圆即能画出整个圆，因此以下以第二个八分圆证明）对于 B 点设cos ,sinxryr（r 为圆的半径）则sinsin,coscosBCBArrkkrrrr，无2222sin*1(cos1)BCBArkkr 。对于 B点设cos,si

2、nxrdx yr其中(0,cos )dxrr则sinsin,coscosB CB Arrkkrdxrrdxr2222sin*( cos)0*1B CB AB CB Arkkrdxrdxkk 同理可得，对于 B”点*1B CB Akk 以上是对该数学方法的证明下面我们讨论一下具体的描点，如图：设我们已经画出了 P 点（P 在第二个八分圆的圆弧上） ，则我们设 P（x，y） ，则下一个应该描的点应该是 P1 或 P2，我们取 P1 和 P2 的中点 Pmid，我们只需要判断出 Pmid 与圆的关系即可判断应取 P1 还是 P2 了，如图：无按照前面的论证方法，我们分别算出了121PmidAykxr

3、 ，121PmidCykxr 2221()2*(1)PmidAPmidCykkxr因为是否在圆上是以斜率相乘是否为-1 为分界线的，所以我们令*1PmidAPmidCkk，则222221()(1)2*1(1)PmidAPmidCyxrkkxr 只需判断出*1PmidAPmidCkk是否大于 0 即可我们观察到，对于第二个八分圆，分母22(1)0 xr恒成立，则我们只需要判断分子是否大于 0 即可，当分子2221()(1)02yxr时，则 Pmid 在圆外，取 P2当分子2221()(1)02yxr时，则 Pmid 在圆内，取 P1如果相等，则我们约定取 P2这样就可以画出圆来了，但是效率太低了

4、，我们可以稍加改进，将其改变成增量的形式因为我们已经取了 P 点， 则我们可以分情况讨论在 P 点之前一次的取点情况， 共有两种情况，一是 P点，二是 P”点，则对应这两种情况：如果是 P点，则计算的是 Pmid 点的斜率相乘的结果如果是 P”点，则计算的是 P”mid 点的斜率相乘的结果我们设 a 为每一次的斜率相乘加 1 后的分子的值，则对应于 Pmid无2221()2P midayxr而对应于 P”mid2221()2P midayxr而我们所需要求的 Pmid 点的22222211()(1)()(221)(221)22PmidP midayxryxrxyaxy22222211()(1)

5、()(21)(21)22PmidP midayxryxrxax由此，我们便将 a 的值表示成了增量的形式，通过判断 a 的正负来判断该点是在圆内还是圆外，具体的 c 代码算法部分如下所示：float a,x,y,r,espinon=0.00001;int tag;/tag 是用来判别前一个点是 P还是 P”的x=0;/tag=1，表示取的是 P，tag=0，表示取得是 P”r=100;y=r;pDC-SetPixel(0,y,RGB(x,y,(x+y)/2);a=(y-0.5)*(y-0.5)+(x+1)*(x+1)-r*r;if(aespinon)pDC-SetPixel(x+1,y-1,RGB(x,y,(x+y)/2);x+,y-;tag=1;elsepDC-SetPixel(x+1,y,RGB(x,y,(x+y)/2);x+;tag=0;while(xespinon)pDC-SetPixel(x+1,y-1,RGB(x,y,(x+y)/2);无x+,y-;tag=1;elsepDC-Se